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1、 一元二次方程与二次函数提高训练题1、已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 解：（1）由题意得，为正整数，（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为AOxy864
2、224B（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为2、已知：关于的一元二次方程（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值证明： 方程有两个不相等的实数根。 （2）方程有两个整数根，必须使且m为整数又12m40， 59m=24 3、已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2bx+kc（c0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值；（3）求证: 关于x的一元二次
3、方程ax2bx+c=0 必有两个不相等的实数根.解：由 kx=x+2，得(k1) x=2.依题意 k10. . 方程的根为正整数，k为整数, k1=1或k1=2. k1= 2, k2=3. （2）解：依题意，二次函数y=ax2bx+kc的图象经过点（1，0）， 0 =ab+kc, kc = ba . = （3）证明：方程的判别式为 =(b)24ac= b24ac. 由a0, c0, 得ac0.( i ) 若ac0. 故=b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. ( ii ) 证法一: 若ac0, 由(2)知ab+kc =0, 故 b=a+kc.=b24ac= (a+kc)24ac=a2+
4、2kac+(kc)24ac = a22kac+(kc)2+4kac4ac=(akc)2+4ac(k1). 方程kx=x+2的根为正实数， 方程(k1) x=2的根为正实数.由 x0, 20, 得 k10. 4ac(k1)0. (akc)20, =(akc)2+4ac(k1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac0, 抛物线y=ax2bx+kc与x轴有交点, 1=(b)24akc =b24akc0.(b24ac)( b24akc)=4ac(k1). 由证法一知 k10, b24ac b24akc0. = b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实
5、数根.4、 已知：关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求的值（1） 不论取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）由原方程可得 又 经检验：符合题意 的值为45已知关于的一元二次方程 (1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线求抛物线的解析式；(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值（1）证明：， 1分 而， ，即. 无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.
6、2分（2）解：当时， . ，即.， . 3分抛物线的解析式为.抛物线的顶点为.抛物线的顶点为.抛物线的解析式为. 4分（3）解：点A（，）和B（，）都在抛物线上， ，且. . . . A、B两点不重合，即， . . 5分， 6分. 7分6、已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又或或6、如图，抛物线，其中
7、、分别是ABC的A、B、C的对边。（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，MNE与MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形；（1） ， （2）由得 由得： 设E（，），F（，），那么：， 由51得： 或 由知应舍去。 由解得 ，即 或（舍去） ABC是等边三角形。7、 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点,，顶点M的纵坐标为-4，若是方程的两个根，且(1)求A，B两点的坐标（2）求抛物线的解析式和点C的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积等于四边形ACMB面积的两倍？若存在，求出所有符
8、合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。1、因为x1，x2是方程x22(m1)xm270的两个根所以x1x22(m1) ，x1*x2m27又因为(x1)2(x2)210所以(x1x2)22x1*x210即2(m1)22(m27)10整理得：m24m40所以m2代入x22(m1)xm270 得x22x30解得x11，x23所以A、B的坐标为：A(1，0)，B(3，0)2、把A、B坐标代入yax2bxc，得abc09a3bc0因为抛物线yax2bxc顶点M的纵坐标为4所以(4acb2)/(4a)4上述三式组成方程组，解得a1，b2，c3 (a0不合，已舍去)所以抛物线的解析式是yx22x3当x0时
9、，y3所以C点坐标是(0，3)3、抛物线yx22x3的顶点是M(1，4)，AB3(1)4设点P的坐标为(x，y)SPABAB*|y|/24*|y|/22|y|过M作MNX轴，交X轴于N点，则S四边形ACMBSAOCSBNMS梯形MNOC1*3/2(31)*4/2(34)*1/29若SPAB2SPAB则有2|y|2*918所以|y|94，所以P在X轴的上方所以y9所以9x22x3即x22x120解得x113所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，坐标为：P1(113)，9，P2(113)，9课后练习、1、已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若
10、关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.1）证明：当时，方程为，所以 ，方程有实数根. 1分 当时, = = = 2分 所以,方程有实数根综所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 3分（2）令，则 解关于的一元二次方程，得 ， 5分 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数， 所以只能取1，2 所以抛物线的解析式为或7分2、已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。解析：（1），由，可得证。（2） 又
11、 解得或（舍去） 3、.已知关于x的二次函数y=x2+（2k-1）x+k2-1（1）若关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的两根的平方和等于9， 求k的值，（2）在（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于A、B两点问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角AMB的面积等于3若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）、（2）条件下，若P点是二次函图象上的点，且PAM=90，求APM的面积4、已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的
12、一个交点为A（3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1y2，求实数n的取值范围。（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为x=-1，与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C1的顶点坐标为（-1，0）；（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0得k=-4，C2的函数关系式为y=（x+1）2-4，抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）当x-1时，y随x的增大而增大，当n-1时，y1y2，n2；当n-1时，P（n，y1）的对称点的坐标为（-2-n，y1），且-2-n-1，y1y2，-2-n2，n-4，综上所述：n2或n-4。
一元二次方程与二次函数提高训练题
