命题及其关系充分条件与必要条件

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1、1.了解了解“p，则，则q”形式的命题及其逆命题、否命形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题.其中其中 的语句叫真命题，的语句叫真命题，的语句叫假命题的语句叫假命题.判断判断为假为假判断真假判断真假判断为真判断为真2.四种命题及其关系四种命题及其关系(1)四种命题四种命题(2)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关

2、系(3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系没有关系.相同相同思考探究思考探究一个命题的一个命题的“否命题否命题”与与“否定否定”是同一个命题吗？是同一个命题吗？提示：提示：不是不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件 (1)如果如果pq，则，则p是是q的的 ，q是

3、是p的的 ；(2)如果如果pq，qp，则，则p是是q的的 .充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件1.下列语句是命题的是下列语句是命题的是 ()(1)这条河是一条小河；这条河是一条小河；(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3)一个数不是合数就是质数；一个数不是合数就是质数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；大角所对的边大于小角所对的边；(5)xy是有理数，则是有理数，则x，y也都是有理数；也都是有理数；(6)求证：求证：xR，方程，方程x2x10无实数根无实数根.A.(1)(2)(3)B.(3)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(1)

4、(2)(3)(4)(5)解析：解析：(1)河的大小没有确切的定义，所以也不能判断真河的大小没有确切的定义，所以也不能判断真假假.(2)疑问句，不是命题疑问句，不是命题.(3)是命题是命题.(4)是命题是命题.(5)是命题是命题.(6)祈使句，不是命题祈使句，不是命题.答案：答案：B2.给出命题：若函数给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数是幂函数，则函数yf(x)的图象的图象 不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命 题中，真命题的个数是题中，真命题的个数是 ()A.3 B.2 C.1 D.0解析：解析：原命题是真命题，故它的逆否

5、命题是真命题；它的原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题.因此在它的逆因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个.答案：答案：C3.“x0”是是“x0”的的 ()A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：“x0”等价于等价于“x0或或x0”，“x0”“x0或或x0”，“x0”“x0或或x0”.答案：答案：A4.设设A、B为两个集合，下列四个命题：为两

6、个集合，下列四个命题：A B对任意对任意xA，有，有x B；A BAB ；A BA B；A B存在存在xA，使得，使得x B.其中真命题的序号是其中真命题的序号是(把符合要求的命题序号把符合要求的命题序号 都填上都填上).解析：解析：若若A1,2,3，B2,3,4，则集合，则集合A、B满足满足A B.但但2A,2B，故、错，故、错.若取若取A1,2,3，B2,3，则集，则集合合A、B满足满足A B，但，但AB，故是错误的，故是错误的.显然正确显然正确.答案：答案：5.已知已知P：xy2009；Q：x2000且且y9,则则P是是Q 的的 条件条件.解析：解析：“若若P则则Q”的逆否命题是的逆否命

7、题是x2000或或y9xy2009.逆否命题不成立，逆否命题不成立，原命题不成立原命题不成立.显然其逆命题也不成立显然其逆命题也不成立.答案：答案：既不充分又不必要既不充分又不必要 1.命题真假的判定命题真假的判定 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只 有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判 断命题的真假断命题的真假.2.四种命题的关系的应用四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一 个命题

8、直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆 否命题的真假否命题的真假.特别警示特别警示当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动必须保留大前提，大前提不动.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假：命题的否定，并判断它们的真假：(1)若若q1，则方程，则方程x22xq0有实根；有实根；(2)若若x、y都是奇数，则都是奇数，则xy是偶数；是偶数；(3)若若xy0，则，则x0或或y0；(4)若若x2y20，则

9、，则x、y全为全为0.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)原命题是真命题；原命题是真命题；逆命题：若方程逆命题：若方程x22xq0有实根，则有实根，则q1，为真命题；，为真命题；否命题：若否命题：若q1，则方程，则方程x22xq0无实根，为真命题；无实根，为真命题；逆否命题：若方程逆否命题：若方程x22xq0无实根，则无实根，则q1，为真命题；，为真命题；命题的否定：若命题的否定：若q1，则方程，则方程x22xq0无实根，为假命题无实根，为假命题.(2)原命题是真命题；原命题是真命题；逆命题：若逆命题：若xy是偶数，则是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；都是奇数，是假命题；否命题：若否命题：

10、若x、y不都是奇数，则不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题；不是偶数，是假命题；逆否命题：若逆否命题：若xy不是偶数，则不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题；不都是奇数，是真命题；命题的否定：若命题的否定：若x、y都是奇数，则都是奇数，则xy不是偶数，是假命题不是偶数，是假命题.(3)原命题为真命题；原命题为真命题；逆命题：若逆命题：若x0或或y0，则，则xy0，是真命题；，是真命题；否命题：若否命题：若xy0，则，则x0且且y0，是真命题；，是真命题；逆否命题：若逆否命题：若x0且且y0，则，则xy0，是真命题；，是真命题；命题的否定：若命题的否定：若xy0，则，则x0且且y0，是假命题，

