高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念黎曼积分素材新人教A版选修2-2

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1、黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？定积分的定义设函数f(x) 在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间x0,x1, (x1,x2, (x2,x3, , (xn-1,xn，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：

2、x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi中任取一点i（1,2,.,n），作和式 。设=maxx1, x2, , xn（即是最大的区间长度），则当0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间a,b的定积分，记为 ：其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式， 叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。根据上述定义，若函数f(x)在区间a,b上可积分，则有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当a,b区间恰好为0,1区间时，则0,1区间积分表达式为：