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1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若sin ,则cos =()A.-B.-C.D.解析:cos =1-2sin2=1-2.故选C.答案:C2.若tan(-3)0,sin(-+)0,sin 0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2解析:由得A=2,m=2.又T=,=4,x+=4x+.x=是其一条对称轴,+=k+(kZ),=k-.当k
2、=1时,=,y=2sin+2.答案:D8.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos ,sin ),则|的取值范围是()A.1,2B.2,4C.2-1,2+1D.2,2+1解析:由题意知,=(2-cos ,-2-sin ),所以|=,即|2-1,2+1.答案:C9.已知函数f(x)=Asin,xR,A0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),PRQ=,则A=()A.B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T=6,Q(4,-A).又PRQ=,直线RQ的倾斜角为,=-,A=.答案:A10.已知点A,B,C是直线l上不同的
3、三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程x2+x=0的解集为()A.B.-1C.D.-1,0解析:由于,又,则存在实数,使=,则=()=-,所以有-=0,由于不共线,又x2+x=0,所以由于是任意非零向量,则实数是任意实数,则等式2=不一定成立,所以关于x的方程x2+x=0的解集为.答案:A11.已知cos =,cos(+)=-,且,则cos(-)=()A.-B.C.-D.解析:因为,所以2(0,).因为cos =,所以cos 2=2cos2-1=-,所以sin 2=.又,所以+(0,),所以sin(+)=,所以cos(-)=cos2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)=.
4、答案:D12.已知A1,A2,An为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+lg sin An=0,则这个多边形是()A.正六边形B.梯形C.矩形D.含锐角的菱形解析:lg sin A1+lg sin A2+lg sin An=lg(sin A1sin A2sin An)=0,则sin A1sin A2sin An=1,又A1,A2,An为凸多边形的内角,则A1,A2,An(0,),则0sin A11,0sin A21,0sin An1,则sin A1sin A2sin An1,所以sin A1=sin A2=sin An=1,所以A1=A2=An=,则A1+A2+An=(n
5、-2),解得n=4,即这个多边形是矩形.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为.解析:3+2sin x+2cos x=3+2sin3-2,3+2sin x+2cos x0,sin x-2cos x=0,sin x=2cos x,(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=.=2cos2x=.答案:14.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos0,得2k-3x+2k+(kZ),即k-xk+(kZ).答案:(kZ)15.已知tan=2,则的值为.解析:由tan=2,
6、得tan x=,.答案:16.已知a1+a2+a2 015=0,且an=(3,4)(1n2 010,nN*),则a1+a2+an-1+an+1+a2 015的模为.解析:由题意知a1+a2+an-1+an+1+a2 015=-an=(-3,-4),所以所求模为5.答案:5三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin.(1)求sin 的值;(2)求的值.解:(1)sin+sin,sin =.sin =.(2)=,原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(t+).(1)如图是I=Asin(t+)在一个周期
7、内的图象,根据图中数据求解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(t+)都能取得最大值和最小值,那么的最小正整数值是多少?解:(1)由图知,A=300,T=,T=,=,+=0.又|,=,I=300sin.(2)t在任一段秒内I能取到最大值和最小值,I=Asin(t+)的周期T,即,300943.的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2,sin 2)(0),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求的大小.(1)证明由已知得|a|=1,|b|=1,则(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所
8、以a+b与a-b垂直.(2)解:由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+3|b|2,2(|a|2-|b|2)+4ab=0.而|a|=|b|,ab=0.cos 2+sin 2=0,即sin=0,2+=k(kZ).又0,=或=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.解:由已知得cos =,cos =.,为锐角,sin =,sin =.tan =7,tan =.(1)tan(+)=-3.(2)tan 2=,t
9、an(+2)=-1.,为锐角,0+2.+2=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ),.(1)若|=|,求角的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)=(cos -3,sin ), =(cos ,sin -3),|=,|=.由|=|,得sin=cos .又,=.(2)由=-1,得(cos -3)cos +sin (sin -3)=-1.sin +cos =.又=2sin cos .由式两边平方,得1+2sin cos =,2sin cos =-.=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB
10、OQ,OP与AB交于点B,ACOP,OQ与AC交于点C.(1)当=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设AOB=,则OB=cos ,AB=sin .矩形面积S=OBAB=sin cos .S=sin 2.由于0,当2=,即=时,S最大=.A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设AOP=,过A点作AHOP,垂足为H.在RtAOH中,AH=sin ,OH=cos .在RtABH中,=tan 60=,BH=sin .OB=OH-BH=cos -sin .设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OBAH=sin =sin cos -sin2=sin 2-(1-cos 2)=sin 2+cos 2-=sin.由于0,当2+,即=时,S最大=.当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.
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