对数函数与指数数的导数

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1、对数函数对数函数 与指数函数与指数函数 的导数的导数一、复习与引入：一、复习与引入：1.函数的导数的定义与几何意义函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则导数的四则运算法则.4.复合函数的导数公式复合函数的导数公式.5.由前面几节课的知识由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数但还缺少指数函数、对数 函数的导数函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容而这就是我们今天要新学的内容.有了指数函数、对数函数的导数有了指数函数、对数函数的导数,也就解

2、决了初等函也就解决了初等函数的可导性数的可导性.结合前一章节的知识结合前一章节的知识,我们可知我们可知,初等函数初等函数在其定义域内都是连续而且可导在其定义域内都是连续而且可导.二、新课二、新课指、对函数的导数：指、对函数的导数：1.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx 下面给出公式的证明下面给出公式的证明,中间用到重要极限中间用到重要极限.)1(lim10exxx 证证:);1ln(lnln)ln(,ln)(xxxxxxxxyxxfy ,)1ln(1)1ln(1)1ln(1xxxxxxxxxxxxxxy .1ln1)1(limln1)1ln(lim1lim000 xexxxx

3、xxxxyyxxxxxxx .log1)(log)2(exxaa 证证:利用对数的换底公式即得利用对数的换底公式即得:.log1ln1)lnln()(logxexaaxxaa 2.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1,0(ln)()2(aaaaaxx 由于以上两个公式的证明由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求需要用到反函数的求导法则导法则,这已经超出了目前我们的学习范围这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这因此在这里我们不加以证明里我们不加以证明,直接拿来使用直接拿来使用.三、例题选讲：三、例题选讲：例例1:求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=ln(2x2

4、+3x+1)(2)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x21x 解解:(1).13234)132(1321222 xxxxxxxy(2)法法1:.1lg11lg)1(1lg22222 xexxxxexxey(2)法法2:);1lg(211lg22xxy .1lg)1(1lg21222 xexxxey(3).3sin33cos2()3sin3(3cos2222xxexexeyxxx (4).ln5)5(ln55aaxaayxx 例例2:求下列函数的导数求下列函数的导数:;)1(22xxxxeeeey ;)(;22)(2xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeey 解解:.)

5、1()1(2)()(22222xxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeey )1,0()2(1cos aaayx解解:设设y=au,u=cosv,v=1/x,则则:.1sinln)1()1sin(ln)(1cos221cosxxxvuuaxxaxxaavuay )1ln()3(2xxy 解解:.11)121121(11)1(1122222xxxxxxxxxy xxxy21ln)4(解解:函数的定义域为函数的定义域为.ln)1ln(),0(2xxxy xxxxxy1)1(1122 xxxxx1)1(11211 11222 .1111)1221(11222xxxxxxx 例例3:已知已知f(x)

6、为可导函数为可导函数,试求下列函数的导数试求下列函数的导数:(1)y=f(lnx);(2)y=f();(3)y=f(ex).2xe)(xfe解解:(1).(ln1)(ln)(ln)(lnxfxxxfxfy (2).(2)()()()()()(22222222xxxxxxxefxexeefeefefy (3).()()()()()()()()()()()()(xfefeefexfeefeeefeefeefyxxxxfxfxxfxxxfxxfx 解此类题应注意解此类题应注意:(1)分清是由哪些函数复合而成的分清是由哪些函数复合而成的.(2)用逐步的方法来进行求导用逐步的方法来进行求导.练习练习1:

7、求下列函数的导数求下列函数的导数:xxxyxyyyxxlnsin)sin(ln)4(ln1)3(2)2(;2)1(3log1答案答案:.22ln)1(12xxy.3ln2ln2)2(3logxyx.ln121)3(xxy.lncos)cos(lnsin)4(xxxxxy例例4:设一质点的运动规律为设一质点的运动规律为 为为 常数常数,试求试求t=1/2时质点运动的速度时质点运动的速度v0.,),sin(2 test解解:)sin()sin()(22 tetesvttt)()cos()sin()2(22 ttettett).cos()sin(222 tetett故当故当t=1/2时时,质点运动速

