山东省泰安市新泰一中2015-2016学年高二数学上学期期中试题理含解析

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1、2015-2016学年山东省泰安市新泰一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1已知，给出下列四个结论：aba+bab|a|b|abb2其中正确结论的序号是( )ABCD2在ABC中，BC=5，B=120，AB=3，则ABC的周长等于( )A7B58C49D153已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )A24B26C 27D284已知x，yR，则“x+y=1”是“xy”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知命

2、题“若a，b，c成等比数列，则b2=ac”在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是( )A0B1C2D36在ABC中，B=30，AB=2，AC=2，那么ABC的面积是( )A2BC2或4D或27已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A6B5C4D38设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定9已知x，y满足，则使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为( )A（2，2）B（4，0）C（4，0）D（

3、7，3）10已知a0，b0，若不等式2a+b4m恒成立，则m的最大值为( )A10B9C8D7二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为_12不等式x2axb0的解集是（2，3），则不等式bx2ax10的解集是_13已知Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且=，（nN+）则+=_14已知函数f（x）=x2+2x+b2b+1（bR），若当x时，f（x）0恒成立，则b的取值范围是_15下列命题中真命题为_（1）命题“x0，x2x0”的否定是“x0，x2x0”（2）

4、在三角形ABC中，AB，则sinAsinB（3）已知数列an，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=anan+2”的充要条件（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2三、解答题：（本大题共6题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且，（1）求角C的值；（2）若a=1，ABC的面积为，求c的值17已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn等

5、比数列bn的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3（）求数列an与bn的通项公式；（）求数列的前n项和Tn19经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20（13分）设的ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求c的值；（2）求cos（AC）的值21（14分）设数列an前n项和为

6、Sn，且Sn+an=2（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=a1，bn=，n2 求证为等比数列，并求数列bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n和Tn2015-2016学年山东省泰安市新泰一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1已知，给出下列四个结论：aba+bab|a|b|abb2其中正确结论的序号是( )ABCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】不等式的解法及应用【分析】由条件可ba0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可【解答】解：，ba0ab，错误ba0，a+b0，

7、ab0，a+bab，正确ba0，|a|b|不成立abb2=b（ab），ba0，ab0，即abb2=b（ab）0，abb2成立正确的是故选：B【点评】本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断ba0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用2在ABC中，BC=5，B=120，AB=3，则ABC的周长等于( )A7B58C49D15【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由BC=a，AB=c的长，以及sinB的值，利用余弦定理求出b的值，即可确定出周长【解答】解：在ABC中，BC=a=5，B=120，AB=c=3，由余弦定理得：AC2=b2=a2+c22accosB=25+9+15=49，解得

8、：AC=b=7，则ABC的周长为a+b+c=5+3+7=15故选D【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )A24B26C27D28【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，再由前n项和为286=11n，求得n的值【解答】解：由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，再由前n项和为286=11n，n=26，故选B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，求得首项与末项之和等于=22，是解题的关键，属于基

9、础题4已知x，yR，则“x+y=1”是“xy”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】由x+y=1，推出xy，判定充分性成立；由xy，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可【解答】解：x，yR，当x+y=1时，y=1x，xy=x（1x）=xx2=，充分性成立；当xy时，如x=y=0，x+y=01，必要性不成立；“x+y=1”是“xy”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题5已知命题“若a，b，c成等比数列，则

10、b2=ac”在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是( )A0B1C2D3【考点】四种命题的真假关系；等比数列的通项公式【专题】简易逻辑【分析】首先，写出给定命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假即可【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac，为真命题逆命题：若b2=ac，则a，b，c成等比数列，为假命题，否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2ac，为假命题，逆否命题：若b2ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题，在它的逆命题、否命题，逆否命题中为真命题的有1个，故选B【点评】本题重点考查了四种命题及其真假判断，属于中档题6在ABC中，B=30，AB=2，AC=2，那

