全国高中数学联赛试题分类汇编： 8解析几何 Word版含答案

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1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编解析几何部分2019A 4、设为椭圆G 的长轴顶点，为G 的两个焦点，, , 为G上一点，满足，则的面积为 答案： 解析：设椭圆G的方程为（），则，可知，,所以，又，所以，即为直角，进而得面积为。2019A 10、在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点求圆的半径解析：易知的焦点的坐标为设圆 的半径为() 由对称性，不妨设在轴上方与轴相切于，故的方程为，将代入消去得，显然，所以由于圆与轴相切于的焦点则恰有一个正数解，由于当且仅当，即时取等号，接下来，当及时，产生不唯一解，所以仅有符合。2019B 7. 在平面直角坐标系中

2、，若以为圆心、为半径的圆上存在一点满足，则的最小值为 答案： 解析：由条件知，故，即有解，所以，解得。经检验，当时，时满足条件，所以的最小值为。2019B 9. （本题满分16分）在椭圆中， 为一个焦点，为两个顶点若,，求的所有可能的值。解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为（），并记由对称性，可设为的右焦点知到椭圆的左顶点的距离为，到椭圆的右顶点的距离为，到上下顶点的距离均为，A,B分别为左、右顶点此时，故；A为左顶点，B为上顶点或下顶点此时，故；A为上顶点或下顶点，B为右顶点此时，故；综上的所有可能的值为。2018A 4、在平面直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别是，椭圆的弦与分别平

3、行于轴和轴，且相交于点，已知线段的长分别为，则的面积为 答案：解析：由对称性，不妨设点在第一象限，则，即。进而可得，代入椭圆方程解得：，从而。2018B 6、设抛物线的准线与轴交于点，过点作一直线与抛物线相切于点,过点作的平行线，与抛物线交于点，则的面积为为 答案： 解析:设直线与的斜率为，分别联立抛物线方程得到：（），和（）对（）由得；对（）得所以2017A 3、在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，是的焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积最大值为 答案： 解析：由题意得，设点的坐标为，其中，则，可得面积最大值为。2017B 7、设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线的

4、焦距为，则实数的值为 答案： 解析：二次曲线方程可写成，显然必须，故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则，注意到焦距，可知，又，所以.2018A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，设是抛物线的过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点）若平分，求的所有可能值。解析：设，由已知条件知两两不等且不为0.设直线的方程为，由得，知，。设外接圆的方程为，由得，知该四次方程的根即为，由根与系数关系得，即，又平分，由角平分线定理得，结合所以即，当时，此时，得与重合，舍去。当时，由得，得，所以这样的是存在的，对应的也是存在的。所以2018B 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中， 与分别

5、是椭圆（）的左、右顶点与上、下顶点设是椭圆上且位于第一象限的两点，满足，是线段的中点，射线与椭圆交于点.证明：线段能构成一个直角三角形。证明:设点的坐标为，由于，则，又，所以，故存在实数，使得,，此时点的坐标可以分别表示为，。由于点在椭圆上，所以，化简整理得，则，（）因此， ,线段能构成一个直角三角形。2017B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，求的取值范围。解析：设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，化简可得：，由于与交于两个不同的点，故关于的方程的判别式为正，计算得，因此有，设的横坐标分别为，由知，因此，结合的倾斜角

6、为可知，由可知，故，从而由得：注1：利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，同样可以求得中的范围.注2：更简便的计算的方式是利用圆幂定理，事实上，的圆心为，半径为，故.2016A 7、双曲线的方程为，左右焦点分别为、，过点作一直线与双曲线的右半支交于点、，使得，则的内切圆半径是 答案：解析：由双曲线的性质知，因=90，故，因此从而直角的内切圆半径是2016A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的一个动点。设为焦点，为顶点作抛物线。设是第一象限内抛物线上的一点，是轴负半轴上的一点，使得为抛物线的切线，且，圆，均与直线相切于点，且均与轴相切。求点的坐标，使得圆与的

