拟合及微分方程数值解法

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1、2021/6/161什么是数学建模什么是数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。2021/6/162建模全过程示意图建模全过程示意图2021/6/163数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2021/6/164堂上思考题堂上思考题如何估计一个人体内血液的总量？2021/6/165示例示例3、人口预报、人口预报一、两个经典模型：1、指数增长模型：2、阻滞增长模型（Logistic模型）rxdtdx)1(mxxrxdtdx二、两个重要名词：固有增长率与人口容纳量三、如

2、何估计Logistic模型的参数2021/6/166课后作业课后作业（1）用P11表2的数据，分别确定两个模型的参数。（2）分别对两个模型进行误差分析。（3）将程序附上作业编号：h01-022021/6/1671、模型各项参数的意义、模型各项参数的意义)1(mxxrxdtdx固有增长率：种群数量很少时的增长率种群尚未实现部分的比例环境容纳量指数增长部分2021/6/1682、模型的解、模型的解方法：分离变量法 解：rtmmexxxtx)1(1)(0增长最快的地方S形曲线 稳定生长阶段 指数增长阶段初始生长阶段2021/6/1693、如何对模型进行参数估计、如何对模型进行参数估计（1）将模型变形

3、：srxsxrxdtdxm,（2）如何根据数据计算 以P14表4为例：dtdx年实际人口数17903.918005.30.1418107.20.19Txxdtdxii)(1（3）参数估计方法：最小二乘法，用matlab实现2021/6/16104、logistic模型的应用模型的应用（1）水稻叶伸长生长变化（2）变形虫细胞重量生长2021/6/1611（1）水稻叶伸长生长变化）水稻叶伸长生长变化时间11.82.63.44.14.85.46.16.87.48.1重量0.30.50.91.42.53.24.37.610.114.418.5时间8.89.410.110.811.712.413.114

4、.415.115.7 重量23.025.230.433.738.841.743.744.845.545.3 生长观测记录Logistic模拟Richard模拟2021/6/1612（2）变形虫细胞重量生长）变形虫细胞重量生长时间01.252.503.755.006.257.508.7510.0011.2512.50重量10.8511.3112.3013.4413.6314.1915.1815.6115.9016.9817.38时间13.7515.0016.2517.5018.7520.0021.2522.5023.7525.00 重量17.7818.6619.1918.7819.2119.14

5、19.7419.9620.0619.91 观测数据用Richard模型模拟用Logistic模型模拟2021/6/16135、Logistic模型的演变模型的演变（1）Logistic模型的特点：模型的特点：模型具有固定的拐点，只能描述一种特定形状的S曲线。（2）面临的问题：）面临的问题：生物在一个完整的时间序列里，生物的总生长量最初比较小，随时间的增加逐渐增长而达到一个快速生长时期，尔后增长速度趋缓，最终达到稳定的总生长量。此生长过程的图象描述称为是一种拉长的S形曲线。（3）更合适的模型描述Richards模型（1951）mktbeaty11)1()(注：当m2时为Logistic模型 20

6、21/6/1614内内 容容一、Logistic模型的性质、参数估计 、应用与模型演变二、Matlab入门2021/6/1615Matlab使用1、matlab使用环境使用环境2、一些常用函数、一些常用函数3、关于矩阵提取、关于矩阵提取4、图形功能、图形功能5、M-文件编写文件编写2021/6/16161、Matlab使用环境命令编辑区：命令编辑区：（1）一行执行一个命令（2）表达式后面的“；”，将不显示结果。开机画面：开机画面：MATLAB工作区：工作区：可查看所有变量值2021/6/1617的行列式与逆矩阵，求设矩阵）计算：（AAe653874521)2(81)3(ln122.1disp没

7、有;没有定义变量名det(a)inv(a)2021/6/1618Matlab使用1、matlab使用环境使用环境2、四则运算与一些常用函数、四则运算与一些常用函数3、关于矩阵提取、关于矩阵提取4、图形功能、图形功能5、M-文件编写文件编写2021/6/16192、四则运算注意事项（1）*与.：矩阵乘法与 数组乘法 （2）矩阵的左除运算与 右除运算2021/6/1620左除、右除与点除左除：AB =inv(A)*B右除：A/B =A*inv(B)2021/6/1621常用的基本数学函数（1）abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度 sqrt(x)：开平方 round(x)：四舍五入至最近整数 fi

8、x(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数 rat(x)：将实数x化为分数表示 rats(x)：将实数x化为多项分数展开 sign(x)：符号函数(Signum function)。2021/6/1622常用的基本数学函数（2）sin(x)：正弦函数 cos(x)：馀弦函数 tan(x)：正切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反馀弦函数 atan(x)：反正切函数 atan2(x,y)：四象限的反正切函数 sinh(x)：超越正弦函数 cosh(x)：超越馀弦函数 tanh(x)

