15.5.1提公因式法

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1、第15章 整式15.5因式分解第15章 整式15.5因式分解15.5.1提公因式法【教学目标】1、 知识目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）理解因式分解与整式乘法的相互关系相反变形，并会使用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。（3）掌握公因式的概念，会使用提公因式法实行因式分解。2、 水平目标：（1） 由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断水平和创新水平，发展学生智能，深化学生逆向思维水平和综合使用水平。（2） 培养学生的观察、分析、判断及自学水平。3、 德育目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。【教学重点】1、 因式分解的概念.

2、2、 提公因式法法则。【教学难点】1、 因式分解与整式乘法的关系；2、 提公因式的方法。【教学准备】多媒体课件。【教学设计】一至两课时【教学过程】一、 教学引入1、 想一想：下列式子的公因式是什么？2、 想一想：在下列各式右边的括号前该添上“”还是“”号就能使等式成立了？ 二、 讲授新课1因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。2因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：a2-b2=（a+b）（a-b） 整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。结论

3、：因式分解与整式乘法正好相反。3、 提公因式法：能够把多项式写成与的乘积的形式，相当于把公因式从各项中提出来，作为多项式的一个因式，把从多项式各项中提出后所成的多项式，作为多项式的另一个因式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。4、 学习时应注意的问题提取公因式法的难点有：（1）符号问题；（2）各项除以公因式时的同底幂相除后的指数问题；（3）（a-b）2n与（a-b）2n-1中底的变形。三、 课堂例题【例题1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？（x+2）（x-2）=x2-4x2-4=（x+2）（x-2）a2-2ab+b2=（a-b）23a（a+2）=3a2+6a3a2+6

4、a=3a（a+2）x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3xk2+2=（k+）2x-2-1=（x-1+1）（x-1-1）18a3bc=3a2b6ac【例题2】填空：(1)2xy( )=2x2y-6xy22x2y-6xy2=2xy( )(2)xy( )=2x2y-6xy2 2x2y-6xy2=xy( )(3)2x( )=2x2y-6xy2 2x2y-6xy2=2x( )【例题3】把下列各式分解因式： (1)2ax+2ay (2)3mx-6nx (3) x2y+xy2 (4) x2+-x (5) x2-0.01 (6) a3-1 【例题4】把8a3b2-12ab3c分解因式。解：8a3b2-12a

5、b3c4 a3b22a24 a3b23bc4 a3b2（2a23bc）【例题5】谁能用简便的方法运算下列式子：【例题6】把分解因式。解：【例题7】把分解因式。分析：要找出多项式的公因式，关键在于的变形，在变形过程中，要特别注意符号的变化规律，即：。解： 四、 课堂练习【练习1】1.选择题.(1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ). .12234.(2)(2)24.42814(2)-1 .121212()(2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).(5)(1)245 .221()()-1.210252(5)2 222() (3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). .(

6、)22 .(3)(3)29 .() .2()2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)()2222； (2)216(4)(4)；(3)2-45(2)21；(4)221(1)2；(5)2251(5)(5)1；(6)256(6)(1).【练习2】1、把下列多项分解因式。(1)16a3b-8a2b2c;(2)2x4y2-4x3y2+10xy4;2、去括号或填空：(1)a+(b-c);(2)a-(b-c);(3)a+b-c=a+( );(4)a-b+c=a-( ).【练习3】【练习4】因式分解【练习5】把下列各多项式进行因式分解：五、 课堂总结1. 通过本课的学习，我们要

7、知道什么叫做因式分解，什么叫做提取公因式，并会用提取公因式法分解因式。2. 提取公因法的难点在于如何确定公因式以及确定另一个因式。公因式的确定：系数各项系数的最大公因数，首项含有“-”号应先提取；字母相同字母的较低次幂。另一个因式的确定：用原式分别除以公因式所得的商式。3. 要注意分解结果不要漏项。防止漏项的方法有二：一是另一个因式的项数是否与原式的项数相符；二是应用因式分解与整式的乘法的关系，用整式乘法来检查因式分解的结果对不对。【课后作业】教科书196页练习。【补充练习】【补充1】选做题：x2+x-m=(x+3)( ),且m= .x2-3x+k=(x-5)( ),且k= .【补充2】1.若

8、 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 2机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 【补充3】1.判断正误.(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.( )2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)22+y21(1)(1)；(2)223()() 3；(3)22n2-22()22()；(4)9(21)9(1)(1)；(5)23(23)；(6)(2)(3)+521；(7)922(3+)(

