大学物理第一章机械振动

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1、第四部分 振动、波动和波动光学第1章 机械振动一基本要求1掌握简谐振动的定义和特征，以及描述简谐振动的三个特征量：振幅、圆频率和初相位，学会简谐振动的判断方法。2掌握简谐振动的三种描述方法解析法、曲线法以及旋转矢量法，并能从这些描述中确定简谐振动的特征量，能用旋转矢量法分析有关问题。3了解简谐振动的能量特点。4掌握两个同方向、同频率简谐振动的合成，能计算合成振动的振幅和初相位。5理解两个同方向、不同频率简谐振动的合成，了解“拍”的定义。6了解受迫振动和共振。7了解非线性振动的基本概念。二内容提要和学习指导（一）简谐振动的定义（简谐振动的判据）1简谐振动的运动学定义：物体离开平衡位置的位移满足2

2、简谐振动的动力学定义：物体受到的合外力满足 （k常数）3用运动微分方程定义：由这一定义可以推广简谐振动的概念：一个物理量（可以是力学量、电学量、磁学量等）如果满足上述微分方程，就可称物理量作简谐振动（二）简谐振动的三个特征量 1振幅：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，其值由振动的初始条件（即时物体的位移和速度）决定 ；2频率（圆频率、周期）：表征物体振动的快慢，由振动系统的固有性质决定，三者之间的关系为 相位（初相位）相位完备地描述质点的振动状态振动状态和相位之间一一对应，也就是说知道了任一时刻质点振动的相位，就知道了这一时刻质点的位置、速度和加速度关于这一点可从位移、速度和加速度的表达式中

3、看出：，；其中初相由初始条件决定。相位可用来比较两个同频率简谐振动的步调。设有两个简谐振动， ，则两者间的相位差与步调的关系为相位差步调步调一致（同相）步调相反（反相）振动2超前振动1振动2落后振动1（三）简谐振动的描述方法当采用某种方法描述简谐振动时，此方法必须能很好地体现简谐振动的三个特征量 图1.1 1解析法：2曲线法(曲线) 图1.2 如图1.1所示，x -t曲线的峰值表示振幅；运动状态完全相同的最邻近两点之间的时间间隔表示周期；t =0时，以及的正负可以确定初相位。3旋转矢量法表示方法如图1.2所示在旋转矢量法中很直观地体现了简谐振动的三个特征量：旋转矢量的模表示振幅A；任意t时刻，

4、旋转矢量与x轴的夹角表示t时刻的相位；旋转角速度表示圆频率注意：用旋转矢量法能够很方便地判断振动的相位，关于这一点将在习题解答与分析中加以说明，请务必掌握（四）简谐振动的能量特征1振子的动能 2振子的势能 3振子的总能 结论：振动系统的动能和势能是时间的周期函数，其周期为位移周期的一半。在振动过程中，系统的动能和势能相互转换：动能最大时，势能最小；动能最小时，势能最大在整个过程中系统的机械能守恒（五）简谐振动的合成同方向、同频率简谐振动的合成：，；合振动：（仍为简谐振动，且与分振动的频率相同）其中 ，；相位差合振幅为其他值时2同方向、不同频率简谐振动的合成 ， ，合振动： 合振动不是简谐振动；

5、 若，即，合振幅；合振动是振幅随时间缓变的准简谐振动拍振动拍频为 。3相互垂直的同频率简谐振动的合成 ， ，合运动的轨道方程：合运动的轨道：第1、3（2、4）象限内的直线合运动的轨道：第1、3象限顺（逆）时斜椭圆合运动的轨道：顺（逆）时针旋转正椭圆合运动的轨道：第2、4象限順（逆）时斜椭圆三习题解答和分析1.1举出几个振动的例子；振动和波在物理学中具有怎样的地位和作用？【答】挂钟摆锤的摆动，物体发声、与机械运转相伴的机座的运动，地震，晶体中原子的运动；交变电路中的电压、电流，交变电磁场中的电场强度、磁场强度。振动和波动是自然界一种十分普遍的运动形式，这些振动和波动的表现形式虽然不同，但具有普遍

