数值分析总复习提纲

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1、数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面：（一）误差计算1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。基本的问题是，已知求n。例11：计算e的近似值，使其误差不超过106。解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麦克劳林公式，可知当x=1时，故。 当n9时，Rn(1)106，

2、符合要求。此时，e2.718 285。2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。基本的计算公式是：e(x)x*xxdx 注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式或，这样计算简单。例12：测得圆环的外径d1=100.05(cm)，内径d2=50.1(cm)。求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。解：圆环的面积公式为： 所以，圆环面积的近似值为由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为相对误差为 相对误差要化成百分数。3、绝对误差、相对误差、有效数字的关

3、系计算绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论：如果一个数其近似值是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过 ，即 。如果一个数的近似值是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过 ，即 。设是x*的具有n位有效数字的近似值，则其相对误差限为反之，若x的相对误差限则x至少具有n位有效数字。例1.3：求的近似值，使其绝对误差不超过。解：因为所以，化成的形式，有。而，所以，由定理2，n=4，所以近似值应保留4位有效数字。则。 例14：要使的近似值的相对误差不超过，应取几位有效数字？（5）解：设取n个有效数字可使相对

4、误差小于，则 ，而，显然，此时， ，即，也即所以，n=5。例15：已知近似数x的相对误差限为0.3,问x至少有几个有效数字？解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则由上可得，n2.2，所以取n=2。指出：也可以按首位为1，9分别计算，取较小者。4、计算方法的余项计算各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。（二）误差分析精度水平的分析主要依据两个结论：相对误差越小，近似数的精确度越高。一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确。反之亦然。例1.6： 测量一个长度a为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一长度b为20米，其绝对误差不超过0.05米。问

5、，哪一个测量的更精确些？解：显然，a b所以测值a更准确一些。答：测值a更准确一些。指出：衡量测量工作的好坏用相对误差。解决这样的题目就是三个步骤：第一，求出两个相对误差。第二，比较两个相对误差的大小。第三，结论。（三）算法分析1、稳定性分析算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。例17：设近似值T0=S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式和计算T20和S20所得结果是否可靠。解：设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*Ti，其中计算T0的误差为，那么计算T20的误差为 e(T20)=T20*T20（5T19*142.8）（5T19142.8）=5(T1

6、9*T19) 5e(T19)=52e(T18)=520e(T0)显然误差被放大，结果不可靠。同理，误差缩小，结果可靠。指出：注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收敛性分析算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中体现。（1）迭代法收敛性判定的基本结论是：定理（迭代法基本定理）：对于任意的fRn，和任意的初始向量x(0)Rn，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,) 收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(B)1。推论：若，则迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,)收敛。（2）

7、判定雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法收敛的基本依据是：定理： 设线性方程组Ax=b，其系数矩阵为则雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：；高斯赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：。(3)系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性： 定理：系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯赛德尔迭代都是收敛的。指出：迭代法基本定理是一般结论，对任意迭代法的收敛性都能分析。限定雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法则不必应用基本定理，以回避求迭代矩阵。例18：已知线性方程组求解这个方程组的雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法是否收敛？解：，令，则，所以(BJ)=01所以高斯赛德尔迭代法发散

8、。二、基本计算与基本算法（一）秦九韶算法秦九韶算法是一种求多项式的值的计算方法。对任意给定的x，计算代数多项式的值，可以利用下面的方法计算： 这种算法就是著名的秦九韶算法。是我国宋朝伟大的数学家秦九韶的伟大发现。秦九韶算法可以写成递推的形式：具体计算式，递推格式是采用如下表格形式进行计算：根据递推规则，计算的过程是要把横线上面每一竖列的两个数相加得横线下的数。其中ak由多项式给出，而每一个xsk+1则由前一列中的sk+1与已知数x相乘得出。所以可以由最前一列逐步递推计算出最后结果。例21：用秦九韶算法计算多项式在x=2处的值p(2)。解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。 计算过程如

