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1、福建省泉州科技中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有A. 24种B. 12种C. 9种D. 3种2.已知，则A. 0B. C. D. 13.函数的单调递增区间是 A. B. C. ，D. 4.已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. 17D. 305.函数的图象大致为A. B. C. D. 6.函数在内存在极值点，则A. B. C. 或D. 或7.定义在R上的函数，若，则比较a，b，c的大小关系为A. B. C. D.
2、A. 函数有两个不同零点 B. 在区间单调递增，在区间递减C. 函数的极值点是 D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题是A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零10.若函数与图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为 A. 2 B. 0 C. 1D. 11.已知对于函数其中，选取的一组值计算和，所得出的结果可能是 A. 3和1 B. 2和4 C. 3和4D. 4和612已知不等式exx1对xR恒成立以下命题中真命题是()A对xR，不等式ex1x恒成立B对x(0，)，不等式ln
3、(x1)x恒成立C对x(0，)，且x1，不等式ln x恒成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法种数是_用数字作答14.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有_种15.函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 16.定义在R上的函数满足：，且当时，则不等式的解集为 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题10分）求下列函数的导数：； 18.（本小题12分）已知函数的图象经过点且在处，取得极值求：函数的解析式；的单调递增区间1
4、9.（本小题12分）已知函数若时，求在上的最大值和最小值；20. （本小题12分）已知函数，当_，从中选出一个作为条件时，必有_从中选出一个作为结论，写出命题并加以证明不等式的解集21.（本小题12分）已知函数，R讨论函数的单调区间；若对恒成立，求a的取值范围22.（本小题12分）已知函数，其中e为自然对数的底数若讨论的单调性；若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围已知，函数恰有两个不同的极值点，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单计数原理的应用，属于基础题利用分类加法计数原理直接求出答案即可【解答】解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为故选C2.【答案】D【解析
5、】【分析】本题考查函数求导，属于基础题先求得，再求出即可【解答】解：由题意，得，则，故选D3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题对函数求导，令导函数大于0，即可得到答案【解答】解：由题意，函数的定义域为R，对函数求导得：由，得，函数的单调递增区间是，故选D4.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属基础题利用导数的几何意义即可求解【解答】解：由曲线在点处的切线方程为，则，所以，故选A5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的选择，属于中档题从函数的奇偶性单调性入手，结合排除法选择选项是关键【解答】解：因为函数是偶函数，所以可以排除B
6、选项，又因为函数的导函数为：，若若，所以当时，即在y轴右侧单调递增，故排除C，D选项故选A6.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数在研究函数极值方面的应用，属于中档题，转化为导函数等于零在内有解是关键【解答】解：，函数在内存在极值点，即在内有解，内有解，因为在为减函数，所以，即故选A7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，其导数，即函数为增函数，又由，则有，故选：C根据题意，由函数的解析式对其求导，分析可得函数为增函数，进而由对数的运算分析可得，结合函数的单调性即可得答案本题考查函数的单调性的判定以及函数单调性的应用，关键是利用函数的导8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数
7、的单调性和零点问题，属于中档题根据相关知识即可确定各选项的正误【解答】解：选项A：由得：，所以函数只有一个零点0，故A错误；选项B：由解得：，且所以函数在上单调递减，在单调递增，故B错误；选项C：函数的极值点指的是函数的自变量的取值，不是一个点，故C错误；选项D：函数在单调递增，所以因为，所以，即，故D正确故选D9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值的应用根据的导函数图像即可求解【解答】解：是函数的极值点，故A正确， B.不是函数的最小值点，故B错误C.在区间上单调递增，故 C正确，D.在处切线的斜率大于零，故D错误故选A
