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1、返回第九节第九节 连续函数的运算与连续函数的运算与 初等函数的连续性初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结返回一、连续函数的和、积及商的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在
2、其定义域内连续故故xxxx.连连续续三三角角函函数数在在其其定定义义域域内内即即返回二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy.1,1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1,1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.返回定理定理3 3).(
3、lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(.2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 返回例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求.1)1ln(1lim0 xxx 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若定理定理3 3xxx10)1ln(lim 定理定理3返回例例2 2.1lim0 xaxx 求求解解2xa
4、xxlnlim0.lna)1(xex.1lim1limln0ln0 xexeaxxaxx 原式原式返回.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况.例如例如,),0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.),0()0,(1sin内内连连续续在在 xy返回三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
5、连续的连续的.)1,0(aaayx指指数数函函数数;),(内内单单调调且且连连续续在在 )1,0(log aaxya对对数数函函数数;),0(内内单单调调且且连连续续在在 定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.返回 xy xaalog ,uay .log xua ,),0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论(可以证明，幂函数均在其定义域内连续可以证明，幂函数均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其定义区间内都是连一切初等函数在其定义区间内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.返回 xy xaa
6、log ,uay .log xua ,),0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论(均在其定义域内连续均在其定义域内连续),0 时时有有定定义义在在设设若若 xxy .复复合合而而成成的的与与是是由由故故xttyxyu .0 时时连连续续在在 xxy ttxytxt)1()()0(，得得令令返回1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,1cos xy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy,1,0:xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.),1上连续
7、上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法.返回例例3 3.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20.0)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx型型00返回:)()(的的几几个个结结果果关关于于幂幂指指函函数数xgxf,)(lim,0)(lim00BxgAxfxxxx 设设则则.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx )(ln)()(0
8、0lim)(limxfxgxxxgxxexf 证证)(limln)(lim00 xfxgxxxxe BA)(ln)(lim0 xfxgxxe BAeln 例例1 1.)21(limsin30 xxx 求求解解xxxsin30)21(lim xxxxxsin32210)21(lim 6e 返回例例2 2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim,0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 返回331010)1sin1tan1(1 li
9、m)sin1tan1(limxxxxxxxx 310sin1sintan1 limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原原式式返回四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.返回一一、填填空空题题：1
10、 1、43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、xxx11lim0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、)2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.5 5、tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6 6、设设,0,0,)(xxaxexfx 当当 a_ _ _ _ _ _时时，)(xf在在 ),(上上连连续续 .练练 习习 题题返回7 7、函数函数61)(24 xxxxxf
11、的连续区间为的连续区间为 _._.8 8、设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_;)(lim1xfx_._.二、二、计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim；2 2、xxxcot20)tan31(lim；3 3、1)1232(lim xxxx；返回三、三、设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值.四、四、设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0(f,已知已知)()(xfxg，试证函数，试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续.返回一一、1 1、2 2；2 2、21；3 3、0 0；4 4、0 0；5 5、)11(212 e；6 6、1 1；7 7、),2(),2,3(),3,(；8 8、22,0 0,不不存存在在.二二、1 1、acos；2 2、1 1；3 3；21e.三三、eba ,1.练习题答案练习题答案
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