9、下：s7a71。x.s72。s6=a6+xs7=-2+2=0（竖向相加）重复以上过程。s0=189。所以，p(2)9。（二）有效的基本算法所谓有效的基本算法是指，根据算法设计的原则，设计出的一些求值计算的基本算法，这些算法避免了两个相近的数相减、较小的数作除数等使得计算误差增大的问题，减少了计算次数，通过调整计算顺序避免了大数吃小数。例22：指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）11cos1（三角函数值取四位有效数字）2（对数函数值取六位有效数字）3 (其中x的绝对值很小）4x1275解：1 2 3 4x127xx2x4x8x16x32x64 5由小到大依次相加。 注意：能

10、求出值来的求值。（三）数值分析的基础计算1、矩阵分解主要包括LU分解和乔累斯基分解。矩阵的手算分解就是应用矩阵乘法。注意1注意分解式的格式。2分解计算要认真。3注意分解的顺序。先求U的第一行，再求L的第一列。矩阵的LU分解中，L是单位下三角阵，U为上三角阵，即，注意L的对角线元素都是1。乔累斯基分解的结构是A=PTP。注意：1矩阵A是对称正定矩阵，则分解前必须声明“矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解”。2P是上三角矩阵。例23：设有矩阵，作矩阵A的LU分解。解：对矩阵，设先计算U的第一行，由矩阵乘法，有再计算L的第一列，由矩阵乘法，有然后计算U的第2行所以2、求范数和条件数1常用的向量

11、范数有2常用的矩阵范数有矩阵的1范数（列范数）：；矩阵的2范数（谱范数）：；其中称为矩阵B的谱半径。(B)是矩阵B的特征值。矩阵的范数（行范数）：3矩阵A的条件数为例24：计算向量的各种范数。解：，。例25：给定矩阵，求。解：因为，所以；因为，所以；因为，所以的特征多项式为：，解得。所以。3、求差分和差商求差商和差分应用差商表和差分表进行。差商表如下：xkf(xk )一阶差商二阶差商三阶差商x0f(x0 )fx0 ,x1 x1f(x1 )fx0 ,x1 ,x2 fx1 ,x2 fx0 ,x1 ,x2 ,x 3 x2f(x2 )fx1 ,x2 ,x 3 fx2 ,x 3 x3f(x 3)差分表如

12、下：xk yk一阶差分二阶差分三阶差分x0y0y0x1y12 y0y1 3y0x2y2 2y1y2x3y3三、数值计算与数值分析（一）插值与拟合方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、等距节点插值、分段插值、保形插值（埃尔米特插值）、样条插值等插值方法和最小二乘法。1、插值方法(1)拉格朗日插值多项式有两种求法，第一种是待定系数法，第二种是直接利用拉格朗日插值多项式的基函数法。建议应用待定系数法。例31:已知函数f(x)在节点1，0，1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1：设所求的多项式为，把已知条件代入得解之得所以。解2：由插值

13、基函数公式代入插值公式得即。(2)牛顿插值和等距节点插值在求出差商或差分后直接套插值公式。(3) 构造埃尔米特插值仍然采用待定系数法和基函数法。例32：已知，求三次的埃尔米特插值多项式H(x)。解：设，则，由插值条件得解之得，所以。例33：设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足。解一（待定系数法）：解：设，则，由插值条件得解之得，所以。解二（基函数法）：解：设，因为线性拉格朗日插值基函数为，由得同理由得则。指出：待定系数法是求插值多项式的基本方法，而埃尔米特插值的基函数法构造方法及其余项分析方法是非标准插值构造及余项讨论的一般方法。(4

14、)样条插值根据边界条件不同求解不同的方程组解决。(5)各种标准插值都有分段插值，分段插值的精度仅受局部数据影响。(6)非标准插值是重要的插值问题。非标准插值在一些论著中归为埃尔米特插值。例34：设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足 (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。解：(1)由例33可以求出满足的三次埃尔米特插值多项式。设，则p(x)满足，由得，所以。(2)余项具有如下结构作辅助函数则显然在点处有6个零点（其中0，3是二重零点），即，不妨假设。由罗尔定理，存在，使得，再注意到，即有5个互异的零点再次由罗尔定理得，存在，使得

