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1、高中数学解题思想方法技巧全集26 数列开门 前后跟踪数学破题36计第26计 数列开门 前后跟踪 ?计名释义 数列是特殊的函数，告诉了自变量是正自然数的函数，因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式，除通项公式外，还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来，数列的难题几乎都出现在递推式中. ?典例示范nn(n，1)11,*【例1】 若数列a满足:a=1，a=+n+a， n?N，n?2，求证:a=，,n1nn-1n222,*n?N. 【证明】 在递推式中，分别令n=2，3，4,，直到n，得到(n-1)个等式: 2311,a=+2+a a=+3+a ,213222,n411,a=+4+a a=，n，a
2、 ,43nn,122,将这(n-1)个等式整体相加得 23n111,a=+2+3+n+a ,1n222,11,1,n,1(1)(1)11nn，nn，42,=. ，,，n122221,2当n=1时，a=1,也适合上式， 1(，1)11nn*,，?a=，n?N nn222【点评】 这里a与a的系数相等(都是1)，并且在等号的两旁，因此由递推式得到的nn-1(n-1)个等式相加后，很多项可以消去，进而顺利求出a. n由于数列可以看作是正整数n的函数，因此对于以递推关系式出现的问题，常常可以从递推关系式中的n=1，2，3，入手，得到一系列的等式，通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算，使问题获得解
3、决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识. 142n+1【例2】 (2006年全国卷?)设数列a的前n项的和S=a-2+,n=1，2，3,nnn333(?)求首项a与通项a; 1nn23nT,.(?)设T=，n=1，2，3,求证: n,i2Si,1n42【解答】 (?)a=S=a-，解得a=2. 11133144n+2n+1n+1a=S-S=a-a-(2-2),?a=4a+2. n+1n+1nn+1nn+1n333n+1这里a的系数是4，无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2nnaan，1,2,，1.得到 n，1n22an若令b=，则有b=2b+1 (*) nn+
4、1n2n(*)式就是我们熟知的线性递推式，它可以运用待定系数法求解. b，1n，1*=2(n?N)， 设b+k=2(b+k)，即b=2b+k. ?k=1，故n+1nn+1nb，1n即b+1是以b+1为首项，2为公比的等比数列. n1n-1nnn?b+1=(b+1)?2,b=2-1,a=4-2.(n?N*) n1nn2221144n+1 nnn+1 n+1n(?)S=a-2+=(4-2)- 2+=(2-1)(2-1). nn3333333n232311,nT=, ,，,，,nn，1nnn，1S22(21)(21)2121,nn3113,T,，,.? ,i1n,1222,12,1,i,1n+1【点
5、评】 这里的递推式a=4a+2b=2b后，形如a=Aa+B. n+1nn+1n+1n+1n对于a=Aa+B:当A=1时，a=a+B， 即a-a=B，故通项a=a+(n-1)B; n+1nn+1nn+1nn1B，k,a，当A?1时，a+k=Aa+B+k=A, ,n+1nnA,BB，k令k=，则(A-1)k=B，即k=, AA,1B?a+k是以a+k=a+为首项，公比为A的等比数列. n11A,1BBB,n-1n-1a，a，于是a+k=?A，?a=?A -. ,nn11A,1A,1A,1,12n【例3】 (2006年安徽高考题)数列a的前n项和为S，已知a=，S=na-n(n-1)，nn1n2n=
6、1,2,写出S与S(n?2)，并求S关于n的表达式. nn-1n2【解答】 当n?2时，a=S-S,代入S=na-n(n-1)中， nnn-1nn222得S=n(S-S)-n (n-1), 即(n-1)S-nS=n(n-1) (*) nnn-1nn-1这就是S与S. nn-1n，1n将(*)式两边同除以n(n-1)得S-S=1(n?2). nn-1nn,1，n1,S构造新数列，它是以2S=2a=1为首项，1为公差的等差数列. 11,nn,2nn，1于是=1+(n-1)1=n，即S=(n?2). Snnn，1n2n显然，上式当n=1时也成立.?S=，n?N*. nn，1n，1n，1n,S【点评】
7、 这里构造新数列，关键在于能将(*)式变形为S-S=1,nn-1,nnnn,1,由此发现递推关系. 高考中许多数列问题，往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题，常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识，有助于创新能力的提高 ?对应训练 1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并此后每一个月生一对小兔，如果不发生死亡，问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对, 2.对任意函数f (x)，x?D,可按图所示构造 一个数列发生器，其工作原理如下: ? 输入数据x?D，经数列发生器 0输出x=f (x); 10?若xD，则数列发生器结束工
8、作; 1,若x?D，则将x反馈回输入端， 11再输出x=f(x)，并依此规律继续下去， 214x,2现定义f (x)= .x，149(1) 若输入x=则由数列发生器产生数列x, 第2题图 0n65请写出数列x的所有项; n(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x的值; 0(3)若输入x时，产生无穷数列x满足:对任意正整数n，均有xa(k=1,2,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义. kk+1limP(b)(3)发展基金与n和b有关，记为P(b)，对常数b，当n变化时，求. nnn,?参考答案 1.把第n个月的兔子总数记为f (n)，则f (1)=1，f (2)
9、=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,.考查数列f (n)的规律，不难发现，从第三项开始，第一项都是前两项之和:f (3)= f (1)+f (2);f (4)= f (2)+f (3);f (5)=f (3)+f (4);f (6)= f (4)+f (5);f (7)=f (5)+f (6);， f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以，一对兔子一年可繁殖成233对. 2.(1)? f (x)的定义域D=(-?,-1)?(-1,+?) 111? 数列x只有三项:x=，x=，x=-1. n1231954x,22(2
10、)? f (x)=x即x-3x+2=0, ? x=1或x=2. x，14x,2n即当x=1或2时，x=x 0n+1nx，1n故当x=1时，x=1;当x=2时，x=2(n?N) 0n0n4x,2(2) 解不等式x, x，12x,3x，2? 0，得x-1或1x2， x，1要使xx，则x-1或1x2, 12114x,26对于函数f (x)= =, 若x4，x= f (x)x，且1xx(n?N). n+1n+1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数
11、、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。综上所述，x?(1,2)时，由x= f (x),x?(1,2). 1100点评 本题主要考查函数的基本知识，数列的基本知识，解不等式的基本方法，以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉，形式新颖，结构巧妙，富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题. 一年级下册数学教学工作计划11b,1,b3.(1)第1位职工的奖金a=;第2位职工的奖金a=; ,12nnn,和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的
12、内心.2k,11111,bb,第3位职工的奖金a=1,;第k位职工的奖金a=1. ,3knnnn,k,111,b,(2)a- a=10. ,k k+12nn,dr 直线L和O相离.第一章 直角三角形边的关系此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则. (3)设f(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则 k（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一2k111,1,bbbf(b)=，f(b)=1,，f(b)=1,. ,12knnn,五、教学目标：nb1,得 P(b)= f(b)=， 故 . Pbb1,min(),nnn,nne,(三)实践活动点评:本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职 53.264.1生活中的数3 P24-29工福利的实际应用，这正是近年高考命题的热点和重点.
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