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1、课后限时集训(十八)导数的概念及运算建议用时：40分钟一、选择题1(多选)若函数f(x)的导函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cos xBf(x)x3xCf(x)xDf(x)exxBC根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)3sin x，为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意对于B，f(x)3x21，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意对于C，f(x)1，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意对于D，f(x)ex1，不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意2已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()A.BC.D2C因为f(
2、x)f(1)2xln 22x，所以f(1)f(1)2ln 22，解得f(1)，所以f(x)2xln 22x，所以f(2)22ln 222.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末B1秒末和2秒末C4秒末D2秒末和4秒末Ds(t)t26t8，由导数的定义可知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.4若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在x0处有公切线，则ab()A1B0 C1D2C由题意得f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0.又f(0)g
3、(0)，即a1，ab1.5(2020重庆八中月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)6002，则铯137含量M在t30时的瞬间变化率为()A10ln 2(太贝克/年)B300ln 2(太贝克/年)C300ln 2(太贝克/年)D300(太贝克/年)A依题意，M(t)6002，M(t)6002ln 2202ln 2，铯137含量M在t30时的瞬间变化率为M(30)2021ln 210ln 2(太贝克/年)，故选A.6(2020合肥模拟)已知函数
4、f(x)xln x，若直线l过点(0，e)，且与曲线yf(x)相切，则直线l的斜率为()A2B2 CeDeB函数f(x)xln x的导数为f(x)ln x1，设切点为(m，n)，可得切线的斜率k1ln m，则1ln m，解得me，故k1ln e2.二、填空题7已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 020)6，则f(2 020)_.8因为f(x)4ax3bsin x7，所以f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 020)6，所以f(2 020)1468.8(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_
5、y2x设切点坐标为(x0，ln x0x01)由题意得y1，则该切线的斜率k12，解得x01，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y22(x1)，即y2x.9设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为_(1，1)或(1,1)由题意知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1,1)三、解答题10已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最
6、小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.11已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2
7、)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.1(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xexAB对于A：f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，x，f(x)0，f(x)在上是凸函数，故A正确对于B：f(x)2，f(x)0，故f(x)在上是凸函数，
8、故B正确；对于C：f(x)3x22，f(x)6x0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误故选AB.2若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_(，0)由题意知，f(x)的定义域(0，)，f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)3已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)若曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切
9、点坐标与切线的方程解(1)因为f(x)3x21，所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13.所以所求的切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又因为直线l过点(0,0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，直线l的斜率k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，所以切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18，即y4x18或y4x14.
2022版高考数学一轮复习课后限时集训18导数的概念及运算含解析