15、第三次应用罗尔定理得，存在使得，第四次应用罗尔定理得，存在使得，第五次应用罗尔定理得，存在使得注意到（中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。所以，代入余项表达式，有 。指出：本题是非标准插值问题，所谓非标准插值是指不同于拉格朗日插值等条件规范、插值多项式已有现成结论的插值。比较简单的求解方法有：求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函

16、数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。在构造新的插值多项式中，要求新的插值多项式仍然以H(x)的插值节点为节点，则可以写成的形式，因为，所以必有因此0，3是g(x)的两个2次零点，则g(x)包含因子。又因为多项式p(x)是4次的，g(x)也应该是4次的，所以可以设g(x)为。本题也可以先利用构造一个2次插值多项式，以此为基础构造4次插值多项式，的结构是，满足再根据列出两个线性

17、方程组成的方程组，求出a、b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函数余项的常用方法是：应具有如下形式（以本题为例）作辅助函数则在点处有6个零点（其中0，3是二重零点）。反复应用罗尔定理，直到至少有一个，使得。此时即有代入余项表达式即可求出。这里，作辅助函数的方法和中值定理讨论中作辅助函数方法一样。指出：插值公式的构造方法主要就是待定系数法和基函数法，埃尔米特插值这两种方法的构造与余项讨论都非常充分，是重要内容。不仅应该能构造典型的插值公式，还要能构造一般的具有特定条件的插值公式。用待定系数法构造埃尔米特插值等各种插值的方法也是必须掌握的。(7)推广的牛顿插值法埃尔米特插值（广泛意义上的）

18、也可以用构造差商表的方法求出，尤其是插值条件中出现了高阶导数的情况，利用构造差商表的方法按牛顿插值多项式求埃尔米特插值很方便。具体做法如下：（1）把具有一阶导数的节点看成2重节点（即2个数据节点），具有2阶导数的节点看作3重节点，以此类推。（2）用公式计算(n+1）个相同节点的差商。（3）求出相同节点处的差商后按正常的差商表计算方法求差商表。（4）按牛顿插值多项式写法求出埃尔米特插值。这种方法称为推广的牛顿插值法。例3.5：已知函数y=f(x)的函数值、导数值如下表：100406125利用所给条件构造f(x)的埃尔米特插值多项式。解：由公式得得差商表为一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商1

19、04044010430011042221123512所以，5次埃尔米特插值多项式为。2、拟合方法最小二乘法是重要的数据拟合方法。其求解过程为：1分析数据，将已知数据描画在坐标纸上，得到一个散点图，从图上可以直观地看出数据的变化趋势。2建立数学模型。根据上述分析，确定拟合函数的类型。3应用最小二乘法，确定拟合函数中的未知参数。4写出拟合函数。例36：给定一组实验数据如下表x2468y1.12.84.97.2求x、y的函数关系。解：先做出草图，从图上可以看出，这些点的分布接近于一条直线。设y=a+bx，则对a、b分别求偏导，并令偏导数等于0，得将数据代入得化简得解之得则x与y的函数关系是y=-1.

20、1+1.02x。例3.7：给定数据表x21012y01用两种方法求其二次拟合曲线。解一：设所求的拟合函数为，则。对a、b、c分别求偏导，并令偏导数等于0，得将各数据点的数值代入，得方程组为 解之得a=0.4086，b=0.42，c=0.0857，所以数据点所反映的函数的近似关系为解二：设所求的拟合函数为，将数据代入方程得方程组的系数矩阵和右端向量为因为所以解之得a=0.4086，b=0。42，c=0.0857，所以数据点所反映的函数的近似关系为指出：解二依据的结论是：定理：是超定方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是是方程组的解。即。例38：已知试验数据x1925313844y190323

21、490733978用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。解：设则对a、b分别求偏导，并令偏导数等于0，得将数据代入得化简得第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得解之得则x与y的函数关系是y=1.01+0.05x2。此时，平方逼近误差为所以,均方误差为。指出：均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。例39：用最小二乘法求方程组的近似解。分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘法求解。解：设方程组中各个方程的一般形式为，则对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0，得将数据代入得解之得指出：最小二乘法需要记住的是基本原理。第一，残差表达式第二，对残差求

