轮复习第八章立体几何83空间点直线平面

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1、第八章 立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系理基础知识自主学习ET知识梳理1 四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行2 .直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类平行直线共面直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2) 异面直线所成的角 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a/ a, b/ b,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成

2、的角(或夹角). 范围：i。，n 3. 直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5. 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【知识拓展】1. 唯一性定理(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2 .异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中

3、打“V”或“ X”）（1）如果两个不重合的平面 a，3有一条公共直线a,就说平面a , 3相交，并记作a n 3=a.（ V ）（2）两个平面a , 3有一个公共点 A,就说a , 3相交于过A点的任意一条直线.（X ）两个平面ABC与 DBC相交于线段BC（ X ）（4）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（ V ）（5）没有公共点的两条直线是异面直线.（X ）考点自测i .下列命题正确的个数为（） 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行; 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0 B . 1 C .

4、 2 D . 3答案 C解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.2. （2016 浙江）已知互相垂直的平面 a , 3交于直线I.若直线m n满足m/ a , n丄3 ,则（）B. m/ nC. n 丄 ID. ml n答案 C解析由已知，a n 3 = I , I ?3，又t n丄3 , n丄I , C正确.3. （2017 合肥质检）已知I , mn为不同的直线,丫为不同的平面，则下列判断正确的是（）A.m/a , n/a，则m/nB.ml a , n/a丄3，则ml nC.m/a ,m/3 ,贝U m/ ID.解析m n可能的位置关系为平行，相交

5、，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知 C正确;若m/ n,根据线面垂直的判定可知D错误,a n y = n, I 丄 m I 丄n,贝U I答案故选C.4.（教材改编）如图所示，已知在长方体 ABCB EFGH中, AB= 2 3, AD= 2.3, AE= 2,贝U BC 和EG所成角的大小是 , AE和BG所成角的大小是 .答案 4560解析/ BC与 EG所成的角等于EG与 FG所成的角即/EGFtan / EGF=EF= 2/3FG=2,3=1,aZ EGF=45 AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即/ GBF tan / GBF= 薯

6、字=.3,605如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且 AB/ CD则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 答案 4解析 EF与正方体左、右两侧面均平行所以与EF相交的侧面有4个.题型分类深度剖析题型一平面基本性质的应用例1 （1）（2016 山东）已知直线a, b分别在两个不同的平面 a , 3内，则“直线a和直线 b相交”是“平面 a和平面3相交”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a和直线b相交，则平面 a和平面3相交；若平面 a和平面3相交，那么 直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

7、 已知空间四边形 ABCD如图所示）,E、F分别是AB AD的中点，G H分别是BC CD上的11点，且 CG= -BC CH= -DC 求证：3 3 E、F、G H四点共面； 三直线FH EG AC共点.证明连接EF GH如图所示, E、F分别是AB AD的中点, EF/ BD1 1 又 CG= 3BC CH= 3DC GH/ BD, EF/ GH E、F、G H四点共面.易知FH与直线AC不平行，但共面，设 FHH AC= M - M 平面 EFHG ME 平面 ABC又平面 EFHG平面 ABC= EG M EG FH EG AC共点.思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1) 证明点或

8、线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证 两平面重合.(2) 证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3) 证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.W2 | 如图，平面ABEFL平面ABCD四边形ABEF与四边形ABCDFE是直角梯形，/ BAD1 1=Z FAB= 90, BC/ ADa BC= 2AD BE/ AF且 BE= ?AF, G H分别为 FA FD的中点.D(

9、1) 证明：四边形 BCH(是平行四边形；(2) CD F、E四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG= GA FH= HD1可得GH綊2AD1又 BC綊qAD 二 GH綊 BC四边形BCH平行四边形.1 解/ BE綊qAF, G是FA的中点, BE綊FG四边形BEF平行四边形， EF/ BG由(1)知 BG綊 CH - EF/ CH - EF与 CH共面.又D FH CD F、E四点共面.题型二 判断空间两直线的位置关系例2(1)(2015 广东)若直线11和丨2是异面直线，11在平面a内，I2在平面B内，I是平面a与平面3的交线，则下列命题正确的是 ()A. I与I 1 , I 2都不

