最新高中理科数学解题方法篇导数求根优秀名师资料

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1、高中理科数学解题方法篇（导数求根）, 第一讲 函数与导数曲线的交点和函数的零点 第三课时 用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数 曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数. 1143224【例1】(2008江西卷， 文)已知函数 fxxaxaxaa,，,，, 0，43yfx,(?)求函数的单调区间; ，y,1yfx,(?)若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围( a，322,fxxxaxxxaxa,，,，,220【分析及解】(?)令， ，xaxxa,20，得( 123,a,0fxfx

2、在的已知条件下，及随的变化情况列表如下: x，xa,， 2a,2 0a，0，aa， ，, ,2a0 ，, ,fx 0 0 ，0 fx ，减 极小值 增 极大值 增 极小值 减 fx,2 0a,a,，,fx,a2所以的递增区间为与，的递减区间为与，0,a( ，y,1yfx,yfx,(?)要研究函数的图象与直线的交点的情况,就要考虑函数，y,1的极大值和极小值相对于的位置. 5744由(?)得到，fxfaa,2fxfaa,，极小值极小值3124fxfa,0， ，极大值yy y = 1 -2aay = 1 xO-2a axO 1 , y,1fx由图可知，要使的图象与直线恰有两个交点，只需 ，5744

3、11(1) 两个极小值一个大于且另一个小于,即; ,aa131241241a,101,a(2) 极大值小于,即，即或( a,72x,3fxaxxx()ln(1)10,，,【例2】(2008四川 卷,理)已知是函数的一个极值点( (?)求; afx()(?)求函数的单调区间; yb,yfx,()b(?)若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围( a,【分析及解】(?)因为， fxx()210,，,1，xa,a,16所以(因此( f(3)6100,，,42243xx,，231xx,，16a,16,当时, , fxx()210,，,111，xxxfx()fx()x,1,3x,，,3,由此可知,当时

4、, 单调递减,当时, 单调递增,所以, 当，2a,16x,3fxaxxx()ln(1)10,，,时, 是函数的一个极值点( a,16于是, . (?)由(?)知， 2x,，,(1)，fxxxx()16ln(1)10,，,， 231xx,，,( fx(),x，1,x,，,(11)(3)，fx()0,当时， ,x,(13)，fx()0,当时， fx()(11)(3),，,，fx()(13)，所以的单调增区间是，的单调减区间是( 33yb,fxb,(?)与的图象有个交点;等价于有个实数根;即，yfx,，33fxb,0fxb,有个实数根;此时,函数的图象与轴有个不同交点， x，2,xfxbxxxb,，

5、,16ln110令， ，2 , 213xx,，16,x,1则， ,xx,，,210，11，xx,x,1x,3,x0,x,x令，解得或，随的变化情况列表如下: x，x,1 1，1 3，3 ，, 3 ，1 ,x ，0 0 x, ，? 极大值 ? 极小值 ? ,1,3为极大值,为极小值. ，y,(x) y=yx,由表可得的示意图: ，(1, 16ln2-9-b)yx,yx,为使图象与轴有3个不同交点,必须x，3O1x,10 ,，,，(3, 32ln2-21-b),的极大值大于零,极小值小于零.即可化为 ,30 ,，,16ln290 ,b，b,16ln29 ，, 解得 ,32ln2210 ,b，b,3

6、2ln221 ，,32ln22116ln29,b?( 3222fxxaxaxgxaxx()1,()21,，,，,，【例3】(2008陕西卷文)设函数其中实a,0数( a,0fx()(?)若，求函数的单调区间; yfx,()ygx,()gx()(?)当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记gx()ha()ha()的最小值为，求的值域; fx()gx()(,2)aa，(?)若与在区间内均为增函数，求的取值范围( aa22,a,0【分析及解】(?) ，又， fxxaxaxxa()323()(),，,，3aa,fx()0,fx()0,xax,或,ax 当时，;当时， ？33aafx()(,),a

