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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质,定义： 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(点F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,(x,y),l,其中，定点F叫焦点,定直线l叫准线,p表示焦点F到准线l的距离,二、探索新知,抛物线y2 =2px（p0）的几何性质,1、范围,2、对称性,3、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,e=1,x0 , yR,关于x轴对称,顶点（0，0）,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0
2、 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点：,1.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,2.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,3.抛物线的离心率是确定的,为1;,补充（1）通径：,过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,通径的长度：,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,2P,(3)焦点弦,焦点弦是指经过焦点的弦,焦点弦长=,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px
3、 （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在 直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .,4、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P= 。,4,3.垂直于x轴的直线交抛物线 于A、B,且|AB|=4,求直线AB的方程.,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它
4、的标准方程.,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=mx,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=m40,解之: m=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于e=1；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,1
5、、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例题3,这时，直线 与抛物线只有一个公共点.,解得,于是，当 且 时，方程（）有2 个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.,由 即,解得,于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.,综上可得：,当 时 ，直线 与抛物线只有一个公共点;,
6、当 时，直线 与抛物线有两个公共点;,当 时，直线 与抛物线没有公共点.,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,巩固与练习：,1)过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为 ;,3）抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）,16,1.(2009年山东卷（文）10）设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点 ，且和 轴交于点 若 的面积为4，则抛物线方程为（ ）,A,高考欣赏:,1.已知M为抛物线 上一动点，F为抛物线的焦点， 定点P(3,1),则 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6,B,.,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,
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