11、么ABC的面积是( )A2BC2或4D或2【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】先根据正弦定理求出角C，从而求出角A，再根据三角形的面积公式S=bcsinA进行求解即可【解答】解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30，根据正弦定理=得：sinC=，C为三角形的内角，C=60或120，A=90或30在ABC中，由c=2，b=2，A=90或30则ABC面积S=bcsinA=2或故选D【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题7已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在AF1B中，若有两边之

12、和是10，则第三边的长度为( )A6B5C4D3【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由椭圆的定义得 ，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16，由此可求出|AB|的长【解答】解：由椭圆的定义得 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16，又因为在AF1B中，有两边之和是10，所以第三边的长度为：1610=6故选A【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质8设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的

13、形状为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状【解答】解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角

14、，属于中档题9已知x，y满足，则使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为( )A（2，2）B（4，0）C（4，0）D（7，3）【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，将z=yx化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=yx化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为（4，0）；故选C【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题10已知a0，b0，若不等式2a+b4m恒成立，则m的最大值为( )A10B9C8

15、D7【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用2a+b=4（2a+b）（），结合基本不等式，不等式2a+b4m恒成立，即可求出m的最大值【解答】解：a0，b0，2a+b0，2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）36，不等式2a+b4m恒成立，364m，m9，m的最大值为9，故选：B【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为+y2=1【考点

16、】椭圆的标准方程【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的定义求出a，从而可得b，即可求出椭圆C的方程【解答】解：椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），2a=|PF1|+|PF2|=2a=又由已知c=1，b=1，椭圆C的方程为+y2=1故答案为：+y2=1【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，正确运用椭圆的定义是关键12不等式x2axb0的解集是（2，3），则不等式bx2ax10的解集是（，）【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题【分析】根据不等式x2axb0的解为2x3，得到一元二次方程x2ax

17、b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=6，因此不等式bx2ax10即不等式6x25x10，解之即得x，所示解集为（，）【解答】解：不等式x2axb0的解为2x3，一元二次方程x2axb=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=6；不等式bx2ax10即不等式6x25x10，整理，得6x2+5x+10，即（2x+1）（3x+1）0，解之得x不等式bx2ax10的解集是（，）故答案为：（，）【点评】本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的

18、关系等知识点，属于基础题13已知Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且=，（nN+）则+=【考点】数列的求和【专题】计算题【分析】由等差数列的性质，知+=，由此能够求出结果【解答】解：Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且=，（nN+），+=故答案为：【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化14已知函数f（x）=x2+2x+b2b+1（bR），若当x时，f（x）0恒成立，则b的取值范围是（，1）（2，+）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】考查函数f（x）的图象与性质，得出函数f（x

19、）在上是单调增函数，由f（x）min0求出b的取值范围即可【解答】解：函数f（x）=x2+2x+b2b+1的对称轴为x=1，且开口向下，函数f（x）在上是单调递增函数，而f（x）0恒成立，f（x）min=f（1）=12+b2b+10，解得b1或b2，b的取值范围是（，1）（2，+）故答案为：（，1）（2，+）【点评】本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题，解题时应熟记基本初等函数的图象与性质，是基础题15下列命题中真命题为（2）（1）命题“x0，x2x0”的否定是“x0，x2x0”（2）在三角形ABC中，AB，则sinAsinB（3）已知数列an，则“an，an+1，an+2成等比

20、数列”是“=anan+2”的充要条件（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】（1），写出命题“x0，x2x0”的否定，可判断（1）；（2），在三角形ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断（2）；（3），利用充分必要条件的概念可分析判断（3）；（4），f（x）=lgx+，分x1与0x1两种情况讨论，利用对数函数的单调性质可判断（4）【解答】解：对于（1），命题“x0，x2x0”的否定是“x0，x2x0”，故（1）错误；对于（2），在三角形ABC中，ABabsinAsinB，故（2）正确；对于（3），数列an中，若an，an