7、在和内是增函数，在内是减函数( (,)，,(,),a？333222xaxaxaxx，,，,，121(?)由题意知 ， 3 , 22xxa(2)0,即恰有一根(含重根)( 22x,0xa,(2)0因为,一定有一根,所以,没有实数根或有两个相等的实数根,因此2a,0a,20,22aa,2,0)(0,2有，即.又， ( ？112gx()a,0a,(0,2当时，才存在最小值，( ， ？gxaxa()(),，,aa12ha()所以, ( 于是的值域为( (,1,haaa(),(0,2,2aa1,a,0fx()(,),agx()(?)当时，在和内是增函数，在内是,，,，,3a,a,0,a,a,1a,增函数

8、(由题意得，解得; ,3,1,a,a,a1,a,0fx()(,),，,agx()当时，在和内是增函数，在内是增函,3a,a,0,a,a,3a，,2数(由题意得，解得; ,3,1,a，,2,a,(,31,),，,综上可知，实数的取值范围为( a3fxxaxgxfxax,，,31,5【例4】(2006四川卷,文)已知函数，其中，fx是的导函数. ，,11agx,0(?)对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围; ax，2y,3am,yfx,(?)设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只m，有一个公共点 2gxxaxa,，,335【分析及解】(?)由题意. ，2,11ahxxax,，,335

9、 令，, ，,11agx,0ha,0对，恒有，即. ，4 , 2h10,，,320,xx,2,? 即 解得. ,x1,2h,10.，3380.xx，,2,11agx,0故时，对满足的一切的值，都有 x,1a，,3,22fxxm,33(?) ，3m,0y,3fxx,1?当时，的图象与直线只有一个公共点 ，32m,0,xfxxmx,334,?当时，令 ，22,xxm33,则 . ，列表: x,mm,m,，,m,mm ，,x ，00 ，,x 增 极大 减 极小 增 ，2,xmmm,244所以,. ，minRm,，,fx又因为的值域是，且在上单调递，增. xm,yx,所以,当时函数的图象与轴只x，有一

10、个公共点. xm,xm,当时，恒有, ，maxyx,此时, 的图象与轴不能再有公共点,必须x，32,myx,m024240mmm,得极大值小于零,即, , ，33解得. m,2,00,2，33综上，的取值范围是 ,2,2m，fx()fx()0,(0,5),【例5】(2006福建卷，文)已知是二次函数，不等式的解集是且,1,4fx()在区间上的最大值是12。 ,fx() (I)求的解析式; 37m,(,1)mm，(II)是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不fx()0，,x等的实数根,若存在，求出的取值范围;若不存在，说明理由. mfx()fx()0,(0,5),【分析及解】(I)因为是二

11、次函数，且的解集是 fxaxxa()(5)(0).,所以可设 2525,2由, fxaxxaxax,5,1,4，,，,24,5 , 55，,，fx()fx()因为在区间上,函数是减函数,在区间上, 函数是增函数. ,1,4,22，,，fx()fa(1)6.,1,4所以,在区间上的最大值是 ,612,2.aa,由已知，得 2fxxxxxx()2(5)210().,Rfx()所以, 的解析式为 3732210370.xx,，,(II)方程等价于方程 fx()0，,x322hxxx()21037,，hxxxxx()6202(310).,设则 10,hxhx()0,(),当时，是减函数; x,0,3,

12、10,hxhx()0,(),当时，是增函数。 x,，,3,101,因为 hhh(3)10,0,(4)50,327,1010,hx()0,所以方程在区间内分别有唯一的实数根，而在区间3,4,33,(0,3),(4,)，,内没有实数根， 37m,3,(,1)mm，所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两fx()0，,x个不同的实数根。 2fxxxgxxm()8,()6ln.,，,，【例6】(2006福建卷，理)已知函数 fx()ht();tt,1， (I)求在区间上的最大值 ,m,yfx,()ygx,() (II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点,若存在，求出的取值范围;

13、若不存在，说明理由。 m22fxxxx()8(4)16.,，,，【分析及解】(I) t，,14,t,3fx()tt,1， 当即时，在上单调递增， ,22htfttttt()(1)(1)8(1)67;,，,，,， tt,，41,34,thtf()(4)16;, 当即时， 2t,4fx()htfttt()()8.,，tt,1， 当时，在上单调递减， ,2,，,ttt67,3, 综上， htt()16,34,2,，,ttt8,4,6 , yfx,()ygx,() (II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数,()()()xgxfx,的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点. x2()86