9、：超越正切函数 asinh(x)：反超越正弦函数 acosh(x)：反超越馀弦函数 atanh(x)：反超越正切函数 min(x):向量x的元素的最小值 max(x):向量x的元素的最大值 mean(x):向量x的元素的平均值 median(x):向量x的元素的中位数 std(x):向量x的元素的标准差 diff(x):向量x的相邻元素的差 sort(x):对向量x的元素进行排序（Sorting）length(x):向量x的元素个数 norm(x):向量x的欧氏（Euclidean）长度 sum(x):向量x的元素总和 prod(x):向量x的元素总乘积 cumsum(x):向量x的累计元素总

10、和 cumprod(x):向量x的累计元素总乘积 dot(x,y):向量x和y的内 积 2021/6/1623矩阵函数det(A)：行列式计算 A/：矩阵的转置inv(A)：矩阵的逆 orth(A)：正交化poly(A)：特征多项式 rank(A)：矩阵的秩trace(A)：矩阵的迹 zeros(m,n)：m行n列的零矩阵ones(m,n)：m行n列的全1矩阵 eys(n)：n阶单位矩阵d=eig(A),v,d=eig(A)：特征值与特征向量rand(m,n)：m行n列均匀分布随机数矩阵randn(m,n)：m行n列正态分布随机数矩阵2021/6/1624Matlab使用1、matlab使用环

11、境使用环境2、四则运算与一些常用函数、四则运算与一些常用函数3、关于矩阵提取、关于矩阵提取4、图形功能、图形功能5、M-文件编写文件编写2021/6/16253、关于矩阵的提取，:运算取矩阵a第三行取矩阵a第1、2行与第2、3列交叉点的数将矩阵a所有元素作一列2021/6/1626Matlab使用1、matlab使用环境使用环境2、四则运算与一些常用函数、四则运算与一些常用函数3、关于矩阵提取、关于矩阵提取4、图形功能、图形功能5、M-文件编写文件编写2021/6/1627二维图形功能（一）plot:x轴和轴和y轴均为线性刻度轴均为线性刻度 注：1、图形颜色：y(黄)k(黑)w(白)b(蓝)g

12、(绿)r(红)2、线条形状：-(实线）-.（点虚线）-（虚线）3、数轴范围调整：axis(xmin,xmax,ymin,ymax)3、图形的各种注解与处理：x轴注解：xlabel(Input Value)y轴注解：ylabel(Function Value);图形标题：title(Two Trigonometric Functions)图形注解：legend(y=sin(x),y=cos(x)显示格线：grid on4、画出数个小图形于同一个视窗之中：subplot2021/6/1628更多的二维作图命令bar 长条图 errorbar 图形加上误差范围 fplot 较精确的函数图形 pola

13、r 极座标图hist 累计图 rose 极座标累计图stairs 阶梯图 stem 针状图 fill 实心图 feather 羽毛图compass 罗盘图 quiver 向量场图 2021/6/1629x=0:0.1:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);y3=log(x+1)-x.2;subplot(1,2,1),plot(x,y1,y,x,y2,rd),title(y=sin(x)与y=cos(x)subplot(1,2,2),plot(x,y3,b),title(y=ln(x+1)-x2)2021/6/1630Matlab使用1、matlab使用环境使用环境2、四则运算与一些

14、常用函数、四则运算与一些常用函数3、关于矩阵提取、关于矩阵提取4、图形功能、图形功能5、M-文件编写文件编写2021/6/1631M-文件1、关系运算符 ：小于 ：大于 =：大于等于 =：不等于2、逻辑运算符&：与运算|：或运算 ：非运算3、for循环、while循环4、break语句：跳出上述循环5、定义函数:function y=new_fun(x)2021/6/1632用用Logistic模拟水稻叶伸长生长模拟水稻叶伸长生长时间11.82.63.44.14.85.46.16.87.48.1重量0.30.50.91.42.53.24.37.610.114.418.5时间8.89.410.1

15、10.811.712.413.114.415.115.7 重量23.025.230.433.738.841.743.744.845.545.3 生长观测记录数据srxsxrxdtdxm,2021/6/1633模型表达式：模型表达式：3.0)1()381.481(5284.0 xxxdtdx2021/6/1634程序！程序！2021/6/1635关于关于polyfit命令命令命令：p=polyfit(x,y,n)（1）x与y为模拟数据（2）n为拟合多项式的次数（3）当n=1时为用最小二乘法进行 直线拟合（4）得到的向量p为长度n+1向量，对应p的分量依次是次数从高 到底各多项式系数2021/6/1636用用Richard模拟模拟水稻叶伸长生长水稻叶伸长生长829.1115398.0)56.981(1.47)(tety2021/6/1637关于关于inline函数函数例如：y=inline(sin(x)-cos(x),x)输入y(0)，可得：-1作图：x=0:0.1:2*pi;plot(x,y(x)2021/6/1638 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！