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1、第一章集合、常用逻辑用语与不等式第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四讲基本不等式练好题练好题考点自测考点自测1.2021 河南驻马店模拟设 0ab,则下列不等式正确的是()A.ab?+2B.a?+2bC.a?b?+2D.?a?+20 且y0”是“?+?2”的充分不必要条件D.若a0,则a3+1?2的最小值为 2?3.2020 天津,5 分已知a0,b0,且ab=1,则12?+12+8?+的最小值为.4.2019 天津,5 分设x0,y0,x+2y=5,则(?+1)(2?+1)?的最小值为.5.2017 江苏,5分某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为
2、4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.拓展变式拓展变式1.(1)2020 江苏,5 分已知 5x2y2+y4=1(x,yR),则 x2+y2 的最小值是.(2)2017 山东,5 分若直线 x/a+y/b=1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为.2.2020 安徽合肥二模若a+b0,则a2+b2+1(?+)2的最小值为.答案第四讲基本不等式1.B因为 0ab,所以a-?=?(?-)0,故a0,所以b?+2;由基本不等式知?+2?.综上所述,a?+2b,故选 B.2.ABD对于 A,当x0 时,y-2,故 A 错误;对于 B,易知当且仅当 cosx=2 时
3、f(x)取最小值,但 cosx不可能为 2,所以等号不可能成立,故B错误;对于C,当x0且y?,?,?=1,?+2=8?+,即?=1,?+=4时取等号.因此12?+12+8?+的最小值为 4.4.4 3因为x+2y=5,x0,y0,所以(?+1)(2?+1)?=2?+2?+?+1?=2?+6?=2?+6?2 2?6?=2 12=4 3,当且仅当?+2?=5,2?=6?,即?=3,?=1,或?=2,?=32时取等号,故原式取得的最小值为 4 3.5.30一年购买6?次,则总运费与总存储费用之和为6?6+4x=4(9?+x)89?=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x
4、的值是 30.1.(1)45解法一由 5x2y2+y4=1 得x2=15?2-?25,则x2+y2=15?2+4?25215?24?25=45,当且仅当15?2=4?25,即y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.解法二4=(5x2+y2)4y2(5?2+?2)+4?222=254(?2+?2)2,则x2+y245,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=31?,y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.(2)8直线?+?=1(a0,b0)过点(1,2),1?+2=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)(1?+2)=4+?+4?4+2?4?=8,当且仅当?=4?和1?+2=1
5、同时成立,即a=2,b=4 时等号成立,2a+b的最小值为 8.2.2解法一因为 2aba2+b2,所以(a+b)22(a2+b2).由a+b0,知a2+b2+1(?+)2a2+b2+12(?2+2)212=2,当且仅当a=b且a2+b2=12(?2+2),即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为 2.解法二因为a2+b22ab,所以 2(a2+b2)(a+b)2,所以a2+b2(?+)22,所以a2+b2+1(?+)2(?+)22+1(?+)2212=2,当且仅当a=b且(?+)22=1(?+)2,即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为 2.
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