22、偏导数，使每一个偏导数都等于0，列方程组第三，解方程组，求出a,b,第四，写出拟合函数。（二）解非线性方程的方法非线性方程的数值求解问题包括如下基本问题：判断方程根的个数，求隔根区间判断方程f(x)0有几个根并求隔根区间的方法过程是：(a)求函数y=f(x)的导函数y=f(x)。(b)令f(x)0，用零点将函数定义域分成几个不同的区间，确定函数在各区间上的单调性。(c)求出函数在区间端点上的值，判断函数值是否发生变号，排除不存在根的区间。(d)确定根的个数和隔根区间。例310：判断方程2x3-3x2-12x+25=0有几个实根，并求出其隔根区间。解：令y=2x3-3x2-12x+25，y=6x

23、2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)当y=0时，有x=-1，x=2，而且函数没有不可导点。显然，当x-1时，x+10，x-20，所以，y=6(x+1)(x-2)0，同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下：x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+00+y325y(-1)=320，y(2)=50，在区间（-1,2）上方程无根。又 y(2)=50，函数在（2，）上又是单调增的，函数值不可能再变号，在区间(2，)上方程也没有根。函数在（，1）上单调，方程在该区间上最多有一个根。而y(2)210，y(-3)=-200，方程

24、在区间(3，2)内有一个根，区间(3，2)是方程的隔根区间。所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一个根，隔根区间为（3，2）。用二分法求根的初始近似值用二分法求根的初始近似值要注意两个问题，第一是要进行确定二分的次数。在二分法中， 。如果 这里为预定的已知精确度，知道了就可以求出n来。而第二个问题就是每一步都要进行函数值符号的判定。例311：用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间（1，1.5）内的实根，要求误差不超过0.005。解：因为f(1)0，f(1.5)0，所以，方程在区间（1，1.5）上有根。由有，2n+1200，2n100。又因为27128100所以n7，即只需要二分7

25、次即可。列表讨论如下：nanbnxnf(xn)的符号11.01.51.2521.251.51.37531.251.3751.31341.3131.3751.34451.3131.3441.32961.3131.3291.32171.3211.3291.325x*x7=1.325。用切线法（Newton法）解方程求解方程f(x)=0的切线法迭代格式为 例312：用切线法求方程x=e-x 在x=0.5附近的根。解：首先将方程x=e-x 改写为xex 10，于是有f(x)=xex 1，相应的迭代公式为取x0=0.5为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123xk0.50.571020.5671

26、60.56714所以，方程的近似根为。指出：一般地，当满足预定精度的有效数字全都相同时，就可以终止计算过程，输出结果。用切线法求算术根对于给定的正数c，应用切线法解二次方程 x2-c0可以导出求开方值的计算程序 可以证明，这种迭代公式对于任意的初值都是收敛的。例313：计算115的算术平方根。解：取初值x0=10，对于c=115利用迭代3次，得k01234xk1010.75000010.72383710.72380510.723805所以，115的算术平方根的近似值为用割线法解方程割线法的迭代公式为：例314：用割线法求方程在初始值邻近的实根（取，要求精确到）。解: 因为所以有，相应的迭代公式

27、为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：kxk xk-xk-1f(xk)f(xk)- f(xk-1)021119-0.10.159-0.841218811-0.01890.0130-0.146318794-0.00170.0001-0.0129418794因为,符合计算的精度要求,所以。（三）解线性方程组的方法解线性方程组的数值方法包括两大类。第一大类是直接解法，包括高斯消元法、高斯列选主元素消元法、高斯全选主元素消元法、矩阵分解方法。第二类是迭代方法，包括雅可比迭代法、高斯赛德尔消元法、超松弛法。1、消元法用消元法解方程组要注意：1消元的过程要规范完整。2要明确写出选主元素的过程