21、+1，an+2成等比数列，则=anan+2，即充分性成立；反之，若=anan+2，则数列an不一定是等比数列，如an=0，满足=anan+2，但该数列不是等比数列，即必要性不成立，故（3）错误；对于（4），函数f（x）=lgx+，则当x1时，函数f（x）的最小值为2，当0x1时，f（x）=lgx+0，故（4）错误综上所述，只有（2）正确，故答案为：（2）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查命题的否定、正弦定理的应用及等比数列的性质、充分必要条件的概念及应用，考查对数函数的性质，属于中档题三、解答题：（本大题共6题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16在锐角ABC中，

22、a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且，（1）求角C的值；（2）若a=1，ABC的面积为，求c的值【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）在锐角ABC中，由及正弦定理得求出，从而求得C的值（2）由面积公式求得b=2，由余弦定理求得c2的值，从而求得c的值【解答】解：（1）在锐角ABC中，由及正弦定理得，sinA0，ABC是锐角三角形，（2）由面积公式得，b=2，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC=，【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题17已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实

23、数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：axa+1，所以a=时，p：由pq为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围【解答】解：p：，q：axa+1；（1）若a=，则q：；pq为真，p，q都为真；，；实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；，；实数a的取值范围为【点评】考查解一元二次不等式，pq真假

24、和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念18等差数列an中， a1=3，其前n项和为Sn等比数列bn的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3（）求数列an与bn的通项公式；（）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设an公差为d，数列bn的公比为q，由已知可得，由此能求出数列an与bn的通项公式（）由，得，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和Tn【解答】解：（）设an公差为d，数列bn的公比为q，由已知可得，又q0，an=3+3（n1）=3n，（）由（）知数列an中，a1=3，an=3n，Tn=（1）=【点评】本题考查

25、数列an与bn的通项公式和数列的前n项和Tn的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用19经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【考点】其他不等式的解法；根据实际问题选择函数类型【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）将车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系y=（v0）化简为y=，应用基本不等式即可

26、求得v为多少时，车流量最大及最大车流量（2）依题意，解不等式10，即可求得答案【解答】解：由题意有y=当且仅当v=，即v=30时上式等号成立，此时ymax=11.3（千辆/小时）（2）由条件得10，整理得v268v+9000，即（v50）（v18）0，18v50故当v=30千米/小时时车流量最大，且最大车流量为11.3千辆/小时若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在18v50所表示的范围内【点评】本题考查分式不等式的解法，突出考查基本不等式的应用，考查转化思想方程思想，考查理解与运算能力，属于中档题20（13分）设的ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a

27、=1，b=2，cosC=（1）求c的值；（2）求cos（AC）的值【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数【专题】解三角形【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosC的值代入即可求出c的值；（2）由cosC的值求出sinC的值，由正弦定理列出关系式，将a，c，sinC的值代入求出sinA的值，进而求出cosA的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）ABC中，a=1，b=2，cosC=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=1+41=4，则c=2；（2）cosC=，sinC=，a=1，b=c=2，由正弦定理=得：=，解得：sin

28、A=，ab，AB，即A为锐角，cosA=，则cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=+=【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键21（14分）设数列an前n项和为Sn，且Sn+an=2（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=a1，bn=，n2 求证为等比数列，并求数列bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n和Tn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（）由数列递推式可得Sn+1+an+1=2，与原数列递推式作差可得数列an是等比数列，则数列an的通项公式可求；（）由b1=a1求得b1，把bn=变形可得为等比数列，求其通项公式后可得数列bn的通项公式；（）把an，bn的通项公式代入cn=，利用错位相减法求数列cn的前n和Tn【解答】（）解：由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，两式相减，得2an+1=an，（常数），数列an是等比数列，又n=1时，S1+a1=2，；（）证明：由b1=a1=1，且n2时，bn=，得bnbn1+3bn=3bn1，是以1为首项，为公差的等差数列，故；（）解：cn=，以上两式相减得，=【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题