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1、第11章 多元函数微分学内容提要1. 基本概念、定理与公式(1) 二元函数的定义设有三个变量 ，如果对于变量 的变化范围内每一对数值，按照一定的法则，变量 总有一个确定的数值与之对应，则称变量 是变量 的二元函数，记做 。(2) 二元函数的极限则 。(3 ) 二元函数的连续性设函数 在 的某领域内有定义，分别给自变量 在 处的增量 ，得全增量 。若极限 ，则称 在 处连续。(4) 偏导数1） 在 处的偏导数设 在 的某领域内有定义，给自变量 增量 ，而 保持不变，即 ，相应地得到函数关于 的偏增量 ，即，如果极限 存在，则该极限值就称为 在 处对变量 的偏导数，记为 或者。同样可定义 在 处对
2、变量 的偏导数，记极限值 为 或者 。2） 在区域D内的偏导数.若 在区域D内每一点处，对 或对 的偏导数都存在，此时称函数 在区域D内可导。这两个偏导数也是 的二元函数，记做 。3）高阶偏导数关于 或 的偏导数称为 的二阶偏导数，分别记为 对二阶偏导数再求偏导得三阶偏导数，依次类推。二阶及二阶以上偏导数称为高阶偏导数。(5) 全微分设函数 在点 的某邻域内有定义，若全增量可表示为其中 与 无关， ，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的全微分，记做 。若 可微，则有 。从而 其中 (6) 方向导数与梯度设 在 的某领域内有定义，自点 引有向直线L（方向向量为 ），L上点 ，若 存在，称此
3、极限值为函数 在点 沿方向 的方向导数，记为 ，即，其中 称向量 为二元函数 的梯度。(7) 基本定理定理1 (可微的必要条件)若 在点 处可微，则在该点处 必存在，且有 。定理2 (可微的充分条件) 若 的两个偏导数 在点 的某领域内存在，并且在点 处连续，则 在点 处可微。定理3(混合偏导相等的条件) 若 的两个混合偏导数 及 在区域D内连续，则有 定理3 (可微与方向导数的关系) 若 在点 处可微，则在该点函数沿任一方向 的方向导数均存在，且其值为 ，其中 为 关于 轴的方向角, 为 同方向的单位向量， 为梯度。2微分法(1) 简单显函数 的微分法求 时，将y当作常数，利用一元函数的求导
4、公式和导数的运算法则，即可求得，求 类似。注：若是求分段函数在分段点处的偏导数，要用定义求。(2) 复合函数微分法（链式法则）设 在点 处有偏导数，而函数 在对应点 可微，则复合函数 在点 对 及 的偏导数为注：1若 ， ，则 关于 及 的偏导数为此处 。 中 是自变量为 ， 的二元函数，而 中 是自变量为 ， ， 的三元函数。 2若 ， ， ， ，则 对自变量t的全导数为(3) 隐函数微分法1）由方程 确定隐函数 ，则2）由方程 确定隐函数 ,则3）由方程组 确定隐函数 ，方程两边对 求导得 解此方程组可得 ， 。4）由方程组 确定隐函数 ，方程两边对 求导得解此方程组可得 ， 。方程两边对
5、 求导得解此方程组可得 ， 。3. 几何应用(1)空间曲线的切线和法平面方程1）若空间曲线 的方程为： ，则曲线在 的相应点 处的切线方程为： ，法平面方程为： 特别地，i）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为：，法平面方程为： .ii）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为：，法平面方程为： .iii）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为：，法平面方程为： .2）若空间曲线 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为： ,法平面方程为： .(2) 空间曲面的切平面及法线方程1）空间曲面方程为 ，则曲面在点 处的切平面方程为： 法线方程为： 2）空间曲面方程为 ，则在点 处
6、的切平面方程为： 法线方程为： 4. 二元函数的极值(1).无条件极值1）定义设 在点( )的某领域内有定义，若对该领域内异于点( )的任一点 ,恒有 ，则称 是 的极大值（或极小值），极大值极小值统称为极值，点( )称为极值点。2）极值的必要条件 设 在点( )可微，而且 是 的极值点，则有 与 同时成立。点( )称为 的驻点。3）极值的充分条件设z=f(x,y)在驻点 的某领域内有二阶连续偏导数，记 ， ，则i）当 时， 是 的极值点；若 ，则 是极小值点；若 ，则 是极大值点。ii）当 时， 不是 的极值点。iii）当 时，无法判断。(2) 条件极值在条件 下的极值问题称为条件极值问题。
7、常用拉格朗日乘数法解。 复习指导： 学习指导1二元及二元以上函数只与定义域和对应法则有关，而与变量符号无关；二元函数的定义域是一平面区域；二元函数在几何上可用一曲面或一族等值线来表示。2二元函数的极限要求点 以任何方式，沿任何路径趋向 ，均有 。倘若沿两条不同的路径， 不相等，则可断定 不存在，这是证明二元函数极限不存在的有效方法。一般计算二元函数的极限比较困难，但有部分可转化为一元函数来处理，常用的有极限的四则运算法则，重要极限，无穷小性质，夹逼原理。3 在 处连续等价于 ；闭区间上一元连续函数的性质可推广到闭区域上二元连续函数。4求 的偏导数 时，将 看作常数， 看作 的一元函数； 求 时
8、，将 看作常数， 看作 的一元函数。求分段函数分段点的偏导数，要用偏导数用定义。5求 的二阶偏导数，即求 。其中混合偏导数 并不总是相同。当 都连续时，两者相等。6求 的全微分方法一：先求偏导数 ，再代入公式 ；方法二：用全微分的形式不变性及微分的四则运算法则。若 可微，则不论 是自变量还是中间变量，总有7二元函数连续、偏导数、可微的关系连续偏导可微表示可推出表示推不出8复合函数求偏导首先明确变量之间的关系，建议画关系图；用链式法则求导。注意：一元函数求导的符号用“”，多元函数求偏导的符号用“”。9隐函数求导由一个方程确定的隐函数直接用公式比较简单。多个方程确定的隐函数，先要确定哪些是自变量，
9、哪些是因变量，自变量个数=总变量个数方程个数。各方程两边再对相应的自变量求导，解方程组即可求得。10几何应用(1)求空间曲线的切线和法平面方程，关键是求切线的方向向量（也是法平面的法向量）。(2)求空间曲面的切平面及法线方程，关键是求切平面的法向量（也是法线的方向向量）。注意两者的区别。通常，一个方程（或一个函数）表示空间曲面，两个方程（或两个函数）表示空间曲线；曲线的参数方程常用的参数是，。11方向导数与梯度方向导数是一个常数，是函数在点沿方向函数值的增加率或减少率。当函数在点可微时，沿任意方向的方向导数都存在。计算方向导数，方法一：用定义；方法二：用公式，其中，为梯度，是一个向量，是的方向余弦。注意方向导数与偏导数的区别。当时，为轴正向，则；当时，为轴负向，则。梯度的方向是方向导数取得最大值的方向，即。12求可微函数的无条件极值步骤：1）一阶偏导求驻点，即解方程组，。2）二阶偏导判断极值的存在性及极值的类型（极大或极小）。3）可微函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点。极值点也可能不是驻点。13求的满足条件的极值解法一：化为无条件极值问题若从中求得（或）代入，即为一元函数求极值。解法二：用拉格朗日乘数法步骤：1）构造拉格朗日函数2）解方程组，一般消，得解。而点是否为极值点，可由实际问题确定。
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