28、。3消元后的方程组写成阶梯形。4注意解的格式，要写成的形式，注意解向量的各个分量的次序。例315：用高斯消元法求解线性方程组：。解：，消去第二、三个方程的，得：再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：回代，得：，所以方程组的解为例316：用高斯列选主元素消元法解线性方程组解：先选第一列主元为，将第一个方程与第二个方程交换，消去得：再选第二列主元为，交换第二行与第三行，消去得三角形方程组：回代求得方程组的解，所以方程组的解为。例317：用高斯全选主元素消元法解线性方程组解：选全主元为，交换第一个方程与第二个方程，消去，得：再在此方程组的后两个方程中选主元，交换第二与第三个未知数，消去得三

29、角形方程组：回代得方程组的解，即原方程组的解为：指出：全选主元素交换两个未知数时，方程组里所有方程中的两个未知数都要交换，同时要交换相应的系数和符号。注意是方程组到方程组的变形。2、矩阵分解法(1)LU分解法解线性方程组(2)乔累斯基分解法解线性方程组3、迭代法用迭代法解方程组的一般格式是（以三元为例）：1从3个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得:2据此建立迭代格式得3取迭代初值进行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001234所以方程组的解为。注意：1分离变量时，一定要使得右边不再含有要求解的相应分量。和证明与理论分析不同，不要追求式子的对称。2迭代表格就的是有格的

30、，要划出表格来。3迭代终止的条件，一般是要达到规定的精度水平。通常是两次迭代的结果一样时终止，也可完成规定的迭代次数终止。4注意迭代格式中的上标要加小括号。雅可比迭代法的迭代格式是：高斯赛德尔迭代法的迭代格式是：例318：用雅可比迭代法求解线性方程组（取初值为）。解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得，据此建立迭代格式得，取迭代初值进行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001135253331114111所以方程组的解为。4、特殊线性方程组的解法求解三对角矩阵方程组的追赶法（四）数值积分与数值微分1、数值积分1经典方法和牛顿科特斯方法本质上来说，数值积分方法基本

31、上是插值型积分方法。插值型积分方法主要是牛顿柯特斯积分公式，来之于几何直观的经典方法主要是牛顿柯特斯积分公式，求数值积分时，这些方法都是直接套用公式。求数值积分的经典方法包括矩形法、梯形法、抛物线法。实际求积分应用的都是复合求积公式。（1）矩形法左矩形公式右矩形公式（2）梯形法（3）抛物线法（辛普森法）。例319：用三种基本积分公式计算（四等分积分区间）。解：将区间4等分，5个分点上的函数值为（取2位小数）x11.251.5y0.500.390.31x1.752y0.250.20（1）矩形法用矩形法公式计算（取2位小数）或者 (2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数） (3)抛物线法用抛物线法

32、公式计算（取2位小数）2变步长积分和龙贝格积分变步长梯形公式是复合梯形公式的重要发展，在此基础上进行递推化改造，则又成为龙贝格积分的基础。所谓龙贝格积分实际上是一个逐次分半，逐步加速的数值积分方法。龙贝格积分需要依次应用相应的四个公式：。具体的计算过程列表如下：i01233代数精度方法以代数精度为标准获得的设计构造求积公式的方法，称为代数精度法。代数精度法用待定系数法通过解方程组构造数值积分公式。而代数精度方法应用待定系数法，其中包括了高斯积分方法。用代数精度法，一般是先求出待定系数，然后再继续验证构造出的公式的代数精度。所以求解过程分为两步，第一步确定待定系数，第二步验证代数精度。当需要确定

33、m个系数时，需要m个方程组成的方程组，因此，就需要对f(x)=xk(k=0,1,2,m-1)进行讨论。例320：试确定一个具有三次代数精度的公式。解：分别取f(x)1，x，x2，x3，使求积公式准确成立，则得下面的方程组。解之得A038，A198，A298，A338。由此得求积公式为当将f(x)=x4，代入时，上式不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。指出：注意验证。不仅要能用待定系数法求积分公式，还要会用待定系数法求微分公式，方法是一样的。在本课程中，待定系数法作为一种基本的方法用于求拉格朗日插值、埃尔米特插值、一般条件差值、数值积分公式、数值微分公式，应用广泛。2、数值微分数值微分的方