7、面积之和取到最小值。 解析：设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得进而可知，点P的坐标为于是由PQ=2可得 5分注意到OP与圆相切于点P，所以设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90从而由射影定理知结合，就有 10分由共线，可得化简得 15分令，则圆的面积之和为根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况根据、可知，作代换，由于，所以于是上式等号成立当且仅当，此时，因此结合得，从而F的坐标为20分2016B 6、在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为,则直线的方程为 答案：解

8、析：的标准方程分别为由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是2016B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立解析：过点作两条互相垂直的直线与易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）联立与的方

9、程知，即这是一个二次方程式，其判别式为故与有两个不同的交点同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，用代替，同理可得于是综上所述，为符合条件的值2015A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的的，点到直线的距离为，如果直线，的斜率依次成等差数列，求的取值范围。解析：由条件知，点、的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) 设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为和，则满足方程，即由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程的两个不同实根，因此有的判别式，即由直线的斜率依次成等差数列知，又，所以，化简并整理得，假如，则直线l的方程

10、为，即 z 经过点（-1, 0)，不符合条件因此必有，故由方程及韦达定理知，即 由、知，化简得，这等价于反之，当满足及时，l必不经过点（否则将导致，与矛盾）, 而此时满足，故l与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了、的斜率存在（否则中的某一个为- l，结合知，与方程有两个不同的实根矛盾）10分点（l , 0）到直线l: 的距离为注意到，令，则，上式可改写为考虑到函数在上上单调递减，故由得，即20 分2015B 7、设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 答案： 解析：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，| PA|+|PB|=4

11、-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5当P在AF延长线与椭圆的交点时，|PA|+|PB|最大值为52015B 11、（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围解析：设椭圆的右焦点F的坐标为（, 0)显然l不是水平直线，设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为，将直线 l的方程与椭圆方程联立，消去得 由韦达定理 5分因为等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数，使得, 显然存在满足等价于 15 分又，所以等价于，两边除以 得到,即由于，解得：20 分2014A 6、设椭圆的两个焦点、，过点的直线与交于点，若且，

12、则椭圆的短轴与长轴的比值为 答案： 解析：不妨设，。记椭圆的长轴，短轴的长度分别为，焦距为，则，且由椭圆的定义知，于是设为线段的中点，则，且有。由勾股定理知，即，解得，进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为2014A 9、（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上的一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与直线，轴的交点分别为。证明：是一个定点；求的最小值。解析：（1）设点的坐标为，易知。记两切点，的坐标分别为，则，的方程分别为 而点的坐标同时满足，。故，的坐标均满足方程 ，故就是直线的方程。直线与的斜率分别为与，由知，故。 4分从而即为，故与轴的交点是定点（2，0

13、）。 8分（2）因为，故直线的斜率，直线的斜率。设，则为锐角，且当时，的最小值为。 16分2014B 6、是椭圆（）的两个焦点，为椭圆上的一点，如果的面积为，则 答案： 解析：不妨假定，（），。则直线的斜率为，直线的斜率为.因此，我们得到：，从这两个方程中我们解得，。又，解得，则。从而，即2014B 11、（本题满分20分）如下图，椭圆，,是椭圆上的两点，直线，（，）是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点.求证:三条直线共点。解析：直线的方程是，进而可得,，所以直线的方程为；直线的方程为；由过，交点的直线系方程为，把代入可得，此时直线系就变为，再令，可以解得，即该直线

14、过点，说明三条直线共点。另解：利用塞瓦定理得。，而在椭圆上，所以，得代入上式，即可征得。所以三条直线共点。2013A 2、在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点，则与的面积之比为 答案：解析：由题意得，设，代入得，所以与的面积之比为2013A 10、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上不同于的任意一点.若平面中有两个点满足,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明。解析：记，则，。设，则，由，得，两式相减得，代回解得，于是，同理根据,可得因此，由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即）2013B 11、（本

15、题满分20分）在平面直角坐标系内，点的坐标为，点在抛物线上，满足，求的值。解析：设，,则，代入得，又恰为抛物线的焦点，所以，所以，所以2012A1、设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 答案：解析：设则直线的方程为即由又所以故2012A 4、在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值为 答案：解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.2012A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且.求证：为定值；当