6、的性质和规律，满足相同的微分方程，可以用统一的数学形式描述。因此，振动和波动在物理学中具有非常重要的地位和作用。1.2什么样的运动叫简谐振动？为什么说研究简谐振动是研究一切复杂振动的基础？【答】简谐振动的判据是：；或；或。一切复杂的振动都可以分解为不同频率的简谐振动的叠加。所以，研究简谐振动是研究一切复杂振动的基础。1.3简谐振动的三个特征量是什么？它们各由什么条件决定？【答】简谐振动的三个特征量是：振幅，它由初始条件决定；频率（圆频率，周期），它由简振系统的自身性质决定；初相位，它由初始条件决定。1.4一小球与轻弹簧组成的系统，按的规律振动，式中t以秒为单位。求：（1）振动的圆频率w 、周期

7、T、振幅A和初位相j 0；（2）振动的速度和加速度；（3）t=0.1s、0.2s、0.3s时刻的相位。【解】（1）将题中所给的振动表达式与标准振动表达式比较可得：；。（2）；。（3），,或 ，,。【评注】由振动表达式求简谐振动特征量的基本方法总结如下：将所给的振动表达式写成标准形式，然后与标准振动表达式比较，直接读出： ；。1.5有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴做振幅为A的简谐振动，该振动的表达式用余弦函数表示若t=0时，球的运动状态分别为：（1）x0=A；（）过平衡位置向x轴正方向运动；（）过处，且向x负方向运动试用旋转矢量图法分别确定相应的初相位。【解】由旋转矢量图法确定的初相位如下图 【

8、评注】初相位的判定有两种方法，一种是解析法，另一种是旋转矢量法。一般情况下，旋转矢量法更简捷、明了。 题1.6图 1.6已知一个谐振子的振动曲线如图所示（1）写出振动表达式；（2）求a,b,c,d,e各状态所对应的相位。【解】（1）由振动曲线可知：振幅A=5.0cm；周期T=2. 4s，则圆频率 判定初相位：方法一：解析法设振动表达式为，由得：。，由得： 方法二：采用旋转矢量法在t=0时刻，振子在x=2.5cm处，且正向x轴正方向运动，由右边的旋转矢量图可得。由此可得振动的表达式为： 。（2）用与右图相似的旋转矢量图可得a、b、c、d、e的相位分别为：，。1.7一质点作简谐振动，频率为10赫，

9、在t0时，此质点的位移为10cm，速度为200cms。.写出此质点的（1）位移表示式；（2）速度表示式；（3）加速度表示式。【解】（1）由初始条件t=0，x0=10cm， v0=200cm/s，得振幅为： ，初相为： ，位移的表达式为：。（2）。（3）。【评注】用反三角函数关系式求角度时，应该把分子和分母中的“，”号原封不动地保留，由此可判定所求的角度在第几象限。1.8一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4s。当t=0时，位移y+24cm。试求：（1）在t0.5s时物体的位移；（2）当t=0.5s时振动物体所受力的大小和方向；（3）由起始位置运动到y12cm处所需的最少时间

10、；（4）在y12cm处物体的速度；（5）振动物体的总能量。【解】（1）由已知条件得：A=24， （rad/s）,。物体振动位移表达式为：。 当t=0.5s时，。(2)受力：，力指向y轴负方向。(3)由右边的矢量图可知，当t=0时，旋转矢量与y轴正向重合，当旋转矢量在y方向投形为-12cm时，旋转矢量转过的最小角度为，所以由起始位置运动到y=-12cm处所需最少时间为：。(4) 。或(5)振动物体的总能量1.9作简谐振动的弹簧振子，在平衡位置和最大位移时，其速度，加速度、动能、弹簧的弹性势能中哪几个为零？哪几个达到最大值？【答】在平衡位置处，速度、动能最大，加速度、弹性势能为零在最大位移处，加速