34、法包括差商方法、拉格朗日插值方法、样条插值方法、泰勒展开方法、待定系数法。数值微分的基本方法是中点法。中点公式为：例3.21：用中点公式求函数在x=2处的一阶导数，结果取4位数字。解：对于函数来说，在x=2处数值微分的中点公式是取不同的步长，求出的导数近似值为h210.10.50.00010.50.36600.35640.35350.3000数值微分的待定系数法与数值积分的待定系数方法本质上和实际应用上都是一致的。例322：确定如下数值微分公式的系数使它具有尽可能高的代数精度。解：为了计算方便，令，把依次代入使其成为等式，得解之得所以此公式对于不成立，故其代数精度为2。（五）微分方程数值解法求

35、解常微分方程初值问题的包括欧拉法、预测校正法、龙格库塔法、亚当姆斯方法。基础是欧拉法。用欧拉公式 求常微分方程的初值问题 的数值解的方法叫做欧拉法。例323：用欧拉法求初值问题的数值解。解：本初值问题的欧拉公式具体形式为yn+1=yn+h(xnyn) (n=0,1,2,3,)若取h=0.25，由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=0；x1=0.25，y1=y0+0.25(x0y0)=0+0.25(0-0)=0；x2=0.5，y2=y1+0.25(x1y1)=0+0.25(0.25-0)=0.0625；x3=0.75，y3=y2+0.25(x2y2)=0.0625+

36、0.25(0.5-0.0625)=0.1719x4=1，y4=y3+0.25(x3y3)=0.1719+0.25(0.75-0.1719)=0.3164。例324：用欧拉公式求解初值问题当x取步长为h=0.02，用欧拉公式解初值问题0,0.02,0.04,0.10时的解。 解：将代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：，（）取由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：001.000010.020.982020.040.965530.060.948940.080.933650.100.9100指出：本例采用表格方式求解，解题过程更加清晰。四、数值分析基本方法总结数值分析中所采

37、用的具体的基础方法，主要包括泰勒展开、递推与迭代、待定系数法、基函数法等。1、泰勒展开泰勒展开的本质是用函数的泰勒展开式取代函数，以此获得计算或比较上的便利。泰勒展开主要用于：（1）截断误差的计算（2）函数误差的讨论（3）改变算法，减少计算误差（4）构造牛顿迭代法（5）数值微分（6）求解常微分方程初值问题（7）构造龙格库塔法（8）构造亚当姆斯方法2、递推与迭代递推是从某一个位置向前推进的策略。 如带初值的递推关系式是从的值这个位置开始向前递推。这里，每一个是不同的。又如是从的值这个位置递推，每一个是不同的。迭代则是对某一个结果的反复加工，每一加工得到一个近似值，对于收敛的迭代，近似值序列以精确

38、值为极限。3、待定系数法待定系数法是基本的数学方法，在数值分析中具有重要价值。（1）求拉格朗日插值多项式（2）求埃尔米特插值多项式（3）求非标准插值多项式（4）最小二乘法也可以认为是一种待定系数法（5）代数精度法求数值积分（6）求数值微分（7）构造龙格库塔法（8）构造亚当姆斯方法4、基函数法基函数法构造插值多项式的基础方法。五、答题要点（一）、考试答卷基本要求（1）看清题目要求，按要求回答问题。如精确到哪一位、几等分、用什么方法等。超过精度要求也是错的。（2）没有要求得按常规作，采用常规方法、简单方法、自己熟练的方法。（3）注意规定的解题规范。（4）注意各类问题基本的解答格式和要素。如消元法是

39、方程组到方程组的变形，迭代法上标要有小括号等。（5）注意解题中所用到的基本公式。（6）有难度的问题，背过公式，能答成什么样答成什么样。（7）能记住公式但不会做，抄上公式也比空着或胡说好，至少说明你明白了，知道用哪个公式。（8）计算器。自己一个人用，基本的考试用计算器，没有编程和存储功能。（二）各种问题回答要求1、程序设计主要是编写m函数文件，记住基本的数据、函数，记住课程中的基本算法、用到的函数，如解方程组的方法，LU分解函数等，注意矩阵运算和数组运算。特别注意函数文件规范：（1）文件头。第一句必须是：function =()（2）定义变量。（3）循环体（有时不止一个）for end（4）计算