16、点在半圆（）上运动时，求点的轨迹。解析：因为所以三点共线。如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有(定值) (2)设其中则.因为所以由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 2012B3、如图，设椭圆（）的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点。若内切圆的面积为，且，则椭圆的离心率为 答案：解析：由性质可知的周长为，内切圆半径为，则，可得，即2012B 11、（本题满分20分）已知抛物线（），是抛物线上不同于顶点的两个动点，记，（）。若，试求当取得最小值时的最大值。解析：由，所以，即。记，则，令，则，当时，取得最小值。此时，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大

17、值为。2011A 7、直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 答案： 或解析：设，由得 ，则，又，所以，因为，所以，即有，即，即，即显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合所以，解得故所求点的坐标为或2011A 11、（本题满分20分）作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线上方。证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；若，求的面积。解析：（1）设直线：，将代入中，化简整理得于是有， 则，上式中，分子，从而，又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以的内切圆的圆心在直线上 （2）若时，结合（1）的结论可知直线的方程为：，代入中，消去得它的两根分别是和，所

18、以，即所以同理可求得 所以 2011B 8、抛物线上动点到点的距离的最小值记为，满足的所有实数的和为 答案： 解析：设，则，（）当，即时，当时，取得最小值，又，即解得或；当，即时，当时，取得最小值，解得综上，满足条件的实数的和为2011B 11、（本题满分20分）已知是抛物线上不同的三点，有两边所在的直线与抛物线相切，证明：对不同的，为定值.证明：依题意有，互不相等。不妨设,所在的直线与抛物线相切，因为的过原点的切线与抛物线只有一个公共点，所以原点不能是所设内接三角形的顶点，即（）。由于设所在的直线与抛物线相切，所以不平行轴，即，。直线的方程为，联立得由化简得由于所在的直线与抛物线相切，同理可

19、得减去式，及，得，即代入得综上，对不同的，为定值.2010A B3、双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 答案：解析：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.2010A B10、（本题满分20分）已知抛物线上的两个动点和，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积的最大值。解析：解法一：设线段的中点为，则 ， .线段的垂直平分线的方程是. （1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（

20、1）知直线的方程为，即 . （2）（2）代入得，即. （3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,解得. .又定点到线段的距离. 所以 . 当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为. 解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 设，则的绝对值, ,所以, 当且仅当且，即 ,或时等号成立. 所以，面积的最大值是. 2009*2、已知直线和圆，点在直线上，点为圆上两点，在中，直线过圆心，则点横坐标的取值范围为 答案：解析：设A（a，9-a），则圆心M到直线AC的距离d=sin，由直线AC与圆M相交，得 .解得 .2009*5、椭圆（）上任意两点，若，则的最小值为

21、 答案：解析：设，由在椭圆上，有（1）， （2）（1） +（2）得于是当 时，达到最小值2009*9、（本题满分14分）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。解析：由题意得 消去化简整理得设，则. （1）由 消去化简整理得设，则. （2）因为，所以，此时，.由，得.所以，或.由上试解得或.当时，由（1）和（2）得.因是整数，所以的值为当时，由（1）和（2）得.因是整数，所以于满足条件的直线共有9条。2008A 15、如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于,求面积的最小值。解析：设，不妨设直线

22、的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ，故，易知，上式化简得，同理有 所以，则因是抛物线上的点，有，则， 所以当时，上式取等号，此时因此的最小值为82008B 15、如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于,求面积的最小值。解析：设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1，即 ， 故，展开得，易知，故，同理有 所以，因是抛物线上的点，有，即，则，故， 所以 当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 2007*5、设圆和是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则圆的圆心轨迹不可能是 A. B. C. D.答案：A解析：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|，则一般地，圆P的圆

23、心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当时，轨迹是两个同心圆）。当且时，圆的圆心轨迹如选项B；当时，圆P的圆心轨迹如选项C；当且时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。2007*7、在平面直角坐标系内，有四个定点，及一个动点，则的最小值为 答案：解析：解：如图，设与交于点，则，因此，当动点与点重合时，取到最小值。2007*14、（本题满分20分）已知过点的直线与曲线（）交于两个不同的点。求曲线在处的切线的交点的轨迹。解析：设点、，曲线在点处的切线分别为，其交点的坐标为。若直线的斜

