大学物理机械振动框架图和解题方法

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1、第5章 机械振动一、基本要求1掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系，能根据给定的初始条件建立简谐运动方程；2掌握旋转矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、时间差；理解简谐运动合成规律；3理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。难点：掌握旋转矢量法在解题中的应用。（二）知识网络结构图：简谐振动运动方程简谐振动能量简谐振动合成速度方程加速度方程动能势能合振幅合相位(三）容易混淆的概念：1.初相和相位初相反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态；相位反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。

2、2.角频率和频率角频率（圆频率）反映角位置随时间的变化，对于谐振子而言，由劲度系数和质量决定，又称固有频率；频率是单位时间内完成全振动的次数，是周期的倒数。（四）主要内容：1简谐运动的基本概念：（1） 运动方程：，（2） 速度方程：，（3） 加速度方程：，（4） 周期：（5） 频率：（6） 时间差与相位差的关系：2.旋转矢量法：在平面上画一矢量，初始位置与轴正方向的夹角等于初相位,其尾端固定在坐标原点上，其长度等于振动的振幅，并以圆频率为角速度绕原点作逆时针匀速转动，则矢量在轴上的投影为：。旋转矢量做一次圆周运动，其矢端在轴上投影点完成一次简谐运动。3.简谐运动实例：（1）弹簧振子振动方程：角

3、频率和周期：， 4.简谐运动的能量：动能：势能： 机械能：总能量（守恒）5.简谐运动的合成：（1）两个同方向、同频率简谐振动的合成：仍为简谐振动：。其中合振幅和合初相分别为：a. 同相：当相位差满足的偶数倍，即：时，振动加强，；b. 反相：当相位差满足的奇数倍，即：时，振动减弱，。（2）同方向、频率相近的两简谐运动合成后，振幅随时间缓慢地周期性变化的现象称为“拍”，拍频为；（3）同频率、相互垂直的两简谐运动的合成，一般为椭圆运动；（4）相互垂直、频率成整数比的两简谐运动合成，形成李萨如图形。（五）思考问答：（1） 问题1 符合什么规律的运动是简谐运动？答：当物体所受的合外力大小与位移成正比且方

4、向与位移方向相反时，即；或物体的运动方程满足时间的余弦或正弦关系，或物体的动力学方程满足：时，物体的运动为简谐运动。问题3 弹簧振子做简谐运动时，如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半，问他的总能量怎样改变？答：因为：，所以，当，时，总能量，不改变。问题4 如何判断振动物体的运动是简谐运动？答：确定振动物体是否做简谐运动的依据是简谐运动的运动学特征和动力学特征，即： 或, 或 。归纳起来，凡满足下列情况之一者为简谐运动： 离开平衡位置的位移和时间满足； 加速度和位移满足； 回复力和位移成正比而且反向（这样的力称线性回复力）：； 位移满足简谐运动的动力学方程:； 运动过程中，物体的动能和势

5、能均随时间做简谐变化，且机械能守恒。问题5 质点作简谐运动时，位移、速度、加速度三者能同时为零，能同时有最大值吗？答：依据简谐运动的运动学方程： 得： 回答显然是否定的，因为：位移为零时，加速度为零，速度则以最大值通过平衡位置；位移最大时，加速度最大，速度则为零。问题6 两个必须澄清的概念：把单摆的摆球拉开一个甚小的角度 ，然后放手任其摆动，并在放手时开始计时.问：（a）是不是单摆的初相；(b)摆球的角度是单摆的角频率吗？对弹簧振子系统而言，忽略了弹簧的质量，则系统的角频率为；倘若弹簧的质量不可忽略，振子系统的角频率可以是 吗？答：(a)有些读者可以认为：摆球从角位置开始运动，满足初始条件，且