10、相交B. I与I 1 , I 2都相交C. I至多与I 1 , I 2中的一条相交D. I至少与I 1 , I 2中的一条相交 如图，在正方体 ABCB ABCD中，M N分别是BC , CD的中点，则下列判断错误的是()A. MN与 CC垂直B. MNW AC垂直C. MNW BD平行D. MNW AB 平行(3) 在图中，GN、M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)答案D(2)D(3)解析 若I与I 1, I 2都不相交，则I / l 1, l /I 2,. I 1 I 2,这与ll和I 2

11、异面矛盾， I 至少与I 1 , I 2中的一条相交.连接BC, BD，如图所示，则点M是 BC的中点，皿卜是厶BCD的中位线， M/ BD,又 BD/ BD,. MN/ BD CC丄BD, ACL BD , MNL CC, MNLAC又 AB与BD相交， MN与AB不平行，故选D.(3)图中，直线GH/ MN图中，G H N三点共面，但M?面GHN因此直线GH与 MN异面；图中，连接 MG GM HN因此GH与 MN共面；图中，G M N共面，但H?面GMN因此GHW MN异面.所以图中GH与 MN异面.思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定. 对于异面直线，可采

12、用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.跟踪训练。(1)已知a, b, c为三条不重合的直线， 有下列结论：若a丄b, a丄c,则b/ c；若a丄b, a丄c,贝U b丄c；若a / b, b丄c,贝U a丄c.其中正确的个数为()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3(2)(2016 南昌一模)已知a、b、c是相异直线，a、B、丫是相异平面，则下列命题中正确的是（）A. a与b异面，b与c异面？a与c异面B. a与b相交，b与c相交？a与c相交C. a/ B丫 ? a/ 丫D.

13、 a?a , b? B , a与B相交？ a与b相交答案B （2）C解析（1）在空间中，若a丄b, a丄c,则b, c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以 错，显然成立. 如图（1）,在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线， 满足a与b异面，b与c异面，但an c=A,故A错误；在图 的正方体中，满足 a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图（3） , a题型三 求两条异面直线所成的角例3 （2016 重庆模拟）如图，四边形ABC刖ADPQ匀为正方形，它们所在的平面互相垂直, 则异面直线AP与 BD所成的角为.解析 如图，将原图补成正方体 ABCD QGHP连接GP则GP/ B

14、D所以/ APG为异面直线 AP与 BD所成的角,在厶 AGF中, AG= GP= APn 所以/ APG=寸.引申探究在本例条件下，若 E, F, M分别是AB BC PQ的中点，异面直线 EM与 AF所成的角为0 , 求cos 0的值.解 设N为BF的中点，连接 EN MNQ MB N F则/ MEN是异面直线EM与 AF所成的角或其补角.不妨设正方形ABC刖ADPQ勺边长为4, 则 ENh 5, EM= 2 6, MNh 33.在厶MEN中，由余弦定理得cos / MEN=eM+ eN mN2EM- EN_ 24+ 5 33 2X2 6X Q=_丄=_臺_30=30即 cos 0 = -

15、30.30思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法(1) 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2) 二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3) 三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.跟踪训练3已知正四面体ABCDKE是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为1A.-6B.C.D.答案解析画出正四面体ABC啲直观图,如图所示.RC设其棱长为2，取AD的中点F,连接EF,设EF的中点为O连接CO贝U EF/ BD则/ FEC就是异面直线 CE与 BD所成的角. ABC为等边三角形，则 CEL A

16、B,易得CE=3 ,同理可得CF=3,故 CE= CF因为OE= OF所以CQL EF1 1 1又 EO= 2EF= 4BD= 2，所以 cos/ FEC=CE羽思想与方法系列典例a , 3为两个不同的平面，有下列四个命题:16 构造模型判断空间线面位置关系mLa ,n丄3 ,mL n.则a丄3 ；m/a ,n/3 ,mL n,则a /3 ；mLa ,n/3 ,mL n,则a /3 ；mLa ,n/3 ,a / 3则 mL n.已知m n是两条不同的直线,若若若若其中所有正确的命题是思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出