11、是假命题.(4)原命题为真命题原命题为真命题.逆命题：若逆命题：若x、y全为全为0，则，则x2y20，为真命题；，为真命题；否命题：若否命题：若x2y20，则，则x、y不全为不全为0，为真命题；，为真命题；逆否命题：若逆否命题：若x、y不全为不全为0，则，则x2y20，为真命题；，为真命题；命题的否定：若命题的否定：若x2y20，则，则x、y不全为不全为0，是假命题，是假命题.1.利用定义判断利用定义判断(1)若若pq，则，则p是是q的充分条件；的充分条件；(2)若若qp，则，则p是是q的必要条件；的必要条件；(3)若若pq且且qp，则，则p是是q的充要条件；的充要条件；(4)若若pq且且q

12、p，则，则p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件；(5)若若p q且且qp，则，则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件；(6)若若p q且且q p，则，则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.2.利用集合判断利用集合判断 记条件记条件p、q对应的集合分别为对应的集合分别为A、B，则：，则：若若AB，则，则p是是q的充分条件；的充分条件；若若AB，则，则p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件；若若AB，则，则p是是q的必要条件；的必要条件；若若AB，则，则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件；若若AB，则，则p是是q的充要条件；的充要条件；若若A B，且，且A

13、 B，则，则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.特别警示特别警示从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围大范围不能推出小范围.指出下列各组命题中，指出下列各组命题中，p是是q的什么条件？的什么条件？(1)p：ab2，q：直线：直线xy0与圆与圆(xa)2(yb)22相切；相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设设l，m均为直线，均为直线，为平面，其中为平面，其中l ，m，p：l，q：lm；(4)设设(，)，(，)，p：，q：tantan.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)若若ab2，圆心，圆心(a，b)到

14、直线到直线xy0的距的距离离 ，所以直线与圆相切，反之；若直线与圆相切，所以直线与圆相切，反之；若直线与圆相切，则则|ab|2，ab2，故故p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.(2)若若|x|x，则，则x2xx2|x|0成立；成立；反之，若反之，若x2x0，即即x(x1)0，则，则x0或或x1.当当x1时，时，|x|xx，因此，因此，p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)l lm，但，但lml，p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.(4)x(，)时，时，正切函数正切函数ytanx是单调递增的，是单调递增的，当当(，)，(，)，且，且时，时，tantan，反之也成立，反之也成

15、立.p是是q的充要条件的充要条件.1.条件已知证明结论成立是充分性条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立结论已知推出条件成立 是必要性；是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，证明时，不要认为它是推理过程的不要认为它是推理过程的“双向书写双向书写”，而应该进行由条件，而应该进行由条件 到结论，由结论到条件的两次证明；到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清 哪是条件，哪是结论哪是条件，哪是结论.求证：关于求证：关于x的方程的方程

16、x2mx10有两个负实根的充有两个负实根的充要条件是要条件是m2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)充分性：因为充分性：因为m2，所以，所以m240，方程方程x2mx10有实根有实根.设设x2mx10的两个实根为的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知由根与系数的关系知x1x210.所以所以x1、x2同号同号.又因为又因为x1x2m2，所以所以x1、x2同为负根同为负根.(2)必要性：因为必要性：因为x2mx10的两个实根的两个实根x1、x2均为负，均为负，且且x1x21，所以所以m2(x1x2)2(x1 )2 ，所以，所以m2.综合综合(1)(2)知命题得证知命题得证.若关于若关于x的

17、方程的方程x2mx10有两个正实根，求有两个正实根，求m的取的取值范围？值范围？即即m2.即即m的取值范围为的取值范围为m|m2.解：解：方程方程x2mx10有两个正实根，有两个正实根，有关充要条件的题目在各省市的高考题中有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系直接考查条件和结论之间的充要关系”另一类题目，考查角度比较独特，如另一类题目，考查角度比较独特，如(2008 全国卷全国卷)平面内的一个四边形为平行四平

18、面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：体的两个充要条件：充要条件充要条件 ；充要条件充要条件 .这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考查考生的综合能力，在查考生的综合能力，在2009年的福建高考试题中也有年的福建高考试题中也有体现体现.考题印证考题印证 (2009福建高考福建高考)设设m，n是平面是平面内的两条不同直线；内的两条不同直线；l1，l2是平面是平面内的两条相交直线

