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1、 高一数学必修五第三章第二节：一元二次不等式及其解法导学案学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。掌握一元二次不等式的解法及步骤。学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。知识链接：一元二次不等式的概念提出问题观察下列不等式：(1)x20；(2)x22x0；(3)x25x60.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：上述三个不等式在表
2、达形式上有何共同特点？提示：形如ax2bxc0(或0)，其中a，b，c为常数，且a0.导入新知1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 化解疑难1定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.2解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成
3、集合或区间的形式.一元二次不等式的解法提出问题已知：一元二次函数yx22x，一元二次方程x22x0，一元二次不等式x22x0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标提示：(0,0)、(2,0)问题2：一元二次方程根是什么？提示：x10，x22.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？提示：x2或x0.问题5：能否利用问题4得出不等式x22x0，x22x0的解集？提示：能，不等式的解集为x|x2或x0，x|0x2导入新知一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式b24ac000)的根有两
4、相异实根x1，x2，(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根二次函数yax2bxc (a0)的图象ax2bxc0(a0)的解集或xx2Rax2bxc0)的解集化解疑难一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因为724232
5、50，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x，或x3(2)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(3)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.类题通法解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，
6、使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集活学活用1解下列不等式：(1)x25x60；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程x25x60的两根为x11，x26.结合二次函数yx25x6的图象知，原不等式的解集为x|x6(2)原不等式可化为x27x60.解方程x27x60得，x11，x26.结合二次函数yx27x6的图象知，原不等式的解集为x|1x0.方程(x2)(x3)0两根为2和3.结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为x|x2(
7、4)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等价于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图象知，原不等式的解集为x|x.解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a，函数yx2(1a)xa的图象开口向上，则当a1时，原不等式解集为x|ax1；当a1时，原不等式解集为；当a1时，原不等式解集为x|1xa类题通法解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含
8、有参数，则应对两根的大小进行讨论活学活用2解关于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化为：(ax1)(x1)0，当a0时，x1，当a0时(x1)0x1.当a1时，x1，当1a0时，(x1)0，x或x1.当a1时，1，x1或x，综上原不等式的解集是：当a0时，x|x1；当a0时，；当a1时，x|x1；当1a0时，.当a1时，一元二次不等式与相应函数、方程的关系例3已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x2，求关于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集为x|1x2，1,2是x2axb0的两根由韦达定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1
9、)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集为(1，)类题通法1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc与x轴交点的横坐标2二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化活学活用3已知方程ax2bx20的两根为和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的两根为和2，由根与系数的关系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可变为2x23x10，即2x23
10、x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集为x|x1 达标检测1不等式x(2x)0的解集为()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0Dx|0x2解析：选D原不等式化为x(x2)0，故0x2.2已知集合Mx|x23x280，Nx|x2x60，则MN为()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3解析：选AMx|x23x280x|4x7，Nx|x2x60x|x2或x3，MNx|4x2或3x73二次函数yx24x3在y0时x的取值范围是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集为，则实数a_，实数b_.解析：由题意可知，2是方程a
11、x2bx20的两个根由根与系数的关系得解得a2，b3.答案：235解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线yx22x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.第二课时1如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？ 2判别式的值对一元二次不等式的解集有何影响？ 例1解下列不等式(1)0；(2)2.解(1)由0，此不等式等价于(x2)(x1)0，原不等式的解集为
12、x|x1(2)法一：移项得20，左边通分并化简有0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原不等式的解集为x|x1.解：(1)原不等式等价于即2x3.原不等式的解集为x|2x0，即0.等价于(3x2)(4x3)0.x.原不等式的解集为x|x.例2关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围解原不等式等价于mx2mxm10，对xR恒成立，当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得m0.综上，m的取值范围为m0.类题通法不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一
13、元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为的条件为活学活用2若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求实数a的取值范围解：当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围为.一元二次不等式的实际应用例3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个
14、百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)依题意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是x|0x2类题通法用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的
15、不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解活学活用3某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(8002x) m，宽为(6002x) m根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.典例已知f(x
16、)x22(a2)x4，如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；解由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22(a2)40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范围是a|0a4【探究一】解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围【探究二】若x2的系数为参数，应参考本节例2及变式的解法【探究三】对于xa，b，f(x)0(或0)恒成立
17、，应利用函数图象如：是否存在实数a，使得对任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由解若对任意，x3,1，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3,1，f(x)0恒成立【探究四】对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量如：已知函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立，试求x的取值范围解：原函数可化为g(a)2xax24x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数
18、x，使函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立达标检测1若集合Ax|12x13，Bx|0，则AB()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1解析：选BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4 B4a4Ca4或a4Da4或a4解析：选A依题意应有a2160，解得4a4，故选A.3不等式3的解集为_解析：3300x(2x1)0且x0x0或x.答案：4若函数f(x)log2(x22axa)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：已知函数定义域为R，即x22axa0对任意xR恒成立(2a)24a0.解得1a0.答案：(1,0)5你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x) m，且0x50.由题意，得围成矩形的面积Sx(50x)600，即x250x6000，解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形
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