9、3).【补充4】把下列各式分解因式或计算：【补充5】用提取公因式法分解下列因式1、2mx(x-3)(y+5)+2nx(x-2)(y+5)2、xm+nym-4xm-1ym+1+xmym (m1的整数，n为正整数)【补充6】1 把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式。2 根据乘法运算： (x2y)(x2y) x24y2, (m3)(m2)m2m6, （xy）（mn）mxnxmyny ，(a2b)2a24ab4b2 把下列多项式因式分解： x24y2 m2m6 mxnxmynya24ab4b23 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘

10、积的形式，这种分解因式的方法叫做。4 填空： abac的公因式是。 2ab24abc的公因式是。5填空 ab2ac(b2c) 7ab2c14a2bc7abc7abc() 8a3b2c6a2b2c212a3bc22a2bc() anbanc(bc) x2y ()6把下列各式分解因式x2yzxy2zxyz2 14pq28pq2 4a2b8ab2 8x416x3y 12xyz9y2z2 3a2b6ab6b x2xyxz 16y432y38y27利用因式分解计算 2.1828462.18262.18 7.561.091.09612.561.09【备课札记】考题例析1、(2000年 吉林省)因式分解：=

11、_。考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。评析思路，先提公因式，然后再用平方差公式进行分解.说明:分解因式要彻底。 2、（1998 四川）分解因式：4q(1-p)3+2(p-1)2考点：提公因式法分析：注意到(p-1)2=(1-p)2, 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p)2, 系数的最大公约数是2，故提2(1-p)2.解：4q(1-p)3+2(p-1)2 =2(1-p)22q(1-p)+1=2(1-p)2(2q-2pq+2).真题实战1、(1999 盐城)选择：若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为（）。A、-1 B、1 C、-2 D、2分析：

12、解此类题关键在于理解因式分解的概念，根据题意x2+ax-1=(x-2)(x+b),把右边展开后，再由恒等式的性质即可求解。2、（1998 北京）选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为（ ）A、(a+1)(b+1) B、(a-1)(b-1) C、(a+1)(b-1) D、(a-1)(b+1)解：ab+a-b-1=(ab+a)-(b+1)=a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1) 3、（1998 天津）填空：分解因式2a(b+c)-3(b+c)=_.4、（1998 三明市）分解因式：x2y-xy2.5、（1999 湖南省）分解因式：a-ab2=_6、（1999 贵州省贵阳市）因式分解：x2

13、xy=_【教学目标】4、 知识目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。（3）掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。5、 能力目标：（3） 由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。（4） 培养学生的观察、分析、判断及自学能力。6、 德育目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。【教学重点】3、 因式分解的概念.4、 提公因式法法则。【教学难点】3、 因式分解与整式乘法的关系；4、 提

14、公因式的方法。【教学准备】多媒体课件。【教学设计】一至两课时【教学过程】六、 教学引入5、 想一想：下列式子的公因式是什么？6、 想一想：在下列各式右边的括号前该添上“”还是“”号就能使等式成立了？七、 讲授新课1因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。2因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：a2-b2=（a+b）（a-b） 整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。结论：因式分解与整式乘法正好相反。7、 提公因式法：可以把多项式写成与的乘积的形

15、式，相当于把公因式从各项中提出来，作为多项式的一个因式，把从多项式各项中提出后所成的多项式，作为多项式的另一个因式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。8、 学习时应注意的问题提取公因式法的难点有：（1）符号问题；（2）各项除以公因式时的同底幂相除后的指数问题；（3）（a-b）2n与（a-b）2n-1中底的变形。八、 课堂例题【例题1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？（x+2）（x-2）=x2-4x2-4=（x+2）（x-2）a2-2ab+b2=（a-b）23a（a+2）=3a2+6a3a2+6a=3a（a+2）x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3xk2+2=（k+

16、）2x-2-1=（x-1+1）（x-1-1）18a3bc=3a2b6ac【例题2】填空:(1)2xy( )=2x2y-6xy22x2y-6xy2=2xy( )(2)xy( )=2x2y-6xy2 2x2y-6xy2=xy( )(3)2x( )=2x2y-6xy2 2x2y-6xy2=2x( )【例题3】把下列各式分解因式： (1)2ax+2ay (2)3mx-6nx (3) x2y+xy2 (4) x2+-x (5) x2-0.01 (6) a3-1 【例题4】把8a3b2-12ab3c分解因式。解：8a3b2-12ab3c4 a3b22a24 a3b23bc4 a3b2（2a23bc）【例题

