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1、2013届高三数学半月考卷一、选择题（本大题共10小题，每题5分，满分50分）1、若，则“”是“”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要2、定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x0时, ,则函数的零点的个数为A.1 B.2 C.0 D.0或2【答案】C【解析】由，得，当时，即，函数此时单调递增。当时，即，函数此时单调递减。又，函数的零点个数等价为函数的零点个数。当时，当时，所以函数无零点，所以函数的零点个数为0个。选C.3、已知数列满足：，（），若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）A B C D4、变量x,y满足约束条件，则目标函数的取值范
2、围是（ ）A B C D5、设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6、在二项式的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且,则展开式中常数项的值为 （ ） A6 B9 C12 D187、已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得，即，那么正六棱柱的体积，令，则，由，解得，易知当时，正六棱柱的体积最大。8、已知为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点满足条件，则动点的轨迹一定通过的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】
3、C【解析】设线段BC的中点为D，则，即点一定在线段的垂直平分线上，即动点的轨迹一定通过的外心，选C.9、双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A B C Dm10、定义域为R的函数满足，当0，2)时，若时，恒成立，则实数t的取值范围是A、-2，0)(0，l) B、-2，0) l，+) C、-2，l D、(，-2 (0，l【答案】D 【解析】当，则，所以 ，当时，的对称轴为，当时，最小值为，当，当时，最小，最小值为，所以当时，函数的最小值为，即，所以，即，所以不等式等价于或，解得或，即的取值范围是，选D.二、填空题（每小题5分，共计25分）11、在直角坐标系上取两个定点,再取
4、两个动点,且.则直线与交点的轨迹的方程_；12、函数，函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是_13、已知M是内的一点（不含边界），且，若和的面积分别为x,y,z,记，则的最小值是 14、定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数是上的平均值函数，所以，即关于的方程，在内有实数根，即，若，方程无解，所以，解得方程的根为或.所以必有，即，所以实数的取值范围是，即.15、如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是上任意一点，、是上任意两点
5、，且的长为定值，现有如下结论： 异面直线与所成的角为定值； 点到平面的距离为定值； 直线与平面定所成的角为定值 三棱锥的体积为定值； 二面角的大小为定值. 其中正确的结论是_三、解答题（第16、17、18、19题均为12分，第20题为13分，21题为14分）16、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，cos(AB)= () 求sin B的值； () 求cos C的值17、一名高三学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：2013年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2012年10月省数学竞赛壹等奖
6、获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）； 2013年3月自主招生考试通过并且2013年6月高考分数达重点线； 2013年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。该名考生竞赛获省一等奖自主招生考试通过高考达重点线高考达该校分数线等事件的概率如下表：事件省数学竞获一等奖自主招生考试通过高考达重点线高考达该校分数线概率05070806如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是04。（1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望；（3）求该学生被该大学录取的概率。18、如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且BCA
7、=90，=2，若二面角为30， （）证明及求与平面所成角的正切值； ABC111ACB（）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面距离本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分14分.解：（）面面，因为面面，所以面3分取中点，连接，在中， 是正三角形，又面且面，即即为二面角的平面角为30，面，在中， 又面，即与面所成的线面角，在中，8分19、设、是函数图象上任意两点，且（）求的值；（）若（其中），求；（）在（）的条件下，设（），若不等式对任意的正
8、整数n恒成立，求实数a的取值范围 （）由（）得，不等式即为，设，则 ，数列是单调递增数列，10分要使不等式恒成立，只需，即，或解得.故使不等式对于任意正整数n恒成立的的取值范围是.12分20、已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围； （）若对任意，且恒成立，求的取值范围.当，即时，在1，e上单调递增，所以在1，e上的最小值是；当时，在1，e上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在1，e上的最小值是，不合题意9分（）设，则，只要在上单调递增即可.10分而当时，此时在上单调递增；11分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，
9、12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即. 综上. 已知函数(第21题图)OBAxyx21MF1F2PQ21、如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(ab0)的左、右焦点，直线：x将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上() 求椭圆C的方程；() 求的取值范围本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。OBAxyx21(第21题图)MF1F2() 设F2(c，0)，则，所以c1因为离心率e，所以a所以椭圆C的方程为 6分() 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x，此时P(，0)、Q(,0) 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(，m) (m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故k此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为即 联立 消去y，整理得 所以，于是(x11)(x21)y1y2 令t132m2，1t29，则又1t29，所以综上，的取值范围为，）
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