24、率为，则的方程为。由方程组，消去，得，即。由题意知，该方程在上有两个相异的实根，故，且(1)，(2)，(3)，由此解得。对求导，得，则，于是直线的方程为，即，化简后得到直线的方程为(4)。同理可求得直线的方程为(5)。(4)(5)得，因为，故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得。(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得，而，得。又由得，即点的轨迹为，两点间的线段（不含端点）。2006*9、已知椭圆的左右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，的值为 答案：解析:由平面几何知，要使最大，则过，三点的圆必定和直线相切于点。设直线交轴于，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，A，从而

25、有，。代入（1），（2）得。2006*13、（本题满分20分）给定整数，设是抛物线与直线的一个交点，试证明对于任意的正整数，必存在整数，使得为抛物线与直线的一个交点。证明：因为与的交点为.显然有。若为抛物线与直线的一个交点，则.记，则 ，（13.1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数. 现在对于任意正整数，取，使得与的交点为. 2005*5、方程表示的曲线是 A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的双曲线 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线答案：C解析：即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆。2005*11、

26、若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为 答案：解析：设正方形的边在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点，它到直线的距离为.、联立解得或2005*15、（本题满分20分） 过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交轴于，交轴于.点在抛物线上，点在线段上，满足；点在线段上，满足，且，线段与交于点.当点在抛物线上移动时，求点的轨迹方程.解析：由题知的方程为故是的中点. 令则因为为的中线，而是的重心.设因点C异于A，则故重心的坐标为消去得故所求轨迹方程为2004*12、在平面直角坐标系中，

27、给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为 答案：解析：当最大时，过的圆与轴相切于点(否则圆与轴交于，则线段上的点使更大)于是，延长交轴于，有，得到或，但处圆的半径小，从而点的横坐标为2004*14、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，给定三点，点到直线的距离是该点到直线，距离的等比中项。（）求点的轨迹方程；（）若直线经过的内心（设为），且与点的轨迹恰好有个公共点，求的斜率的取值范围。解析：解： 设点的坐标为，则方程为，方程为， 方程为， 所以，整理得或所以所求轨迹为圆：， 或双曲线： 但应去掉点与 的内心,经过的直线为或 所以：(1) 直线与圆有两个交点，与双曲线没有交点；(2)

28、 时，直线与圆切于点，与双曲线交于，即满足(3) 时，直线与圆只有1个公共点，与双曲线也至多有1个公共点，故舍去(4) 且时，直线与圆有2个公共点，以代入得：当或，即得或 所求值的取值范围为2003*2、设，那么直线和曲线的图形是 A. B. C. D. 答案：B解析：曲线方程为，直线方程为,由直线图形，可知A、C中的，A图的，C图的，与A、C中曲线为椭圆矛盾由直线图形，可知B、D中的，则曲线为焦点在轴上的双曲线，故选B2003*3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线若此直线与抛物线交于两点，弦的中垂线与轴交于点，则线段的长等于 A. B. C. D. 答案：A解析：抛物线的焦点为原点，弦所在直线

29、方程为，弦的中点在上，即中点为，中垂线方程为，令，得,所以2003*8、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 答案：解析：由题意得，,由于故是直角三角形所以的面积等于为2003*15、（本题满分20分）一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点，且，折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。解析：对于圆上任意一点，连，作的垂直平分线，连交于点显然由于点在圆内，故从而当点取遍圆周上所有点时，点P的轨迹是以为焦点，为焦距，R()为长轴的椭圆而上任一异于的点，都有故点在椭圆外即折痕上所有的点都在椭圆上及外反之

