2016年湖南省中学数学教师解题比赛初中组初赛试卷1(1)

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1、2016年湖南省中学数学教师解题比赛初中组初赛试卷一、选择题（下列各题四个选项中只有一个正确答案，请将正确答案的选项填在括号内.每小题5分，共40分.）1.已知一元二次方程的两根为、，则的值为（ C ）A B C D【分析】本题考查韦达定理与代数式的恒等变换（或方程根的定义）方法一：由韦达定理知：，； .方法二： 、是一元二次方程的两根，则，.2.设，则的值为（ A ）A B C D【分析】本题考查代数式的恒等变换与整体代入方法一：由条件知，则. ，则.， .方法二：， ， .同理，则.3.如图，在中，点、在边上，且，则的读书为（ A ）A B C D【分析】本题考查基本图形的性质与角度的有关

2、计算方法一：，是直角三角形.， .， ，.， . .方法二：几何问题代数化由得图中有三个等腰三角形则，解得. .4.已知，求的值为（ B ）A B C D【分析】本题考查解分式方程组（轮换）与分式的求值，渗透整体代入思想方法方法一：把三个分式方程去分母整理为整式方程： ， （1）；， （2）；， （3）；得（4）；得（5）；得（6）；得（7）；得； 得； 于是可设，；于是，整理得；解得，（舍）. .方法二：令 ， ； 则.， ； 则.， ； 则. .5.甲乙丙丁4人玩传球游戏，持球者将球等可能的传给其他3人，若球首先从甲传出，经过3次传球，则球恰好回到甲手中的概率为（ C ）A B C D【分

3、析】本题考查画树状图求等可能随机事件的概率方法一：由树状图可知，3次传球共有27种等可能的结果，其中球恰好回到甲手中有6终结果，则所求概率为.方法二：第一次传球后球在甲手中的概率为，第二次传球后球在甲手中的概率为，则球不在甲手中的概率为，第三次传球后球在甲手中的概率为.6.已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和，与的正半轴没有交点，则、之间的关系正确的是（ D ）A B C D【分析】本题考查数形结合的数学思想方法一：由题意可知该二次函数的图象的开口向上，则，然后写出交点式为，将之化为一般式，则， .方法二：可用排除法 二次函数图象与轴交点有两个交点， 则选项A错； 二次函数的对称轴在轴的

4、右侧，、异号；又二次函数的图象与的正半轴没有交点，则，故，则选项B错；画出二次函数的图象可知当时，则选项C错，所以选D.7.如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则的长为（ B ）A B C D【分析】本题考查轴对称（翻折）方法一：由条件可知，四边形是矩形，易证，则.在中，由勾股定理得.方法二：由条件可知，四边形是矩形，在中，由勾股定理得.易证，.则， ， ，解得，.则.8. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ D ）A B C D【分析】本题考查数形结合的数学思想，也可用排除法或换元法求解方法一：排除法令，则原方程变为，整理得解得，经检验不是方程的解，从

5、而排除选项A、B令，则原方程变为，整理得解得，经检验是方程的解，从而排除选项C，则选D方法二：换元法令 （则原方程化为，即， ，则 方法三：数形结合令，则，画出图象是以原点为圆心，为半径的上半圆，作直线与半圆要有交点，则二、填空题（请将正确答案写在横线上.每小题6分，共30分.）9. 已知关于的不等式组的整数解只有5个，则实数的取值范围为_.【分析】本题考查解含参不等式组，通过数轴确定整数解的个数，从而得到关于的不等式组，解之即可解关于的不等式组得，画数轴可知，解得.10.在函数的图象上任取一点，以为圆心，为半径的圆与坐标轴分别交于、两点，则_.【分析】本题考查反比例函数的几何意义与垂径定理方

6、法一：如图，过作轴于点，作轴于点.则. ， 是的直径. 轴， ； .同理 . 。 .方法二：特殊值法不妨取点，易算出，则.11.方程的解集为_.【分析】本题考查解绝对值的方程，渗透函数思想，可用零点分段讨论或绝对值的几何意义求解方法一：零点分段讨论或或解得.方法二：绝对值的几何意义表示在数轴上到的距离，表示在数轴上到的距离， ，.方法三：数形结合令，则（此时也可得到答案）画出与的函数图象(如图)由图象可知当时，.12.如图，在等边中，点在上，把沿直线对折，使点恰好落在点，则_.【分析】本题考查轴对称的性质，一线三等角模型以及相似三角形的性质，是一道好题由，可设， 则由轴对称的性质可知，则同理由

7、一线三等角可证， ， 则 .13.已知、均为正整数，且，则_.【分析】本题考查换元法、平方差公式以及质数的性质（是一道陈题）由已知可设，均为正整数）.， ，则. 为质数， 且，解得，. .三、解答题（请将解答过程写在题后空白处、每小题20分，共80分、）14.已知二次函数的图象关于轴对称，一次函数的图象与的图象只有一个交点.（）证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的值均成立；（）若二次函数的图象经过点，且在实数范围内对于的同一个值，这三个函数所对应的值均成立，求的解析式.（）证明：二次函数的图象关于轴对称， ，解得，则. 一次函数的图象与的图象只有一个交点， 有两个相等的实数根

8、.整理得 .由，解得，此时.则这两个函数唯一的交点坐标为，.（恒成立）， ，即. 在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的值均成立；（）当时，由对于的同一个值均成立，则一定经过点，. 二次函数的图象经过点， 可设，即. 恒成立， 恒成立，则（恒成立）.且，解得. ， ，即.当 恒成立时，同理解得.的解析式为.15.如图所示，在正方形中，点、分别在边、上（不与端点重合），且，过点作，垂足为.（）求；（）若，为中点，求四边形的面积.方法一：几何法（）由已知易得易证，则由，可得，于是，则，从而得到.方法二：解析法建系如图不妨设正方形的边长为，则，.易求为.由可得为.从而可解得点坐标为， .可

9、求，.则，可得.从而得到.（）方法一：如图作好相关辅助线由已知条件可得（相似或等积法），于是, ，.（）方法二：连接由已知结合（）的结论可得，易求，.（）方法三：解析法由已知条件且结合（）中的解析法知，易求四边形的面积为.16.已知三角形的三边长均为整数，周长为.（）若最大边长比最小边长的倍多，求满足条件的三角形的个数；（）是否存在面积为的直角三角形？若存在，求出其三边长；若不存在，请说明理由.解：不妨设三角形三边为、（单位：）， 满足且、为整数.（）由已知可得，由，解得为整数， 整数、共个.满足条件的三角形的个数有个.（）存在，理由如下.由已知条件可得(1),(2),(3) .由(1)得,

10、即.把(2)(3)代入得. , , , , . 直角三角形的三边长分别为、.17.如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴的垂线，垂足为，. 抛物线 经过、两点，且点关于直线的对称点为，以为直径作.（）求圆心的坐标；（）过原点作的切线（点与点不重合），抛物线上是否存在点，使得以为直径的圆与相切？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.（）解：连接、过点作轴于点.令，则. ，.则.点关于直线的对称点为， ，. （“”解题法）.在中，可设， 则.解得，于是，. 点的坐标为，.为的直径， 圆心的坐标为，.（）抛物线上存在点，使得以为直径的圆与相切，理由如下： 抛物线 经过，、，两点， 抛物线. 与都是的切线， 点与点关于对称. 的坐标为， 为. 为.由 得，即与的交点坐标为，.，为的中点， ，. 。 为. ，当直线与抛物线的交点为时，以为直径的圆必与相切.由，解得 .点的横坐标为或.9