8、度质点运动速度v0为为:).2cos()2sin(21|210 esvt例例5:求曲线求曲线y=xlnx的平行于直线的平行于直线x-y+1=0的切线方程的切线方程.解解:设该切线与曲线相切的切点为设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).1ln1ln)(lnln xxxxxxxxy故曲线在点故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为处的切线斜率为lnx0+1.由已知可得由已知可得:lnx0+1=1,即即x0=1,故切点为故切点为(1,0).所以所求切线方程为所以所求切线方程为y-0=x-1,即即x-y-1=0.答案答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.练习练习2:

9、分别求曲线分别求曲线y=logxe;在点在点(e,1)处处 的切线方程的切线方程.xeyexln 延伸延伸:设点设点P是曲线是曲线y=ex上任意一点上任意一点,求点求点P到直线到直线y=x的的 最小距离最小距离.答案答案:.22四、小结：四、小结：(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数难的两类函数的导数,要熟记公式要熟记公式,会用公式会用公式,用活公用活公式式.(2)解决指、对数函数的导数问题解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的

10、等价性以保证变换过程的等价性.(3)在求指、对数函数的导数过程中在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简要遵循先化简,再再 求导的原则求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导的求导法则进行求导.aaxxaaxxyxxxxy2222ln22)7()1ln(1ln)6(.)1(ln)6(2xxy.)7(22axy2211ln)5(xxy.12)5(4xxy例例6:求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).解解:(1)两边取对数两边取对数,得得lny=xlnx.由于由于y是是x的函数的函数,由复

11、合函数的求导法则对上式由复合函数的求导法则对上式两边对两边对x求导求导,可得可得:).1(ln),1(ln,1ln1 xxyxyyxxxyyx(2)两边取对数两边取对数,得得lny=g(x)lnf(x),两边对两边对x求导求导,可得可得:;)()()()(ln)(1xfxfxgxfxgyy )()()()(ln)(xfxfxgxfxgyy .)()()()(ln)()()(xfxfxgxfxgxfyxg 说明说明:(1)解法可能对解法可能对lny求导不易理解求导不易理解,事实上事实上,若若u=lny,y=f(x),则则).(1xfyyuuxyx (2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法本题用

12、的求导方法习惯上称为对数求导法,即先即先两两 边取对数边取对数,再对再对x求导求导.一般适用于下列两类函数一般适用于下列两类函数:形如形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数的函数,取对数后取对数后,可可 将积转化为和的形式将积转化为和的形式,或或 ,取对取对 数后数后,可转化为代数和的形式可转化为代数和的形式.)()()()(11nnbxbxaxaxy 无理函数或无理函数或形如形如y=f(x)g(x)这类幂指函数这类幂指函数.(3)对数求导法的优点对数求导法的优点:一是可使问题简单化一是可使问题简单化(积、商积、商 变和、差变和、差,幂、根变积式幂、根变积式),二是可使较复杂函数求

13、二是可使较复杂函数求 导变为可能导变为可能(无求导公式变为有求导公式无求导公式变为有求导公式).例如我们利用上面例题中的例如我们利用上面例题中的(2)可知可知中的中的n的范围可以扩大到全体实数的范围可以扩大到全体实数.)()(1Qnnxxnn 又如下面一题我们就有两种不同的解法又如下面一题我们就有两种不同的解法:方法二方法二:由于由于y0,故可以两边取对数故可以两边取对数.).1ln()1ln(21ln)11ln(lnxxxxxxy );111(111)1111(21122xxyyxxxxxyy .1111)1(1112222 xxxxxxxxxxxxy题目题目:已知已知0 x0,故两边取对数故两边取对数,得得.ln2lnlnxxy ,22ln1ln21)(lnln)(1xxxxxxxxxxyy ).2(ln222ln21 xxxxxyxx方法二方法二:.2ln2ln2lnxxxxeexyx ).2(ln)2(ln212)1ln21()ln2(ln21ln2lnln2ln xxxxxxxxxexxeyxxxxxx