30、，对于椭圆上或外的一点，以为圆心，为半径作圆，交圆于，则在的垂直平分线上，从而在某条折痕上最后证明所作圆与圆必相交1 当在圆外时，由于在圆内，故圆与圆必相交；2 当在圆内时(例如在圆内，但在椭圆外或其上的点)，取过的半径，则由点在椭圆外，故(椭圆的长轴)即于是在圆内或上，即圆与圆必有交点于是上述证明成立综上可知，折痕上的点的集合为椭圆上及外的所有点的集合2002*2、若实数满足，则的最小值为 。 A. B. C. D. 答案：B解析：可以看成以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为，所以，故选B2002*4、直线与椭圆相交于两点，该椭圆上点，使得面积等于，这

31、样的点共有 A.个 B. 个 C. 个 D. 个答案：B解析：设 ()，即点在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形的面积。可得，可知，又可知所以点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点，故选B。2002*6、由曲线,围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为；满足,的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则（）。 A. B. C. D. 答案：C解析：如图，两图形绕轴旋转所得的旋转体夹在两相距为的平行平面之间，用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积, 由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故选C。2002*13、（本题满分20分）已知点和抛物线上两点使得

32、，求点的纵坐标的取值范围。解析：设点坐标为，点的坐标为， 显然，故， 由，得，得又，所以，解得或 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足题意。 故点的纵坐标的取值范围为。2001*7、椭圆的短轴长等于 答案：解析：，故，得从而2001*14、（本题满分20分）设曲线：（为正常数）与C2： 在轴上方仅有一个公共点 求实数的取值范围（用表示）； 为原点，若与轴的负半轴交于点，当时，试求的面积的最大值（用表示）解析： 由消去得， 设，问题转化为方程在上有唯一解或等根只须讨论以下三种情况：1 当得此时，当且仅当，即时适合；2 当且仅当；3 得此时，当且仅当，即时适合得此时，由于，从而综上可知，当时

33、，或； 当时， 的面积，故时，由唯一性得显然当时，取值最小由于，从而取值最大，此时，当时，此时下面比较与的大小：令，得.故当时 , 时，。 当时，此时。2000*3、已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，若是等边三角形，则的面积是( )A. B. C. D. 答案：C解析：由题意得，方程：，代入双曲线方程，解得，,选C2000*5、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是( )A. B. C. D. 答案：B解析：直线即平面上点到直线的距离为整数，故且当时即可取到选B2000*10、在椭圆 ()中，记左焦点为，右顶点为，短轴上方的端点为.若该椭圆的离心率是，则_

34、.答案：解析：由已知得：，由故有|AF|2=|AB|2+|BF|2即.本题也可以由，解得2000*15、（本题满分20分）已知和 ()试问：当且仅当满足什么条件时，对上任意一点，均存在以为顶点，与外切，与内接的平行四边形？并证明你的结论。解析：设是与外切且与内接的平行四边形易知圆的外切平行四边形是菱形即是菱形于是设，则，则在中有 (利用等面积法)即又，得，同理，两式相加得反之，若成立，则对于椭圆上任一点，取椭圆上点，则，于是，此时与相切即存在满足条件的平行四边形故证1999*6、已知点，过点的直线与抛物线交于另外两点，那么是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.答案不确定答

35、案：C解析：设，则直线的方程为。由于直线过点，故代入得，此时，所以，从而是直角三角形。1999*10、已知点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，的横坐标是_ _答案：解析：由题意得，记点到右准线的距离为，若点在双曲线的右支，则不可能。所以点在双曲线的左支，则，且，得，得，进一步得。1999*11、已知直线中的是取自集合中的个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_ _答案：解析：设直线的倾斜角为，则，则不妨设若时，有3种取法，有3种取法，其中重复了2个，此时这样的直线共有条。若时，有3种取法，有3种取法，有4种取法

36、，且任意两条直线都不同，此时，这样的直线有条。综上，这样的直线的条数是。1999*14、（本题满分20分）给定，已知是椭圆上的动点，是左焦点，当取最小值时，求的坐标解析：由题意得，左准线，过点作左准线的垂线，垂足为，过点也作左准线的垂线，垂足为，则，于是（定值），当且仅当三点共线时，取等号。此时，可求得，所以，当取最小值时，点的坐标为1998*11、若椭圆与抛物线有公共点，则实数的取值范围是_.答案：解析：联立椭圆与抛物线得，则此方程至少有一个非负根 ，解得又两个负根是得，所以，至少有一个非负根时，。1998*15、（本题满分20分）已知抛物线及定点,，是抛物线上的点，设直线,与抛物线的另一交