17、判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导 致解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面a、3互相垂直，如图（1）所示，故正确；对于，平面 a、3可能垂直，如图（2）所示，故不正确；对于，平面mla, a /3 可得 mil 3，因为n /3,所以过n作平面y ,且丫 Q 3 = g,如图所示,所以n与交线g平行,因为mlg,a、3可能垂直，如图（3）所示，故不正确；对于，由所以mLn,故正确.(2)(3)I(4)答案课时彳乍业1 .设a, b是两条不同的直线，a , 3是两个不同的平面，a

18、? a , bl 3，U a / 3 ”是“a丄b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若 a? a , bl 3 ,a / 3，则由a / 3 , bl3 ? bl a,又 a?a ,所以 al b；若al b, a? a ,bl 3 ,则bl a或b / a或b? a ,此时a / 3或a与3相交，所以a / 3 ”是“ al b”的充分不必要条件，故选A.2. （2016 福州质检）在三棱柱 ABO ABC中，E、F分别为棱AA、CC的中点，则在空间中与直线AB、EF BC都相交的直线（）A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.

19、有无数条答案 D解析 在EF上任意取一点 M直线AB与M确定一个平面，这个平面与 BC有且仅有1个交 点N,当M的位置不同时确定不同的平面， 从而与BC有不同的交点 N,而直线MNW AB、EF BC分别有交点 P M N,如图，故有无数条直线与直线 AB、EF BC都相交.3 .对于任意的直线I与平面a，在平面a内必有直线 m使m与1（）A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线答案 C解析 不论I / a , I ? a ,还是I与a相交，a内都有直线 m使得mL I .4 .在四面体 ABC的棱AB BC CD DA上分别取 E F, G, H四点，如果EF与HG交于点 M 则（）A. M

20、定在直线AC上B. M定在直线BD上C. M可能在AC上，也可能在BD上D. M既不在AC上，也不在BD上答案 A解析 由于EFA Hd M且EF?平面ABCHG平面ACD所以点M为平面ABC与平面ACD勺一个公共点，而这两个平面的交线为AC所以点M定在直线AC上，故选A.5. 四棱锥P ABC啲所有侧棱长都为 5,底面ABCD1边长为2的正方形，则CD与 PA所成角的余弦值为（）B，35C. 5答案 B解析 因为四边形 ABCD正方形，故CD/ AB,则CD与 PA所成的角即为 AB与PA所成的角,即为/ PAB在厶PAB内, PB= PA=5, AB= 2,利用余弦定理可知cos / PA

21、B=PA + aB pB2X PAX AB5 + 4 52X 5X2.55,故选B.6. 下列命题中，正确的是 （）A. 若a, b是两条直线，a , 3是两个平面，且 a? a , b? B ,则a, b是异面直线B. 若a, b是两条直线，且 a/ b,则直线a平行于经过直线 b的所有平面C. 若直线a与平面a不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. 若直线a/平面a ,点P a，则平面a内经过点P且与直线a平行的直线有且只有答案 D解析 对于A,当a/B, a, b分别为第三个平面 丫与a , 3的交线时，由面面平行的性 质可知a / b，故A错误.对于B,设a, b确定的平面为

22、a,显然a? a,故B错误.对于C,当a? a时，直线a与平面a内的无数条直线都平行，故 C错误.易知D正确.故 选D.7. （2016 南昌高三期末）如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，底面为直角三角形./ ACB= 90, AO 6, BC= CC=Q2, P是BC上一动点，贝U C冉PA的最小值为 .答案 5 2解析 连接AB,将厶ABC与厶CBC同时展平形成一个平面四边形 ABCC则此时对角线 CP + PA = AC达到最小，在等腰直角三角形 BCC中，BC= 2, / CCB= 45,在厶ABC中，Ai B=.40= 2.1 0, Ai G = 6, BC= 2,. Ai C2+