17、5】谁能用简便的方法运算下列式子：【例题6】把分解因式。解：【例题7】把分解因式。分析：要找出多项式的公因式，关键在于的变形，在变形过程中，要特别注意符号的变化规律，即：。解： 九、 课堂练习【练习1】1.选择题.(1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ). .12234.(2)(2)24.42814(2)-1 .121212()(2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).(5)(1)245 .221()()-1.210252(5)2 222() (3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ). .()22 .(3)(3)29 .() .2()2.判断下列各题从左到右的变形，

18、哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)()2222； (2)216(4)(4)；(3)2-45(2)21；(4)221(1)2；(5)2251(5)(5)1；(6)256(6)(1).【练习2】1、把下列多项分解因式。(1)16a3b-8a2b2c;(2)2x4y2-4x3y2+10xy4;2、去括号或填空：(1)a+(b-c);(2)a-(b-c);(3)a+b-c=a+( );(4)a-b+c=a-( ).【练习3】【练习4】因式分解【练习5】把下列各多项式进行因式分解：十、 课堂总结4. 通过本课的学习，我们要知道什么叫做因式分解，什么叫做提取公因式，并会用提取公因式法分解因式。5.

19、提取公因法的难点在于如何确定公因式以及确定另一个因式。公因式的确定：系数各项系数的最大公因数，首项含有“-”号应先提取；字母相同字母的较低次幂。另一个因式的确定：用原式分别除以公因式所得的商式。6. 要注意分解结果不要漏项。防止漏项的方法有二：一是另一个因式的项数是否与原式的项数相符；二是应用因式分解与整式的乘法的关系，用整式乘法来检查因式分解的结果对不对。【课后作业】教科书196页练习。【补充练习】【补充1】选做题：x2+x-m=(x+3)( ),且m= .x2-3x+k=(x-5)( ),且k= .【补充2】1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 2机动题：（填

20、空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 【补充3】1.判断正误.(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.( )2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)22+y21(1)(1)；(2)223()() 3；(3)22n2-22()22()；(4)9(21)9(1)(1)；(5)23(23)；(6)(2)(3)+521；(7)922(3+)(3).【补充4】把下列各式分解因式或计算：【补充5】用提取公因式法分解下列因

21、式1、2mx(x-3)(y+5)+2nx(x-2)(y+5)2、xm+nym-4xm-1ym+1+xmym (m1的整数，n为正整数)【补充6】5 把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式。6 根据乘法运算： (x2y)(x2y) x24y2, (m3)(m2)m2m6, （xy）（mn）mxnxmyny ，(a2b)2a24ab4b2 把下列多项式因式分解： x24y2 m2m6 mxnxmynya24ab4b27 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做。8 填空： abac的公因式是。 2ab2

22、4abc的公因式是。5填空 ab2ac(b2c) 7ab2c14a2bc7abc7abc() 8a3b2c6a2b2c212a3bc22a2bc() anbanc(bc) x2y ()6把下列各式分解因式x2yzxy2zxyz2 14pq28pq2 4a2b8ab2 8x416x3y 12xyz9y2z2 3a2b6ab6b x2xyxz 16y432y38y27利用因式分解计算 2.1828462.18262.18 7.561.091.09612.561.09【备课札记】考题例析1、(2000年 吉林省)因式分解：=_。考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。评析思路，先提公因式，然后再用

23、平方差公式进行分解.说明:分解因式要彻底。 2、（1998 四川）分解因式：4q(1-p)3+2(p-1)2考点：提公因式法分析：注意到(p-1)2=(1-p)2, 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p)2, 系数的最大公约数是2，故提2(1-p)2.解：4q(1-p)3+2(p-1)2 =2(1-p)22q(1-p)+1=2(1-p)2(2q-2pq+2).真题实战1、(1999 盐城)选择：若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为（）。A、-1 B、1 C、-2 D、2分析：解此类题关键在于理解因式分解的概念，根据题意x2+ax-1=(x-2)(x+b),把右边展开后，再由恒等式的性质即可求解。2、（1998 北京）选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为（ ）A、(a+1)(b+1) B、(a-1)(b-1) C、(a+1)(b-1) D、(a-1)(b+1)解：ab+a-b-1=(ab+a)-(b+1)=a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1) 3、（1998 天津）填空：分解因式2a(b+c)-3(b+c)=_.4、（1998 三明市）分解因式：x2y-xy2.5、（1999 湖南省）分解因式：a-ab2=_6、（1999 贵州省贵阳市）因式分解：x2xy=_