14、ln,xxxxm,，,因为 262862(1)(3)xxxx,，, 所以, ,()28(0),xxx,，,xxx,x,(0,1),()0,()xx, 当时，是增函数; ,x,(1,3),()0,()xx, 当时，是减函数; ,x,，,(3,),()0,()xx,时，是增函数; 当,x,1,()0.xx,3, 当或时， ()(1)7,()(3)6ln315.xmxm,，, 于是, maxmin,()0,x,()0.x, 当充分接近0时，当充分大时， xx,()x 因此,要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须x且只须 ,()70,xm,极大7156ln3.,m 即 ,()6ln3150,xm,

15、，,极小,yfx,()ygx,() 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，mm(7,156ln3).,的取值范围为 【练习题】 32fxxxxa(),，1.(2005全国?,文)设为实数，函数( afx()(?)求的极值; yfx,()(?)当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点( ax32fxaxbxcxd,，,02.研究三次方程有且只有一个实数根的条件. ，3fxxx(),3、(2007年全国?卷,理) 已知函数( yfx,()Mtft()，(?)求曲线在点处的切线方程; ()ab，yfx,(),abfa()a,0(?)设，如果过点可作曲线的三条切线，证明:( 2,fx

16、()()31xx,【分析及解】(?)求函数的导数;( fyfx,()Mtft()， 曲线在点处的切线方程为: ,yftftxt,()()() ， 23ytxt,(31)2 即 ( ()ab，t(?)如果有一条切线过点，则存在，使 23btat,(31)2 ( ()ab，yfx,()于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 32230tatab,，, 有三个相异的实数根( 32gttatab()23,，记 ， 2,gttat()66,则 ,6()tta ( ,tgtgt()()，当变化时，变化情况如下表: 7 , t(0),，(0)，a()a，, a0 ,gt() 0 0 ，gt() 增 极大值

17、减 极小值 增 gt()bfa,()0gt()0,ab，,0由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根; 3aab，,0gt()0,gt()0,当时，解方程得，即方程只有两个相异的实tt,0，2数根; abfa,()0gt()0,gt()0,当时，解方程得tta,，即方程只有两个相异2的实数根( ()ab，yfx,()gt()0,综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，ab，,0，,则 ,bfa,()0.,abfa()即 ( 【练习题参考答案】 12,fx()0,fxxx()321,1.(I),若，则. xx,13fx()fx()当变化时，变化情况如下表: x111, 1

18、,，, x 1 ,1，,333,fx() + 0 0 + , fx() 极大值 极小值 15fx()fa(1)1,?的极大值是，极小值是 fa(),，327322fxxxxaxxa()(1)(1)1,，,，,(II)函数 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。fx()fx()由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.yfx()=与轴至少有一个交点 x4、在教师的具体指

19、导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。fx()结合的单调性可知: tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；,15,fxfa,，,0.，,max,a,1解得. .327,ffa,(1)10.min,7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。,15,fxfa,，,0.，5,max,或解得. .a,327,27,ffa,(1)10.min,八、教学进度表5,yfx,()?当时，曲线与轴仅有一个交点。 a,，,1,x，,27,fx,02. 三次方程有且只有一个实数根,有下列两种情况: ，(一)情感与态度：2,x,Rfxfxaxbxc,，32(1

20、) 函数在上是单调的，这相当于恒大于零，或恒，22,4120bacbac,3小于零，即，即. （2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：2,x,Rfxfxaxbxc,，,320(2) 函数在上不是单调的，设有两个根为，三三角函数的计算8 , 2xx,4120bac(此时)，这时，它们对应的函数值是极大或极小值,需满足12fx,0,fx,0,，,11fxfx,0或即. ，,12fx,0.fx,0.，,22,2,bac,3,2bac,3因此,三次方程有且只有一个实数根的条件是: 或. ,fxfx,0，,12,3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。9