03第一章第3节函数的极限ppt课件

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1、1函数的极限第三节一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数与极限关系：三、函数与极限关系：四、小结及作业四、小结及作业2.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限3.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”?,0sin)(xxxfx时时，当当数学上：数学上：可任意小，可任意小，充分大时，充分大时，当当0)(xfx也也就就是是说说：充充分分大大即即可可，充充分分小小，

2、只只要要要要使使xxf0)(（无论多么小），（无论多么小），即即0 充充分分大大即即可可办办到到，只只要要要要使使xxf,0)(多大就能办到？多大就能办到？x4xxxxf1sin0)(即可，即可，即即只要只要 1,1xx,1 X若若取取.0)(xfXx时时，恒恒有有则则当当综上可知：综上可知：,0sin)(xxxfx时，时，当当.0)(,0 xfXxX恒恒有有时时使使当当,0 5:.1语语言言）定定义义（X.,)(Axf恒恒有有，大于某一正数时有意义大于某一正数时有意义当当设设xxf)(,0（无无论论多多么么小小）,.,0时时使使当当总总XxX时时的的极极限限，当当叫叫做做则则称称常常数数xx

3、fA)(Axfx)(lim记记作作.)()(xAxf当或或几何解释几何解释:,)()(AxfAAxf6xxysin X XA时，时，当，当不唯一不唯一可找到可找到XxXX)(0)(,0 内。内。的值就落在的值就落在),()(AAxf.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当AyxfyXxXx7:.10情情形形 x.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形另两种情形:Axfx)(lim:定理定理.)

4、(lim)(limAxfAxfxx 且且8例例1.23235lim33xxx证证明明证证:,0 ,331）（取取 X恒恒有有时时则则当当,Xx,2323533 xx要使要使.23235lim33xxx故故333332523235xxxx,33 x只只要要即可，即可，也就是也就是31)3(x,2323533 xx9二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A,数数学学上上如如何何描描述述？;6)(1,15)(xfxxxf时，时，当当例例数学上：数学上：,06)(01xfx时时，当当也

5、就是说：也就是说：也任意小，也任意小，任意小时，任意小时，当当6)(1xfx（无论多么小），（无论多么小），即即0,6)(xf要要使使任意小即可，任意小即可，只要只要1x10.6)(,10,0 xfx恒恒有有时时使使当当156156)(xxxf即可，即可，只要只要要使要使516 xxf,)(，取取5 .6)(10 xfx时时，恒恒有有当当6)(1,15)(xfxxxf时，时，当当,0 由此知由此知11:.1 定义定义语言）语言）(为为一一常常数数，点点某某去去心心邻邻域域内内有有定定义义在在设设Axxf0)(,0 恒恒有有时时使使当当总总,0,00 xx.)(Axf的的极极限限，当当叫叫做做则

6、则称称0)(xxxfA为为极极限限。以以时时或或当当Axfxx)(,0Axfxx)(lim0记记作作)()(0 xxAxf或或12、几点说明：、几点说明：2点有无定义无关；点有无定义无关；在在）函数的极限与）函数的极限与（0)(1xxf有关；有关；与与）（2接近的程度，接近的程度，和和表示表示）（Axf)(3 接近的程度；接近的程度；与与表示表示0 xx 的方式是任意的；的方式是任意的；）（04xx(5).几何意义几何意义:,)()(AxfAAxf)(00000 xxxxxxx 13)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形

7、完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx定义可叙述为：定义可叙述为：,0)(0 ，总存在，总存在无论多么小无论多么小),(),(000 xxxxx).,()(AAxf就就有有只只要要14例例2.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,时时当当 10 x函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就就有有.211lim21 xxx15例例3.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf ,0 任给任给 取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,

8、0 xx就就有有,00 xxx .不不取取负负值值且且只只要要xxxx 00.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明,0 要证要证,时时当当 00 xx时时，且且即即当当000 xxxxx ,0 xx有有,min 00 xx16三、左右极限三、左右极限:例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0从从左左侧侧无无限限趋趋近近x;0 x记记作作,0从右侧无限趋近从右侧无限趋近x;0 x记作记作yox1xy 112 xy17左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)

