2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.10.1圆锥曲线中的定值与定点问题练习理北师大版

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1、10.10.1 圆锥曲线中的定值与定点问题核心考点精准研析考点一直线过定点问题【典例】(2020郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-. (1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2)根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的

2、关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1k2=-,得=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=代入得+C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参

3、数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.(2020鹰潭模拟)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,下顶点D(0,-1),且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程.(2)经过点M(1,0)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得MPA=MPB恒成立?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(ab0),由已知得b=1,=,又a2=b2+c2,所以a2=3,b2=1,即椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,设A(x1,y1),B(x2,y2),

4、由题意可知,k0,设直线l方程为y=k(x-1),由消去y整理得,(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,x1+x2=,x1x2=,由MPA=MPB得,kPA+kPB=0,所以+=0,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),+=+=0,所以k2(3k2-3)-(m+1)6k2+2m(3k2+1)=0,所以k(6k2-6-6mk2-6k2+6mk2+2m)=0,所以k(-6+2m)=0,即m=3,所以P(3,0),所以定点P坐标为(3,0).考点二圆过定点问题【典例】(2020咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-. (1)求动点C的

5、轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2)直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理【解析】(1)设C(x,y).由题意得kACkBC=-(y0).整理,得+=1(y0).故动点C的轨迹方程为+=1(y0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组 消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx

6、+4m2-12=0.依题意得=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0

7、,得(x0-t)(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.(2020西安模拟)已知椭圆C:+=1(ab0),离心率e=,A是椭圆的左顶点,F是椭圆的左焦点,=1,直线m:x=-4.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l过点F与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线m交于M,N两点,试问:以MN为直径的圆是否过定点,如果

8、是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.【解析】(1)得,椭圆C的方程为+=1.(2)当直线l斜率存在时,设直线l:y=k,P、Q,直线PA:y=,令x=-4,得M,同理N,以MN为直径的圆:+=0,整理得:+y2+2ky+4k2=0,得x2+8k2x+4k2-12=0,x1+x2=,x1x2=,将代入整理得:x2+y2+8x-y+7=0,令y=0,得x=-1或x=-7.当直线l斜率不存在时,令P、Q、M、N,以MN为直径的圆+y2=9也过、两点,综上:以MN为直径的圆过两定点、.考点三定值问题命题精解读1.考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.(2)考查数学运算、逻

9、辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.3.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.学霸好方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;变量法:其解题流程为与长度、角度相关的定值【典例】(2020济宁模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且椭圆C过点P. (1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:

10、AFB的大小为定值.【解析】(1)因为椭圆C过点,所以+=1,因为离心率为,所以=,又因为a2=b2+c2,由得a2=3,b2=2,c2=1.所以椭圆C的方程为:+=1.(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.由消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.所以xA=-=-=-,所以yA=kxA+m=-+m=.所以切点A的坐标为,又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),所以=2+(3k+m)=0,所以AFB=90,即AFB的大小为定值.证明角度为定值的一般方法是什么?

11、提示:证明角度为定值,即借助向量将角转化为两个向量的夹角,进而转化为平面向量数量积的相关问题求解.代数式的定值【典例】已知抛物线C:y2=ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t. (1)求抛物线C的方程.(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,得at=,所以a=,则a2=1,由a0,得a=1,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为点A在抛物线C上,且yA=1,所以xA=1.所

12、以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=-.所以k1k2为定值.证明代数式的定值问题时关键点是什么?提示:代数式的定值问题,只需将代数式坐标化,代入点的坐标关系进行直接运算即可.1.(2019青岛模拟)已知直线l过抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程.(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与P

13、B的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=,k2=,k1k2=,联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中=4(k2+4k+8)0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.因此k1k2为定值,且该定值为-1.2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程.(2)E,F是

14、椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线AE的方程为:y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得xF=,yF=-kxF+k.所以直线EF的斜率kEF=.即直线EF的斜率为定值,其值为. 1.

15、已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点(1)求椭圆方程.(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q两点,求证:直线PQ的斜率是定值.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,把点A代入椭圆方程得:+=1,解得: 所以椭圆C方程为+=1.(2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+,则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,把直线AP的方程与椭圆C方程联立得

16、:(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,2x1=,故x1=,同理可得x2=,所以kPQ=k=k=,所以直线PQ的斜率是定值.2.(2020宝鸡模拟)已知椭圆C:y2=2px(p0),点F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1,焦点F到抛物线C的准线的距离为d2,且=.(1)求抛物线C的标准方程.(2)若在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点,且+为定值,求点M的坐标.【解析】(1)由题意知,焦点F的坐标为,则d1=,d2=p,又=,解得:p=2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)设点M坐标为,点P,Q的坐标分别为,显然直线l的斜率不为0.设直线l的方程为x=my+t.联立方程消去x,并整理得y2-4my-4t=0,则=160且y1+y2=4m,y1y2=-4t.由=,=.有+=+=,若+为定值,必有t=2.所以当+为定值时,点M的坐标为.