【名校精品】中考数学解题方法及提分突破训练：因式分解法专题含解析

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1、名校精品资料数学解题方法及提分突破训练：因式分解法专题中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算，求值，化简，论证解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解它贯穿、渗透在各种代数式问题之中因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容它具有广泛的基础知识的功能由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学

2、生逆向思维的良好载体正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点一 真题链接1. （2011浙江杭州，12，4）当时，代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为 2. （2011山东威海，16，3分）分解因式： .3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x22y2)x(7xy)xy4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：5（2012年山东泰安模拟）因式分解：9 _；如果，则_ 6（2012年北京市顺义区一诊考试）分解因式： 二 名词释义因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为

3、数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。一提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式二运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，

4、字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方字母表达式：a22ab+b2=(ab)2立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)三十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2bxc，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2a2c1=b 三 典题示例一、提公因式法.：ma+mb+mc=m二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘

5、法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的

6、三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解： 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第

7、一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-

8、2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=（三）二次项系数为1的二次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8

9、b+(-16b)= -8b 解：= =（四）二次项系数不为1的二次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=五、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式

10、=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分

11、成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21经验之谈：一因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解二从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法三因式分解要注意的几个问题：每个因式分解到不能再分为止相同因式写成乘方的形式因式分解的结果不要中括号如果

12、多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面四 巩固强化1.（2012双柏县学业水平模拟考试）分解因式：x2-9=2.（2012年山东泰安模拟）因式分解：9 _；如果，则_ 3.（柳州市2012年中考数学模拟试题）分解因式2x2-4xy +2y2= . 4.（2012广西贵港）因式分解： 5.（2012年浙江省杭州市一模）分解因式 。6.（2012年浙江省金华市一模）分解因式：xy2x_.7.（2012年上海金山区中考模拟）分解因式： 8（2011年上海市浦东新区中考预测）分解因式 9.(徐州市2012

13、年模拟)分解因式： 10.分解因式11.分解因式12.求证：多项式的值一定是非负数13.分解因式： 14.在中，三边a,b,c满足，求证：15.已知：_ 五 参考答案真题链接答案：1.【答案】62.【答案】 （x-y-4）23.【答案】8(x22y2)x(7xy)xy=8x216y27x2xyxy=x216y2=(x4y)(x4y)6.答案：5.答案： 3X（X+1）(X1) 108 4.【答案】解：原式强化巩固答案：1.答案：（x-3）（x+3）2.答案： 3X（X+1）(X1) 108 3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：；8.答案：9.答案：10.分析：这是一个六项式，很显

14、然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 11.解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有 12.分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设，则 13.分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 15.解： 说明：利用等式化繁为易。 14.证明： 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。