11、度、弹性势能最大，速度、动能为零 自然长时位置 平衡位置 平衡位置 振动位置 题1.10图 1.10一个劲度系数为k的轻弹簧，下端悬挂一质量为M的盘质量为m的重物从h高处落至盘中做完全非弹性碰撞，这时盘开始振动，求盘振动的表达式【解】由如图示位置分析示意图可得：，由此可知，系统作简谐振动，振动的圆频率为。设系统的振动表达式为。系统的初始条件为：初始位移，初始速度。由此初始条件可得：，（是第三象限的角）系统的振动表达式为【评注】由谐振子的动力学特征求解谐振子的振动，其一般方法总结如下：对振动系统进行受力分析；找出平衡位置，列出平衡方程；以平衡位置为原点建立坐标系；令系统偏离平衡位置（可以是位移、

12、角位移或其他振动的物理量），由牛顿第二定律或转动定律列出此时的动力学关系，并利用平衡方程进行化简；若化简结果是与它的二阶导数不成正比反向关系，则系统不可能作简谐振动。若化简结果是与它的二阶导数成正比反向关系，即（是由系统的动力学性质决定的常数，对不同的系统，的内含不同。对弹簧振子，），则系统作简谐振动，振动的圆频率为；设，由系统的初始条件求出和。 自然长位置 平衡位置 振动位置 题1.11图 1.11一劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m的小球，平衡时弹簧伸长为b。试证明小球在平衡位置附近作简谐振动。若振幅为A，则它的总能量为。【证明】（1）根据受力分析画出如图位置示意图。由图可得

13、：，所以，小球在平衡位置附近以圆频率作简谐振动（2）设动能：势能：总能量：。【评注】根据势能的定义和弹性力做功的积分式可知，若选择弹簧伸长（压缩）长度为时为弹性势能的零点，则弹性势能的表达式为；若以平衡位置为弹性势能和重力势能零点，则当振动系统偏离平衡位置为时，总的势能为，称为系统的振动势能。但是振动势能却不一定是弹性势能，它有三种可能：弹性势能（如水平放置的弹簧振子）；重力势能（如单摆）；弹性势能和重力势能之和（如竖直放置的弹簧振子）。1.12一轻弹簧下端悬挂质量为10g的小球，当达到平衡时弹簧的伸长量为4.9cm。将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予小球向上的初速度。利用上题的结论，

14、求小球作简谐振动的振幅以及小球在平衡位置的速度。【解】弹簧的弹性系数为：结合上题，由本题题意可得，小球在振动的过程中机械能守恒：；。 题1.13图 1.13分别将劲度系数为k1和k2的两根轻质弹簧串联和并联，竖直悬挂，下端系一质量为m的物体，试分别求出在串联和并联时系统的振动周期。【解】两个串联或并联的弹簧可以看作一个新弹簧，只要求出这个新弹簧的等效劲度系数，就可根据5.10题的分析，直接写出系统的振动周期。（1）设两弹簧串联，当达到平衡时，和的伸长量分别为和，串联弹簧的总伸长量为，显然有：，（）设两弹簧并联，当达到平衡时，和的伸长量都为，并联弹簧的总伸长量也为，显然有：， 题1.14图 平衡

15、位置 振动位置 1.14质量为m=121g的水银装在U形管中，管截面积S=0.30cm2，若使两边水银面相差2y0，然后使水银面上下振动，求振动周期T水银的密度为13.6【解】方法一：受力分析法。显然U形管两边水银面相平时为平衡位置。管内水银总长度为，U形管底部宽度为，则平衡时两边水银面的高度为。设左边水银面由平衡位置向上升高，则：对于左边管中水银有 对于右边管中水银有 对于管中底部水银有 以上三式相加可得 水银面作简谐振动，振动的圆频率为，周期为。方法二：能量求导法。水银面作简谐振动，振动的圆频率为，周期为。【评注】由以上可知，当振动系统不能作为质点处理时，用能量求导法更简捷、明了。 题1.