6、初相的量纲是角度，故得出 EMBED Equation.3 就是初相的结论，这是错误的。这里必须指出两点：第一，两个量纲相同的物理量，并不意味着其物理意义相同。例如：功和力矩具有相同的物理量纲，但物理意义完全不相同；第二，简谐运动中的初相能确定振动系统在初始时的运动状态，而初相本身不是运动状态，不与某一具体角对应，只有在简谐运动中，旋转矢量图中初相才表现为初始时刻旋转矢量A与坐标轴的夹角。在本题中，时，振动系统处在最大角位移 =处，角速度为零，则初相为零。(b)错误。必须清楚系统做简谐运动时，它的角频率是由系统本身的性质决定的，而与其运动状态无关，故又称固有频率。只有在简谐运动的旋转矢量图中，

7、矢量A逆时针旋转的角速度才表示振动系统的角频率。不可以。第一，对于忽略质量的弹簧，振子偏离平衡位置时，弹簧中各部分中的弹性力相同，即为振子受到的弹性力。若弹簧的质量不可忽略，则弹簧中各部分的弹性力不相同，作用在振子上的弹性力无法列出；第二，弹簧振子的简谐运动必须遵守牛顿定律，而牛顿定律适用的条件之一是质点，若考虑弹簧的质量，由于弹簧本身不能视为质点，故也就不能将加到上去了。三、解题方法1.已知质点做简谐运动的振幅、角频率、初始条件等，求质点运动方程。此类题目一般先设简谐运动方程式，再先用旋转矢量法或解析法由初始条件求得初相，再代入运动方程标准式。2.已知质点做简谐运动方程式，求其振幅、角频率、

8、周期、频率、初相等物理量，一般用待定系数法，与标准式相比较求解。oxA/2AMPwp/6p/3四、解题指导1.简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的最短时间为1/4周期吗？走过该距离的一半所需的时间为多少？是1/8周期吗？振子从平衡位置出发沿x轴正方向运动,经历1/8周期时运动的位移是多少？解：（提示：旋转矢量法，设振子作水平振动，作轴，若垂直振动，作轴。）振子作简谐运动时，从平衡位置运动到最远点所需的最短时间是1/4周期。因振子的速度不是常数，振子作变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是1/8周期。从旋转矢量图中可以看出:振子从平衡位置运动到处点时，相应的振幅矢量转过了的角度： 所以

9、也就是说，振子从平衡位置运动到处所用的时间为，而不是。而振子从处运动到最远点的时间为：振子从平衡位置出发，经过时，位移为：2已知某质点作简谐运动，振幅，周期，初始时刻位于处且向正方向运动，求质点的振动方程。（提示：求质点的振动方程，必须先求出其振动的振幅，角频率以及初相位。解：（提示，此题的关键是根据旋转矢量法或解析法正确求出初相位。）（1） 求初相方法1 旋转矢量法质点时的振动相位（初相位）为或方法2 解析法将时，代入简谐运动方程有： 即：时即所以，取，也可取。（2）求角频率所以，该质点的振动方程为：或3一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示如果时质点的状态分

10、别是：(1)；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过处向负向运动； (4)过处向正向运动 试求出相应的初位相，并写出振动方程解：因为 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有4一个质点同时参于两同方向、同频率的简谐运动，它们的振动方向分别为：A1A2AXjp/6-p/3O试用旋转矢量法求出合振动方程。解：（提示：由旋转矢量图或余弦定理求出合振幅和合初相。） 故合振动方程为：5图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程解：由题图(a)，时，质点在平衡位置,(问为什么大于零),（或）,即： 故： 由图(b),时，质点在处,（或）一秒时间内，旋转矢量转过的角度为： 6某振动

