数学建模微分方程模型PPT精选文档

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1、1微分方程模型成都东软学院数学建模培训2微分方程模型微分方程模型（动态模型）（动态模型）在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。领域中去，其影

2、响是广泛的。随时间随时间(空间空间)变化的数量关系变化的数量关系 微分方程微分方程:含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程的方程3解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即,1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为xdxdy24一般的一般的(常常)微分方程或微分方程组可以写成：微分方程或微分方程组可以写成：(,)dxf t xdt初值问题：初值问题：00)()(xtxxfdtdxnRx5一、微分方程模型的简单应用一、微分方程模型的简单应用二、人二、人 口口 模模 型型三、用三、用Matlab软件求常微分方程的解

3、析解软件求常微分方程的解析解注意：数学建模问题通常没有标准答案，至多只有参考答案。注意：数学建模问题通常没有标准答案，至多只有参考答案。只要是符合实际、言之有理的答案都是好答案。只要是符合实际、言之有理的答案都是好答案。6一一、微分方程模型的简单应用7891011121314思考题：思考题：有高为2米的球体容器盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米，试求放空容器所需要的时间。15二、人二、人 口口 模模 型型1.问题的提出问题的提出2.假设和定义假设和定义3.模型的建立模型的建立4.分析和求解分析和求解5.结论和讨论结论和讨论1.问题的提出问题的提出 人口问题是当今世界上

4、最令人关注的问题之一，一些发人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：据显示：年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿）5

5、10 20 30 40 50 60 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：快，如下表：年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿）人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。准确的预报，是有效控制人口增长的前提。2.模型模型(Malth

6、us模型模型)18世纪末，英国人世纪末，英国人Malthus在研究了百余年在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，中，净相对增长率净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。率）是常数。t 提示:在tt+t时间内N(t+)-N(t)净增长率=出生率-死亡率=t净增长率 净相对增长率=N(t)(N(t)表示t时刻的人口数)N(t+)-N(t)=tN(t)123(1)2.1.2rN trN 设时刻t的人口为N t净相对增长率为把当作连续的变量 按照Malthus的理论,在t到t+t时间内人口的增长量为:N

7、(t+t)-N(t)=rN(t)t令 t0,则得到微分方程dN dt模型假设:2建立模型00,(2)(3)2.32.4trtdNrNdtNNe 00若记初始时刻(t=0)的人口为N 则有 解得 N(t)=N 如果r0(3)式表明人口将以指数规律无限增长,特别地,当t时,N(t)+,这似乎不太可能.模型求解模型分析22r=0.2743/10年，xm=4.188数据拟合：r=0.2022/10年，xm=6.045023指数增长模型的应用及局限性：指数增长模型的应用及局限性：与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后

8、代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定自然增长率

9、基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率净相对增长率是常数的基本假设进行修改。是常数的基本假设进行修改。2.5 模型修改模型修改25模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：从而有：()dNr N Ndt（3.7）r(N N)是未知函数，但根据是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合实际背景，它无法用拟合方法来求方法来求 。为了得出一个有实

10、际意义的模为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程：()dNraN Ndt(1)dNN

11、rNdtK或或（3.8）（3.83.8）可改写成：可改写成：()dNk KN Ndt（3.9）26 (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为养的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成看成常数），常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数

12、量，K-N恰为恰为环境还能供养的种群数量，（环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。）也被称为统计筹算律的原因。图图3-5对对（3.93.9）分离变量：分离变量：11dNkKdtNKN两边积分并整理得：两边积分并整理得：1kKtKNCe令令N(0)=N0，求得：，求得：00KNCN故故（3.93.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为：000()()kKtN KN tNKN e（

13、3.10）易见：易见：N(0)=N0，lim()tN tKN(t)的图形请看图的图形请看图3.5 28MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程（均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常为一常数，（数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。境只能供养一定数量的种群，从而引

14、入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些

15、实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。29思考题：一颗小树刚栽下去的时候长的比较慢，渐渐地，小树长高了而且长得越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了；但长到一定高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。这一现象具有普遍性。现在我们来建立这种现象的数学模型。如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果树的生长速度正比与最大高度与目前高度之差，则又明显不符合中间一段的生长过程。综合考虑一下，如何建立数学模型？30三、用三、用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值

16、解求微分方程（组）解析解的命令求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为缺省.例如，微分方程 22d0dyx应表达为：D2y=0.3132解解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为:y=3e-2xsin（5x）33数学建模练习题数学建模练习题：1034通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为0.42：1。渔业上称这种方式为固定量捕捞。试建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量。要求：分四 个时间段完成以下任务：1、第一时间段，认真读题，分析问题，注意“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词，通过微元法建立微分方程，并构思数学论文的结构，写出摘要。352、第二时间段，在问题分析的基础上提出合理的问题假设，建立数学模型，写出初步的数学论文。3、继续完成论文，在完成初稿的基础上修改和完善论文，以电子版的形式保存论文。4、最后一个时间段是分析讲评论文。