[高三数学]第八讲：数列基本概念及其性质

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1、课 件填写说明：根据“【教师版本】教学计划”中的安排准备历次课件，完成既定的教学任务；每次课以两节课计，亦即共计90分钟，课间休息10分钟。科目 数学 年级 高二 任课老师 日期 7 月 25 日课次主讲内容 / 要点第 2课次第八讲：数列基本概念及其性质上课内容详细 第八讲：数列基本概念及其性质考纲导读1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题知识网络高考导航

2、纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用数列的概念基础过关1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数f(n)数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an，其中

3、an是数列an的第 项2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.典型例题分析例1. 根据下面各数列的前n项的值，写

4、出数列的一个通项公式 ，； 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，变式训练1.某数列an的前四项为0，0，则以下各式： an1(1)n an an 其中可作为an的通项公式的是（ ）ABCD例2. 已知数列an的前n项和Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1变式训练2：已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an的通项公式为 例3. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2) a11，an (n2)变式训练3.已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式例4.

5、 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式变式训练4.知数列an的首项a15前n项和为Sn且Sn12Snn5（nN*）(1) 证明数列an1是等比数列；(2) 令f (x)a1xa2x2anxn，求函数f (x)在点x1处导数f 1 (1)归纳总结1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2由Sn求an时，用公式anSnSn1要注意n2这个条件，a1应由a1S1来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分别用累加法、累乘法、迭代法（

6、或换元法）等差数列基础知识回顾1等差数列的定义： d（d为常数）2等差数列的通项公式： ana1 d anam d3等差数列的前n项和公式：Sn 4等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若mnpq，则 数列an的前n项和为Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列典型例题分析例1. 在等差数列an中，(1)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知S1284，

7、S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8变式训练1.在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 例2. 已知数列an满足a12a，an2a（n2）其中a是不为0的常数，令bn 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和例3. 已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列前n项和。求Tn变式训练3两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是 （ ）A B C D例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加

8、1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750

9、万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?归纳总结1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d是一个与n无关的常数)2a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题等比数列基础知识回顾1等比数列的定义：q（q为不等于零的常数）2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前n项和公式： Sn 4等比中项：如果a，b，c成等比数列

10、，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 （或b ）5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若mnpq，则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q 典型例题分析例1. 已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n和公比q的值变式训练1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 例2. 设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项变式训练2.已知等比数列an前n项和S

11、n2n1，an2前n项和为Tn，求Tn的表达式例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数变式训练3.设是等差数列的前项和，则等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18例4. 已知函数f(x)(x1)2，数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1)，若a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)，(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn对任意的自然数n均有：，求数列cn前n项和Sn变式训练4.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第

12、二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对任意正整数n，均有，求c1c2c3c2007的值归纳总结1在等比数列的求和公式中，当公比q1时，适用公式Sn，且要注意n表示项数；当q1时，适用公式Snna1；若q的范围未确定时，应对q1和q1讨论求和2在等比数列中，若公比q 0且q1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为xd，x，xd，再依题意列出方程求x、d即可4a1与q是等比数列an中最活跃的两个基本量等差数列和等比数列的综

13、合应用基础知识回顾1等差数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等差数列， 则akn (kN*，k为常数)是 数列 Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列2在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值 a1 0，d 0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值 a10时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值3等比数列的常用性质： m，n，p，rN*，若mnpr，则有 an是等比数列，则a、是 数列 若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n构成 数列典型例题分析例1. 是否存在互不相等的

14、三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： abc6 a、b、c成等差数列 将a、b、c适当排列后成等比数列变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（ ）A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是例2. 已知公差大于0的等差数列满足a2a4a4a6a6a21，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列an的通项公式an变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。例3. 已知ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列求证：ABC是等边三角形变式训练3.若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列

15、，且，则= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4例4. 数列an的前n项和Sn，且a11，an1Sn，n1，2，3求： a2、a3、a4的值及an的通项公式； a2a4a6a2n的值.变式训练4.设数列的前项的和， 求首项与通项。归纳小结归纳总结1在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、rN*，若mnpr，则amanapar（或amanapar）进行解答2若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2bac（或b2ac）3遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180这一性质4在涉及

16、an与Sn相关式子中用Sn1和Sn的关系表示an时应该注意“n2”这个特点数列求和基础知识回顾求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1等差数列的前n项和公式：Sn 2等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sn 当q1时，Sn 3倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和5裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列典型例题分析例1. 已知数列：1，求它的前n项的和Sn变式训练1.数列前n项的和为 （ ）A B C D 例2. 求Sn1变式训练2：数列an的通项公式是an，若

17、前n项之和为10，则项数n为（ ） A11 B99C120 D121例3. 设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn，bnan2n，求数列bn的前n项和Tn变式训练3.设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设Cn，求数列Cn前n项和Tn 例4. 求Sn1!22！33！nn！变式训练4.以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an1)均在一次函数y2xk的图象上，数列bn满足条件：bnan1an，且b10 求证：数列bn为等比数列 设数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若S6T4，S59，求k的值归纳总结1求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和2对通项中含有(1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性3倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视课后作业详细完成剩余习题 Page 18 of 18 Xuezhi Education All Rights Reserved