11、质点的曲线如图所示，试求：（1）振动方程；（2）点对应的相位；（3）到达点相应位置所需时间。解：（1）振动方程为，其中，（或），所以得：；（2）由图可见，点对应的相位为0；（3）质点到达点点位置所需时间为：五.能力训练1.指出在弹簧振子中，物体处在下列位置时的位移、速度、加速度和所受的弹性力的数值和方向：（1）正方向的端点；（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位置且向正方向运动；（4）负方向的端点。2.作简谐振动的弹簧振子，当物体处于下列情况时，在速度、加速度、动能、弹簧势能等物理量中，哪几个达到最大值，哪几个为零：（1）通过平衡位置时；（2）达到最大位移时。3.两个相同的弹簧挂着质量不同

12、的物体，当它们相同的振幅作简谐振动时，问振动的能量是否相同？4.弹簧振子作简谐振动时，如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半，问它的总能量怎样改变？5.一个质点作简谐振动，振幅为，在起始时刻的位移为，且向轴正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量为（ ）6.已知某简谐振动的振动曲线如左下图所示，则此简谐振动的运动方程为（ ）（A） （B）（C） （D）7.两个同周期简谐振动曲线如右上图所示，的相位比的相位（ ）（A）落后 （B）超前 （C）落后 （D）超前8.当质点以频率作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ）（A） （B） （C） （D）9.图中所画的是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动

13、可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A） （B） （C） （D）10.有一弹簧振子，振幅，周期，初相。试写出它的振动方程，并作出图、图和图。11.有一弹簧，当其下端挂一质量为的物体时，伸长量为。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）当时，物体在平衡位置上方处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当时，物体在平衡位置并以的速度向上运动，求运动方程。12.作简谐振动的物体，由平衡位置向轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（2）由平衡位置到处；（3）由处到最大位移处。13.两质点作同频率同振幅的简谐振动。第一各质点的运动方程为，

14、当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰好在振动正方向的端点。试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。14.如图为一简谐振动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程。 题14图 题15图15.如图所示，质量为的子弹，以的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐振动，设木块的质量为，弹簧的劲度系数为。若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为轴正向，求简谐振动方程。16.质量为的物体，以振幅作简谐振动，其最大加速度为。求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与总动能；（3）物体在何处其动能

15、和势能相等？（4）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各占总能量的多少？17.质量的小球与轻弹簧组成一振动系统，按的规律作自由振动，求（1）振动的角频率、周期、振幅和初相；（2）振动的能量；（3）一个周期内的平均动能和平均势能。18.两个同频率简谐振动1和2的振动曲线如图所示，求（1）两简谐振动的运动方程和；（2）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐振动叠加，求合振动的振动方程。 题18图19.若简谐运动方程为：，式中的单位的单位为。求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）时的位移、速度和加速度。20.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅，周期。当时

16、：（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在处且向负方向运动；（4）物体在且向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。21.有一弹簧，当其下端挂一质量为的物体时，伸长量为。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。问：（1）当时，物体在平衡位置上方处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当，物体在平衡位置并以的速度向上运动，求运动方程。22.做简谐运动的物体，由平衡位置向轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；(2)由平衡位置到处；（3）由处到最大位移处。23.质量为的物体，以振幅做简谐运动，其最大加速度为.求：（

17、1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？24.已知两同方向同频率的简谐运动。运动方程分别为：，式中的单位为的单位为。求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向痛频率的简谐运动：。则为多少时，的振幅最大？又为多少时，的振幅最小？六.参考答案1.（1），；（2），；（3），；（4），；2.（1）最大，零，最大，零；（2）零，最大，零，最大；3. 因为，所以总能量不变；4. 因为，所以总能量不变；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11.（1）；（2）；12.（1）1/4 ；（2）1/12 ；（3）1/6；13. ， ；14.（1） ；（2） ；（3）；15.；16.（1） ；（2）均为 ；（3） ；（4） 3/4，1/4；17.（1）、 ；（2）；（3）；18.（1）， ； （3）；19.（1）；（2）；20.（1）；（2）；（3）；（4）；21.（1）；（2）；22.（1）；（2）；（3）；23.（1）；（2）；（3）；（4）；24.(1) ；（2）要使最大，；要使最小，