40、公式2、误差分析与基本计算（1）截断误差用泰勒展开计算。（2）和差的相对误差采用先求和差的绝对误差和和差的近似值，用定义计算的方法。积商的相对误差也可以先求出每一个因子的相对误差再求它们的和（差）的方法作。在多数题目中，所谓求误差实际上是求误差限，此时商的相对误差也是各个数的相对误差的和。（3）绝对误差、相对误差、有效数字的关系讨论严格按定理进行，注意不同情况，谁决定谁。（4）迭代法收敛性分析，如果明确是雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法就用简单方法。（5）稳定性分析是理论分析，不能用特例说明，要有结论。（6）基本的算法设计技巧要熟悉，秦九韶算法要熟练，矩阵分解、求范数和条件数、求差商和差分都是基

41、本运算，必须熟练掌握。3、非线性方程和方程组求解判定方程有几个根、二分法、牛顿法、割线法解方程、消元法、迭代法解方程组都是简单的基本方法，要熟练掌握。要按格式解题，主要表格的利用、解的结论。4、插值与拟合插值原则上只要没有要求就用待定系数法。（1）拉格朗日插值已知3个点，求线性插值（一次插值）、抛物线插值（二次插值），估计误差。方法：1用待定系数法。设直线方程为p(x)=ax+b，把两个点的坐标代入方程得注意选择插值点两侧的两个节点。设抛物线方程为p(x)=a0+a1x+a2x2，把三个点的坐标代入得方程组。2用拉格朗日插值多项式公式。n个插值条件可以构造一个n-1次插值多项式。（2）牛顿插值

42、和等距结点插值关键是会求差商和差分。（3）分段线性插值1求分段线性插值多项式两个方法每两个点作求一个一次插值多项式，把求出来的几个多项式写在一个大括号下，成为分段函数形式。用插值基函数表示。2用分段线性插值求某点处的插值，直接用该点两侧两个节点的线性插值求是最简单的方法。（4）最小二乘法。两个问题：1求拟合多项式。2解矛盾方程。两种方法：1设已知数据点(xi，yi)(i=1,2,m)，分布大致为一条直线，因此，可以确定拟合函数类为一次函数。作拟合直线y=a+bx，使得残差的平方和最小，即使 为最小。由微积分中求极值的方法知，使得L最小的参数a、b应当满足 所以，例用最小二乘法求方程组的近似解。

43、解：设方程组中各个方程的一般形式为，则对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0，得将数据代入得解之得2定理：是超定方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是是方程组的解。即。依据此定理，可以直接求解线性超定方程组，也就可以求最小二乘法拟合函数。例已知超定方程组求出其最小二乘解。解：方程组的系数矩阵和右端向量为因为所以解之得，此即该方程组的最小二乘解。指出：超定方程组用MATLAB求解也可以直接用矩阵除法（左除）求解，但手算不能用。5、数值积分与数值微分（1）用矩形公式、梯形公式、抛物线公式、复化矩形公式、复化梯形公式、复化抛物线公式求数值积分。关键是背过公式，带值计算。注意，没有说明分点数，一般就

44、不用复化公式，而说明了分点数就必须用复化公式。复化抛物线公式需要在偶数个小区间上计算，如果是奇数个小区间，就是应用利用小区间中点的公式。（2）用代数精度标准求数值积分公式和数值微分。例确定求积公式 中的待定系数，使求积公式的代数精度尽可能地高，并指明求积公式的代数精度。解：求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)1，x，x2精确成立，即解之得 ，所以，数值求积公式为 ，而 ，所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）。方法就是令求积公式对f(x)1，x，x2精确成立，代进去，得方程组。注意验证。不管题目如何说，积分公式是解题所需要的。几个未知数，列几个方程。注意节点待定情况。6、常微分方程数值解法（1）会用欧拉法解题。格式、计算过程。（2）能写出欧拉方法、预测校正法、经典Runge-Kutta法的格式、二阶亚当姆斯公式、亚当姆斯预测校正法公式。