37、点分别为.求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且），直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。证明：设，则共线，得，即，同法得；所在直线方程为，即消去得分别令代入，得，以代入方程知此式恒成立即过定点。1997*4、若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：将该方程看成是轨迹上点到的距离与到直线的距离的比： ，解得，选D1997*8、过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若实数使得的直线恰有条，则 .答案：解析：右支内最短的焦点弦为又，故与左、右两支相交的焦点弦长，这样的弦由对称性有两条设的倾斜角为，则右支内的焦点弦，当时，与左支相交时，同理可得。 1997

38、*14、（本题满分20分）设双曲线的两支为（如图所示），正三角形的三顶点位于此双曲线上。求证：不能都在双曲线的同一支上；设在上，在上，求顶点的坐标。解析：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为，不妨设，则所以；所以，从而为钝角即不可能是正三角形 ，设，点在直线上以为圆心，为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点满足，由圆与双曲线都是对称，知与关于对称且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)于是 与的夹角为，所在直线的倾斜角为所以即所在直线方程为，代入，解得，于是1996*1、把圆与椭圆的公共点, 用线段连接起来的图形是_.A. 线段 B. 不等边三角形 C. 等

39、边三角形 D. 四边形答案：C解析：联立圆与椭圆方程可解得或，相应的，或此三点连成一个正三角形选C1996*9、曲线的极坐标方程是, 点的极坐标是 曲线在它所在的平面内绕旋转一周, 则它扫过的图形的面积是_答案：解析：只要考虑最长与最短时所在线段扫过的面积即可设，则且显然能取遍内的一切值，故所求面积为1995*一、（本题满分25分）给定曲线族，为参数，求该曲线在直线上所截得的弦长的最大值。解析：以代入曲线方程得，或 所求弦长故只要求的最大值即可由即即，即，即解之得，即的最大值为(当此时时即可取得最大值)故得最大弦长为1994*6、在平面直角坐标系中，方程 (是不相等的两个正数)所代表的曲线是（

40、 ）A.三角形 B.正方形 C.非正方形的长方形 D.非正方形的菱形答案：D解析：时，(一、四象限角平分线之间)：； 时，(一、二象限角平分线之间)：； 时，(三、四象限角平分线之间)：；时，(二、三象限角平分线之间)：四条直线在时围成一个菱形(非正方形)选D1994*7、已知有向线段的起点和终点的坐标分别为和，若直线与的延长线相交，则的取值范围是_ _答案：解析：即与的交点的横坐标 可以解得解得1993*4、若直线被曲线所截的弦长为，当变化时的最小值是( )A. B. C. D.答案：C解析：曲线表示以，为直径端点的圆即以及 ()为直径端点的圆而与圆交于圆的直径故故选C1993*14、（本题

41、满分20分）设，过两定点和分别引直线和，使与抛物线有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线与的交点的轨迹解析：设，于是和可写为 交点满足，若四个交点共圆，则此圆可写为，此方程中项必为，故得，设于是和方程分别为与消去，得，()即为所求轨迹方程1993*三、（本题满分35分）水平直线通过圆的中心，直线，与相交于点，点在圆心的右侧，直线上不同的三点在圆外，且位于直线的上方，点离最远，点离最近，为圆的三条切线，为切点。试证：与圆相切时，;与圆相交时，；与圆相离时，证明：设，的半径为且设则当时，点在外，此时，直线与相离； 当时，点在上，此时，直线与相切； 当时，点在内，此时，直线与相交，同理，则注意

42、到（分子有理化）故时，时，时，；同理，时，时，时，； 时，时，时，；即当时，；当时，当时，故证1992*1、对于每个自然数，抛物线与轴交于两点，以表示该两点的距离，则的值是( )A. B. C. D. 答案：B解析：易得，代入即可求得。选B1992*2、已知如图的曲线是以原点为圆心，为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )A.B. C. D. 答案：D解析：表示轴右边的半圆， 表示轴下方的半圆，故选D1991*14设为抛物线的顶点，为焦点，且为过的弦已知，求的面积解析：(用极坐标)设抛物线方程为设与极径所成角为，则所求面积1990*3、设双曲线的左右焦点是，左右顶点是，若的顶点在双曲线上，