8、C10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数零点的个数问题，属于中档题结合图象，由函数与的图象恰有一个公共点，当时刚好满足，当只需要直线是的切线，且切点为，然后利用导数的几何意义即可求解【解答】解：与恒过定点，如图：，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，实数a可能取值为0，1，故选BCD11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查推理能力和计算能力，属于基础题利用为偶数即可求解【解答】解：设，因为所以为奇函数则，为偶数故选ABD12.答案BCD解析由exx1对xR恒成立，结合对称性可知，
9、对xR，不等式ex1x恒成立，故A不正确；由exx1，且x(0，)，两边取对数，得xln(x1)，即ln(x1)0，当x(1，)时，f(x)0，f (x)maxf (1)0，则ln xx10，即ln x等价于，若x(0,1)，则0，g(x)在(0,1)上为增函数，则g(x)g(1)0，即ln x，令g(x)ln x，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数，则g(x)g(1)0，即ln x.不等式恒成立D正确故选ABCD.13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查分步乘法原理及其应用，考查学生推理能力，属于基础题首先第一步先从4幅画中选2幅，第二步，在将选出的2幅画放在左、右两边墙上，利用
10、分步乘法原理得到答案【解答】解：第一步先从4幅画中选2幅共有中选法第二步，在将选出的2幅画放在左、右两边墙上有2种方法；所以根据分步乘法原理不同的挂法为故答案为：1214.【答案】3【解析】解：，当时，有极大值3，故答案为：3求导函数，利用当时，有极大值3，求出a，b的值，即可得出结论本题考查导数知识的应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题15.【答案】480【解析】【分析】本题考查了两个计数原理的综合应用，属于基础题根据题意分情况讨论，再相加即可【解答】解：用四种颜色涂A，B，C，D种数有；用三种颜色涂AD，B，C种数有，则共有种故答案为48016.【答案】本题考查函数单调性的
11、应用，涉及利用导数判断函数的单调性，关键是构造，并分析函数的奇偶性、单调性，考查了分析和转化能力，属于中档题根据题意，令，分析可得为奇函数且在R上为减函数，然后将不等式进行转化即可求解解：根据题意，令，若，变形有，即，故为奇函数，由，则，又当时，则时，恒成立，即在上为减函数，又由为奇函数，则在上也为减函数，因为当时，则，综上所述为R上的减函数，则不等式，即，所以，即，则有，解得，故不等式的解集为故答案为17.【答案】解：根据题意，则，根据题意，则【解析】根据题意，由导数的计算公式计算可得答案本题考查导数的计算，关键掌握导数的计算公式，属于基础题18.【答案】解：由的图象过点得，又，由得，由得或
12、，的单调递增区间为，【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于较易题目由的图象过点得，结合，求解即可通过，求解的单调递增区间即可19.【答案】解：时，令，则或，在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为，最小值为在时，可得在上恒成立，只要求在的最小值即可，而恒成立，在上为增函数，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数的最值，属于中档题目将代入，求出的导数，得出的单调性，求出的最值即可；由题意可得在上恒成立，分类参数a，转化为在上恒成立，求出在上的最小值即可20.【答案】解：若选，当时，的定义域为，所以当时，单调递减；当时，单调递
13、增，所以的最小值为，所以；若选，当时，的定义域为，则恒成立，所以单调递减，所以不等式得，所以，解得，即不等式的解集为【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，分选和两种情况，利用导数研究单调性即可得证21.【答案】解：，当时，在R上单调递增；当时，令，得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；设，即对恒成立，令，对恒成立，在上单调递增，当，即时，在上单调递增，又，当，即时，则存在唯一的使，当时，当时，即时，单调递减，时，单调递增，故，解得，又，而在上单调递增，解得综上，实数a的取值范围为22.【答案】解：，当时，函数在上递减；当时，令，解得；令，解得，函数在递减，在递增；综上，当时，函数在
14、上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；由知，若，函数在上单调递减，不可能有两个不同的零点，故；且当时，；当时，；故要使函数有两个不同的零点，只需，即，又函数在上为增函数，且，故的解集为故实数a的取值范围为；证明：，依题意，两式相减得，要证，即证，即证，两边同除以，即证，令，即证，令，则，令，则，当时，在上递减，在上递减，即，故【解析】求出并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；显然，分析可知只需的最小值小于0即可满足条件，进而得解；依题意，将所证不等式转化为证明，再通过换元构造新函数即可得证本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查极值点偏移问题，考查转化思想，换元思想及化简运算能力，逻辑推理能力，属于中档题
福建省泉州科技中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题