19、，则内的两条相交直线，则的一个充分而不必要的一个充分而不必要条件是条件是 ()A.m且且l1B.ml1且且nl2C.m且且n D.m且且nl2【解析解析】ml1，且，且nl2，又，又l1与与l2是平面是平面内的两条相内的两条相交直线，交直线，而当，而当时不一定推出时不一定推出ml1且且nl2.【答案答案】B 自主体验自主体验 函数函数f(x)ax3 ax22ax2a1的图象经过四个的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是象限的一个充分但不必要条件是 ()A.a B.1a C.a D.2a0解析：解析：f(x)a(x2)(x1)，函数函数f(x)在在x2和和x1处取得极值，如图所示，处取得极值

20、，如图所示，要函数要函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是的图象经过四个象限的充要条件是f(2)f(1)0，解之得解之得 a .在四个选项中只有在四个选项中只有(1，)(，).答案：答案：B1.若条件若条件p：|x1|4，条件，条件q：x25x6则则 p”是是“q”的的 ()A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件解析：解析：p：5x3，则，则 p：x5或或x3；q：2x3，则，则 q：x2或或x3，p是是 q的的充分不必要条件充分不必要条件.答案：答案：A2.命题命题“若若x21，则，则1x1”的

21、逆否命题是的逆否命题是 ()A.若若x21，则，则x1或或x1 B.若若1x1，则，则x21 C.若若x1或或x1，则，则x21 D.若若x1或或x1，则，则x21解析：解析：若原命题是：若若原命题是：若p则则q，则逆否命题为若，则逆否命题为若 q，则，则 p，故此命题的逆否命题为：，故此命题的逆否命题为：若若|x|1，则，则x21，即若，即若x1或或x1，则，则x21.答案：答案：D3.(2010平顶山模拟平顶山模拟)命题命题“若方程若方程x2a0无实根，则无实根，则a0”其中原命题、逆命题、否命题、逆命题中，正确的个数有其中原命题、逆命题、否命题、逆命题中，正确的个数有 ()A.1个个 B

22、.2个个 C.3个个 D.4个个解析：解析：若方程若方程x2a0无实根，则无实根，则a0.(真命题真命题)逆命题：若逆命题：若a0，则方程，则方程x2a0无实根无实根.(假命题假命题)否命题：若方程否命题：若方程x2a0有实根，则有实根，则a0.(假命题假命题)逆否命题：若逆否命题：若a0，则方程，则方程x2a0有实根有实根.(真命题真命题)答案：答案：B4.用用“充分条件、必要条件、充要条件充分条件、必要条件、充要条件”填空：填空：(1)“ab0且且ab0”是是“a0且且b0”的的；(2)“x1”是是“1”的的；(3)“x2”是是“x27x100”的的.解析：解析：(1)ab0且且ab0，a

23、，b同号且都是负数同号且都是负数.即即ab0且且ab0a0且且b0.又又a0且且b0，ab0，ab0，即即a0且且b0ab0且且ab0，“ab0且且ab0”是是“a0且且b0”的充要条件的充要条件.(2)x1时，时，1成立，即成立，即x1 1，又又 1时，时，x未必大于未必大于1(如如x3)，即即 1 x1，“x1”是是“1”的充分条件的充分条件.(3)当当x2时，时，x27x10414100，x2x27x100；当当x27x100时，则时，则x12，x25，x27x100 x2，“x2”是是“x27x100”的充分条件的充分条件.答案：答案：(1)充要条件充要条件(2)充分条件充分条件(3)

24、充分条件充分条件5.有三个命题：有三个命题：(1)“若方程若方程ax210有一个负根，则有一个负根，则a0”的的 逆命题；逆命题；(2)“若若ab，则，则a2b2”的逆否命题；的逆否命题；(3)“若若x3，则，则x2x60”的否命题的否命题.其中真命题的个数为其中真命题的个数为.解析：解析：(1)真；真；(2)原命题假，所以逆否命题也假；原命题假，所以逆否命题也假；(3)易判断易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假原命题的逆命题假，则原命题的否命题假.答案：答案：16.设命题设命题p：f(x)loga|x|在在(0，)上单调递增；上单调递增；q：关：关 于于x 的方程的方程x22xloga 0的解集只有一个子集，在的解集只有一个子集，在 pq为真，为真，p q也为真，求实数也为真，求实数a的取值范围的取值范围.解：解：命题命题p：f(x)loga|x|在在(0，)上单调递增，故上单调递增，故a1，命题命题q：方程的解集只有一个子集即方程无解，：方程的解集只有一个子集即方程无解，44loga 0即即loga 1，当当a1时，时，1a ，当，当0a1时，时，a 舍去舍去.由由pq为真，为真，p q也为真，知也为真，知p、q必为一真一假，必为一真一假，当当p真真q假时，即假时，即 或或当当p假假q真时，即真时，即 无解无解.综上，实数综上，实数a的取值范围为的取值范围为a .