43、则的内切圆与边的切点位置是（ ）A.在线段内部 B. 在线段内部或线段内部 C.点或点 D.不能确定的答案：C解析：设内切圆在三边上切点分别为，当在右支上时，又，即与重合；当在左支上时，同理与重合故选C1990*6已知椭圆 ()通过点，所有这些椭圆上满足的点的集合用阴影表示是下面图中的( )答案：C解析：由题意得，由，故得，即再由得，故选C1990*10对任意正整数，连结原点与点，用表示线段上的整点个数(不计端点)，则的值为 答案：解析：线段的方程为 ()，故等于该线段内的格点数若()，则得 ()()，其内有两个整点，此时；若 ()时，则由于n互质，故内没有格点，此时 1989*8已知直线，过

44、点作直线，则与的交点坐标为 答案：解析：直线方程为，解得交点为(2，6)1988* 2.已知原点在椭圆的内部，那么参数的取值范围为（ ）A B C D答案：D解析：因是椭圆，故，把代入方程，得，选D1988*5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用表示所有直线的集合，表示恰好通过个整点的集合，表示不通过任何整点的直线的集合，表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 ； 中，正确的表达式的个数是（ ）A B C D 答案：D解析：就是只通过个整点，故正确；就不通过任何整点，故正确；就通过无穷多个整点，故正确；接下来，不妨设直线过两个整点，则直线方程，显然，当为整数时，也是整数，故对

45、。1988*三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线的直线族，它满足条件： 点，()；，其中是的斜率，和分别是在轴和轴上的截距，()； ，()并证明你的结论证明：设，即，或，即，就有，此时不存在，故现设，则，得， 此时 或从而或 当时，由于，故，若，则又有，依此类推，知当时，有，且由于随的增大而线性减小，故必存在一个值，使，从而必存在一个值，使，而，此时即此时不存在这样的直线族 当时，同样有，得若，又有，依此类推，知当时，有，且，由于随的增大而线性增大，故必存在一个值，使，从而必存在一个值，使，而，此时即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在1987*3在平面直角坐标系中纵横坐标均

46、为有理数的点称为有理点，若为无理数，则过的所有直线中( )A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B恰有()条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C有且仅有一条直线至少通过两个有理点D每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 答案：C解析：若直线斜率为，则当时直线经过轴上所有有理点当时，直线方程为若为有理数，则当为有理数时，为无理数；若为无理数，若此时直线经过一个有理点，对于直线上与不重合的点由，由于为无理数，故，当为有理数时，为有理数，当时，此时为无理数即此直线上至多有一个有理点选C1985*4、 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (，)在同一坐标系中的示意图，它应是( )答案

47、：A解析：由，若均为正数，则此抛物线开口向左，且表示椭圆，此时抛物线与直线的交点横坐标应故否定B、D若符号相反，则抛物线开口向右且图形是双曲线，故选A1984*3、 对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数是( ) A B C D 答案：D解析：由若表示双曲线，则，由，可得的不同取值为，共有6个不同的值，故选D1982*2、极坐标方程所确定的曲线是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案：C解析：，知，选C1982*10、(本题16分)已知： 半圆的直径长为； 半圆外的直线与的延长线垂直，垂足为， ()； 半圆上有相异两点，它们与直线的距离、满足条件:求证： 证明：以中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则由已知，是半圆()与抛物线的交点消去得：条件保证，于是此方程有两个不等实根，即为的横坐标由韦达定理，知，证毕又证：作，垂足为则， 比较得，1981*6、在坐标平面上有两个区域和，是由，和这三个不等式确定，是随变化的区域，它由不等式确定，的取值范围是，设和的公共面积是函数，则为（ ）A B C. D. 答案：A解析：的面积为。直角边长为的等腰直角三角形面积为.直角边长为的等腰直角三角形面积为所以( )选A