9、(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)()(lim00AxfAxfxx或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx或或记记作作语言：语言：语言：语言：18.)()()(lim:000AxfxfAxfxx定定理理说明：说明：有一个不存在，有一个不存在，及及）如果）如果（)()(100 xfxf均无极限。均无极限。在点在点但不相等，则但不相等，则0)(xxf或者即使存在或者即使存在。是否存在较好方法之一是否存在较好方法之一）左右极限是判别极限）左右极限是判别极限（219例例4.4.设函数设函数0,10,00,1)(xxxxxxf存存在在性性。讨讨论论)(lim0 xfx解解：)(

10、lim0 xfx)1(lim0 xx1)(lim0 xfx)1(lim0 xx1显然,)0()0(ff不存在。不存在。)(lim0 xfx20).(lim1,210,)(512xfxxxxxfx考虑考虑例例解解：)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx1,)1()1(ff.)(lim11xfx即即21时时的的极极限限。当当讨讨论论例例22)(6xxxf解解：)(lim2xfx2lim2xx0不不存存在在，)(lim2xfx不存在。不存在。)(lim2xfx22四四 函数极限的性质函数极限的性质与收敛数列的性质类似，函数极限有相应的一些性质与收敛数列的性质类似，函

11、数极限有相应的一些性质.定理定理1 1唯一性假如唯一性假如)(lim0 xfxx存在，则极限唯一存在，则极限唯一.,)(lim0Axfxx0M0 x00 xx)(xf.|)(|Mxf定理定理2 2局部有界性假如局部有界性假如那么存在常数那么存在常数和和，使得当，使得当满足不等式满足不等式时，对应的函数值时，对应的函数值都满足不等式都满足不等式.证明 因为因为,)(lim0Axfxx所以不妨取所以不妨取,1则存在则存在 0当 00 xx时，有时，有1|)(|Axf所以所以AAxfAAxfxf)()()(A1记记AM1则当则当00 xx时，有时，有Mxf|)(|23).0)(0)(,),(,0),

12、0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若 定理定理3(3(保号性保号性)证证,)(lim0Axfxx,0),(0 xx当当),(0 x,)(AxfA有有,02AA 取取若若则在对应的邻域),(0 x上，02)(Axf如何证明？如何证明？如果如果,0A24推论推论:),0)(0)(0 xfxfx或或某某领领域域内内如如果果在在,)(lim0Axfxx且且).0(0AA或或则则反证法反证法证明：证明：问题问题:0)(xf?0)(lim0Axfxx如果函数如果函数，那么不一定不一定如如,0,10,)(2xxxxf那么那么,0)(xf但是但是.0lim)(lim

13、200 xxfxx250,)(lim0AAxfxx且0 x00 xx2|)(|Axf定理定理4 4 假如假如，那么必存在着存在，那么必存在着存在，当，当满足不等式满足不等式时，有时，有.,)(lim0Axfxx证明证明取,2|A那么,0，当当|00 xx时，有时，有,2|)(|AAxf即 2|)(2|AAxfAA当0A时，则有时，则有23)(20AxfA当当0A时，则有时，则有 02)(23AxfA从而从而 2|)(|Axf考虑考虑 结论能否改成结论能否改成?4|)(|Axf26 xfxx0limnx xf0 xNnxxn0)(nxf xfxfxxnn0limlim定理定理5 5（函数极限与数

14、列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）如果极限如果极限存在，存在，为函数为函数的定义域内任一收敛于的定义域内任一收敛于的数列，且满足：的数列，且满足：，那么相应的函数值数列，那么相应的函数值数列必收敛，且必收敛，且.272731P习题习题作业作业,4),2)(1(3),2)(1(2),2)(1(1A组组B组组3,228.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限29.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限30.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限31.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限32.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限33.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限34.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限35.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限36.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限