16、15图 振动位置 平衡位置 1.15某液体的密度随深度线性地增加，液体表面的密度为，深度为D处的密度为，一密度为的小球在深度为处从静止释放。忽略液体的阻力，试求小球的振动表达式。【解】深度D处为小球的平衡位置，以此平衡位置为坐标原点建立如图坐标系设小球向上偏离平衡位置，此时 小球以圆频率作简谐振动。设：。初始条件为，小球的振动表达式为。 题1.16图1.16如图，两个完全相同的圆柱状滚轮在水平面内平行放置，各绕自身的轴按图示方向等角速转动，两轴线之间的距离为。在滚轮上平放一块重量为G的均匀木板，木板与滚轮之间的摩擦系数为。若木板重心偏离两轴中心位置一个微小的距离，试描述木板的运动。 【解】如图

17、所示，当板的重心位于两轮中间时，板平衡。设板的重心向左偏移，此时两轮对板的支撑力分别为和，由转动平衡可得：；。左轮作用在板上向右的摩擦力为，右轮作用在板上向左的摩擦力为。由此可得板在水平方向的动力学方程为。可见板在两轴中心位置附近以圆频率作简谐振动。 题1.17图1 1.17Newton曾证明：一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力不为零，并且其作用相当于球壳的质量都集中在球心那样设想沿地球直径开凿一条贯通地球直径的隧道，将小球从洞口由静止释放，试求小球到达隧道另一洞口所用的时间已知地球的半径为R，质量为M，设地球的质量均匀分布【解】（1）先证明Newton的结论。

18、设均匀球壳质量为、半径为，在球壳外距球心为处放置一个质量为的质点。现在推导与之间的引力势能。在球壳上坐标为处取质量元m与dm间势能沿球面积分。若质点位于球壳内，则上述积分结果为。因为保守力等于相应势能的负梯度：，所以质点所受到的万有引力为；Newton的结论得以证明。题1.17图2 （2）由上面的推导可知，一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力相当于球壳的质量都集中在球心那样因此，若设想沿地球直径开凿一条贯通地球直径的隧道，将小球从洞口由静止释放，小球的平衡位置在球心，当小球偏离平衡位置时，小球受到的万有引力为由此可得即小球以圆频率，以地球中心为平衡点，上下作简谐振

19、动。设。初始条件为，。q 题1.18图 小球到达另一端口的最短时间为。1.18细棒被两根长度均为L=120cm的轻绳所悬挂，棒作振幅甚小的扭转振动，且重心保持在一铅直线上，求系统的振动周期T。【解】设细棒的质量为，长度为，扭过的小角度为。轻绳的长度为,扭过的小角度为，绳中张力为。则：；，细棒所受的扭转力矩为，细棒绕着过中心的铅直轴的转动惯量为，由转动定律可得 。1.19某阻尼振动的振幅在一个周期后减为原来的，问此振动的周期较无阻尼存在时的周期T0大百分之几？【解】阻尼振动的表达式为，其中，所以，阻尼振动的周期为。由题意可知：。1.20一摆在空气中振动，某一时刻振幅A0=3cm，经过t1=10s

20、后，振幅变为A1=1cm。问：由振幅为A0时起，经过多长时间，振幅减为0.3cm？【解】根据，由题意可得：；。1.21沿轨道匀速行驶的火车，每经过一接轨处便受到一次震动，从而使车厢在弹簧上上下振动，设每段铁轨长12.5m，每节车厢的重量为55吨，弹簧每受1.0吨重力将压缩1.6mm，空气阻力可忽略。问：火车以什么速度行驶时，弹簧的振幅最大？【解】，。车厢和弹簧组成的振动系统的固有圆频率为；铁轨作用于系统上的策动力的圆频率为；当策动力的圆频率正好等于系统的固有圆频率时，系统发生共振，振幅最大。即。1.22有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一个振动的位相差为已知

21、第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二振动之间的位相差 题1.22图 【解】设，由如图示旋转矢量图可得： 。1.23试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得的合振动第一组： 第二组：【解】（1）（2）1.24三个同方向、同频率的简谐振动为： ； 题1.24图 。求（1）合振动的表达式；（2）合振动由初始位置运动到（A为合振动的振幅）所需的最短时间【解】（1）将、和画在右边的矢量图中。由图可知：； (2) 如图所示，当合振幅矢量在x轴的投形为时，转过的最小角度为，所以合振动由初始位置运动到所需的最短时间为1.25质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动：， 题1.25图 。式中x、y以米计，t以秒计。求：（1）运动的轨道方程，并在XOY平面内将合振动的轨迹画出；（2）质点在任一位置所受的力。【解】（1），质点的运动轨道方程为：。（2）。