定积分的应用ppt课件

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1、高等院校非数学类本科数学课程第七章 定积分的应用举例本章学习要求：知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第七章 定积分的应用举例一、建立定积分数学模型的微元法三、平面曲线的弧长二、平面图形的面积四、立体的体积和旋转体的侧面积五、定积分在物理及其他方面的应用 )(,所量得的长度但不能拉长把弧拉直

2、后有人说 .,简称为弧长就是弧的长度？1 平面曲线弧长的定义OxyABBMMMMAnn ,1100M1M1nMnM1iMiMa1x1ixix1nxb ,任意取分点上在弧 AB :个小段弧分成将nAB ).,2 ,1(1niMMii ).,2 ,1(:1从而得到弦依次连接相邻两分点成niMMii ,该折线的长度为一条折线 ,|111niiiniiMMs .max|.|111iniiiiiiissMMMMs记的长度为弦其中 .的长度极限值为曲线 AB ,lim 10|是可求长的则称曲线存在若极限ABsniis在则曲线若一般说来)(),()(,1xfybaCxf .,上是可求长的区间ba .,光滑曲

3、线是可求长的也就是说2 式平面曲线弧长的计算公 ,)(分别其端点为光滑曲线设BAbaxxfy ,则该曲线弧的长度为和对应于bxax .d1 2baxys :,Tba进行划分任意对 110bxxxxann ).,2 ,1(,:1nixxnii个小区间得到 ).,2 ,1(:1nixxxiii每个小区间长度 :,1为相应弦的长度上在iiilxx1ixix)(xfy 1iMiMil.)()()(2121iiiiixfxfxxl ),()(1由微分中值定理得因为baCxf ),()(1 12iiiiiixxxfl ,为所对应的整个折线长度到从从而BA ).,(1112iiiniiixx x)(f L

4、,)(1 ,max|21的长度为得的可积性则由记ABxfxxini )(1 lim120|niiixxfs.d)(1 2baxxf1ixix)(xfy 1iMiMil ),()(1 12iiiiiixxxfl ,求弧长的由上面的推导可知 :微分元素为 ,iils .d)(1 d2xxfs :,所以我们必须规定是非负数由于弧长 s .量的增加方向一致弧长的增加方向与自变则或者是极坐标形式式如果曲线是参数方程形 ,.)(的表达式方法求出可以利用参数方程求导xf 的方程为设曲线 L )(ty )(tx ,的起终Lt .tt和点别对应于 0,)()(),()(),(221ttCtt且若函数 .d)()

5、(22ttts ,其弧长为是可求长的则曲线 L)()(tty .)(:rrL的方程为极坐标形式设曲线 ,),()(1其弧长为是可求长的则曲线若函数LCr .d)()(22rrs :)(可化为参数形式方程rr cos)(rx sin)(ry 例1解解 ,中的钢筋形状为抛物线建筑中所使用的鱼腹梁 0).(,2axay可将其方程表示为适当选取坐标后 ).(,见图之间的钢筋长度求在bbOxybb2xay d)(1 22bbxxas d)2(1 2bbxax d)2(1 2 0 2bxax ).41 2ln(2141 2222baabababMatlab 或者用可查积分表例2解解 ).(sin ,cos

6、 abtbytax设椭圆方程为 .求计算椭圆全长的公式 .,弧长只需计算第一象限中的由椭圆的对称性 d)sin()cos(42 0 22ttbtas dcossin 42 0 2222ttbta dcos)cos1(42 0 2222ttbta dcos1 42 0 2222ttabaa .dcos1 42 0 22ttka)(222椭圆离心率abak椭圆积分该积分称为 椭圆积分表解析性质幂级数，利用幂级数的可以将被积函数展开为 .求椭圆积分的近似值432 8642 5311 642 311 4211 2111 xxxxx)11(x ),20 (1cos0 ,10 从而故由于xxee cos