23、 BC= AB,即/ AQ B= 90 .对于展开形成的四边形 A BCC,在厶 Ai CC 中，C C= 2, Ai C = 6，/ Ai C C= 1 35,由余弦定理有，C冉 PA= AiC=p2 + 36 12（2cos135 = Q50= 58.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G H、M N分别为 DE BE EF EC的中点，在这个正四面体中, GH与 EF平行； BD与 MN为异面直线； GH与 MN成 60 角； DE与 MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是答案解析 把正四面体的平面展开图还原,GH与 MN成 60 角，DEI MN如图所示，GH与 EF为

24、异面直线，BD与 MN为异面直线,9. （2015 浙江）如图，三棱锥 ABCD中, AB= AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2，点 M, N 分别是AD BC的中点，则异面直线 AN CM所成的角的余弦值是答案8解析 如图所示，连接 DN取线段DN的中点K,连接MK CK M为AD的中点, MK AN / KM（为异面直线 AN CM所成的角. AB= AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2,N为BC的中点,由勾股定理求得 AN= DN= CM= 2 2, MK= ,2.在 Rt CKN中, CK=2 2+ 12= 3.在厶CKM中，由余弦定理，得cM+ mK cK

25、cos/ KMG 2CM MK22+,2 232_72X2 ,2X 28.*10.（2017 郑州质检）如图，矩形ABCD中, AB= 2AD E为边AB的中点，将 ADE沿直线DE翻折成 ADE若M为线段AiC的中点，则在 ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是.wA BM是定值； 点M在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DE AC; 存在某个位置，使 MB/平面ADE答案1解析 取 DC中点 F,连接 MFBF,MF/ AD且 MMqAD, FB/ ED且 FB= ED所以/ MFB=Z ADE 由余弦定理可得 MB= MF+ FB 2MF- FBcos/ MFB定值，所以 M是在以

26、B为圆心，MB为 半径的球上，可得正确；由MF/ AD与FB/ ED可得平面 MB/平面ADE可得正确；AiC在平面ABC即的投影与 AC重合，AC与 DE不垂直，可得不正确.11.如图，在正方体 ABC ABCD中，O为正方形 ABCD勺中心，H为直线 BD与平面ACD的 交点.求证：D、H、O三点共线.证明如图，连接BD BD,则 BDn AC= O, BB 綊 DD,四边形BBDD为平行四边形，又 H BD,BiD?平面 BBDD,贝U H平面BBDD,平面 ACDn 平面 BBDD- OD,.H OD.即D、H O三点共线.12.如图所示，等腰直角三角形 且E为DA的中点求异面直线AB

27、C中，/ A= 90, BC= 2,BE与CD所成角的余弦值.DAI AC DAL AB 若 DA= 1,解 如图所示，取 AC的中点F,连接EF, BF,在 ACD中, E F分别是AD AC的中点, EF/ CD/ BEF或其补角即为异面直线 BE与CD所成的角.在 Rt EAB中,AB= AC= 1, AE= AD- 2, be=T在 Rt EAF中,1 1 1AF= 2ac= 2，AE= 2,在 Rt BAF中，AB= 1, AF= 2, BF= #在等腰三角形EBF中,cos / FEB=BE异面直线BE与 CD所成角的余弦值为.1010 .*13.已知正方体 ABCD ABC D中

28、，E F分别为DC, CB的中点，A8 BD- P, AC Q EF= Q求证：(1) D B、F、E四点共面；若AC交平面DBFEF R点，则P, Q R三点共线.证明(1)如图所示，因为 已尸是厶DBC的中位线，所以 EF/ BD.在正方体 ABCB AiB1GD1 中，BiD / BD 所以EF/ BD所以EF, BD确定一个平面.即D B、F、E四点共面.在正方体ABCB AiBiGD中，设平面AACC确定的平面为 a ,又设平面BDEF为3 .因为QE AC,所以Q a .又Q EF,所以Q 3 .则Q是a与3的公共点，同理，P点也是a与3的公共点.所以a n 3 = PQ又 AiCn 3 = R,所以 R AiC,贝U R a 且 R 3 .则R PQ故P, Q R三点共线.