7、211cos1 2222xexe2 0 222 0 22d)cos211 (4 dcos1 4 tteatteas于是)411 (22ea例3解解 .)0 ,2(0 )cos1(的整个弧长求心形线aar d)()(0 22rrs d)sin()cos1(0 222aa d)cos1(2 0 2a d 2cos4 0 22a d2cosd2cos22 0 a .8a例4解解 )cos1(),sin(的第一拱的长为求分摆线tayttax .3:1的点的坐标 摆线的第一拱全长为 dsin)cos1(2 0 22tttas .8d2sin22 0 atta,24 ,0 ,00asttt上曲线的长度为则

8、在设分点的坐标对应于0 0 d2sin22 tttaa即有 .)2cos1 (40ta .32 ,212cos 00tt由此得 .23 ),2332(00ayax故分点的坐标为3 弧微分Oxyab)(xfy ABxC ),()(1则光滑设函数baCxf )(的弧长为曲线xfy .d)(1 2baxxfs ,(所对应到点则点xabax .d)(1 )(2xattfxs ,有由积分上限函数的性质.)(1 d)(1 ddd)(d2 2tfttfxxxsxa 的长度为的弧 AC ,)(的增加方向一致时的增加方向与自变量当弧长xxs ,d )(d 则有同号与 xxs .d1 d2xys .ddd 222

9、yxs及 .),()(d处的弧微分在点称为曲线yxxfysbabaxyss 2 d1 d :,上的弧长计算公式在区间ba 一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 .,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 .,间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I :旋转体的特点旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴 .图形均为圆截口Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba与直线上的一段弧 .,bax .0 ,xbax ,得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点xxxx ,).()(

10、,可以用很小时当和其半径分别为两个圆xxxfxf ,)(似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以xxf .)(:,22xxfxyVxxx上的体积体在 :积分区间 :微分元素Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba与直线上的一段弧 .,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV .d)(d2xxfV :计算体积 d baVV .d 2baxy2 ,)(上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx .转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 y ,轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB :类

11、似于上面的作法可得 .,dcy :积分区间 :微分元素 .dd2yxV .d)(d2yyV :计算体积 d baVV .d 2bayx例5解解 ,1 2222轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yxbyax .旋转体的体积Oxyaabb)()1 (只需用上半椭圆轴旋转绕 x .,aax :积分区间 :微分元素 dd2xyV .3 4d)(d2 2222 abxxaabVVaaaa .d)(2222xxaab :计算体积)()2(只需用右半椭圆轴旋转绕 y .,bbx :积分区间 :微分元素 dd2yxV .3 4d)(d2 2222 bayybbaVVbbbb .d)(2222yybba :计算体积

12、OxyaabbOxy22xyxy 11Mx例6解解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy ,轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 )1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV .67d)2(d 21 0 aaxxxVV :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy 22xy)1 ,1 (M交点 .1 ,0 x圆环的面积Oxy22xyxy 11M )2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV d d2 1 21 0 121VVVVV :计算体积 .2,1 1 ,0y ,1 0,上在区间 .d)2(

13、dd222yyyxV ,2 1,上在区间.15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy?有其它的计算方法吗Oxy22xyxy 1M )2 (轴旋转绕 y ,0 ,1 ,0 ,xx如图所示xxx ,小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y ,故微分的空心圆柱体一个壁厚为 x 元素为 .d)2(2d2xxxxV 周长 高 厚 .1522220d)2(2d 1 0 21 0 xxxxVV 于是例7解解)2(0 )cos1(),sin(ttayttax的第一拱求摆线 .转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 xOxya2a ,式这是曲线的参数方程形 .法处理我们可以按照积分换元 ,d 2baxyV由

14、),cos1(),sin(且则令tayttax,20 :ax .20 :t d 2 0 2axyV故 d)cos1()cos1(2 0 22ttata .5d)cos1(32 0 33atta展开d222aa练习练习.求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aaxyoa2练习练习.计算摆线计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解:绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为

15、xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限!2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱壳体积说明说明:xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1(ta22td02偶函数yVttattad)cos1()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数奇函数336a