必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

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1、平面向量的实际背景及基本概念 学习目标 1. 能结合物理中的力、位移、 速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2. 会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量 .3. 理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量年龄、身高、体积等 ) 称为数量( 如注意：向量的两个要素：大小和方向， 缺一不可 解题时，注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小思考已知下列各量：力；功；速度；质量；

2、温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有_ ，是向量的有 _ 答案知识点二向量的表示方法(1) 向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作AB.(2) 向量的字母表示： 向量可以用字母a, b, c，表示 ( 印刷用黑体a，b，c，书写时用 a ，b，c) (3) 向量 AB的大小： 也就是向量 AB的长度 ( 或称模 ) ，即有向线段 AB的长度， 记作 | AB|. 长度为0 的向量叫做零向量，记作0；长度等于1 个单位的向量，叫做单位向量思考在同一平面内， 把所有长度

3、为1 的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是 _答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量a 平行于 b，记作 ab.规定：零向量与任一向量平行(3) 共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说， 平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆思考向量平行具备传递性吗？答案 向量的平行不具备传递性，即若a， ，则未必有a，这是因为，当b 0bb cc时， a、 c 可以是任意

4、向量，但若b 0，必有 a b，bc? a c. 因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”题型一向量的基本概念例 1判断下列命题是否正确，并说明理由若 a b，则 a 一定不与 b 共线；若 AB DC，则 A、 B、C、 D四点是平行四边形的四个顶点； 在平行四边形 ABCD中，一定有 ABDC；若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a 0；若 a b，b c，则 a c；若 a b， bc，则 ac.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与 b 有共线的可能，故不正确 AB DC， A、 B、 C、D 四点

5、可能在同一条直线上，故不正确在平行四 边形 ABCD中， | AB| | DC| ，AB与 DC平行且方向相同，故ABDC，正确零向量的方向是任意的， 与任一向量平行， 正确 a，则 |a| |b| 且a与b方向相同；b，则| |bcb| c| 且 b 与 c 方向相同，则a 与 c 方向相同且模相等，故a c，正确若 b0，由于 a的方向与 c 的方向都是任意的，a c 可能不成立； b0时， a c 成立，故不正确跟踪训练1下列说法正确的有_(1) 若 | a| | b| ，则 ab 或 a b； (2) 向量 AB与 CD是共线向量，则 A、 B、 C、D四点必在同一条直线上； (3)

6、向量 AB与 BA是平行向量；(4) 任何两个单位向量都是相等向量答案(3)解析(1) 错误由 | | | 仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系ab(2) 错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 AB、 CD必须在同一直线上，因此点A、 B、 C、D不一定在同一条直线上(3) 正确向量 和 是长度相等，方向相反的两个向量AB BA(4) 错误单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同题型二向量的表示及应用例 2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km 到达 B点，然后又改变方向向西偏北50走了 200 km 到达 C

7、点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达 D点(1) 作出向量 AB、 BC、CD；(2)求 | AD|.解 (1) 向量 AB、 BC、CD如图所示(2) 由题意，易知 AB与 CD方向相反，故AB与 CD共线，又| AB| | CD| ，在四边形ABCD中， AB綊 CD.四边形 ABCD为平行四边形AD BC，|AD| | BC| 200 km.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1) 试以 B为终点画一个向量 b，使 ba；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c，使 | c| 5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解(1) 根据相等向量的定义，所

8、作向量与向量a 平行，且长度相等( 作图略 ) (2) 由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5 的圆 ( 作图略)题型三平行向量与共线向量例 3如图所示， ABC的三边均不相等，E、 F、 D分别是 AC、 AB、BC的中点(1) 写出与 EF共线的向量；(2) 写出与 EF的模大小相等的向量；(3) 写出与 EF相等的向量解 (1) 因为 E、 F 分别是 AC、AB的中点，1所以 EF綊 BC. 又因为 D是 BC的中点，2所以与 EF共线的向量有：FE， BD， DB，DC， CD， BC， CB.(2) 与 EF模相等的向量有：FE， BD， DB，D

9、C， CD.(3) 与 EF相等的向量有：DB与 CD.跟踪训练3如图，已知四边形ABCD为 ?ABCD，则(1) 与 OA的模相等的向量有多少个？(2) 与 OA的模相等，方向相反的向量有哪些？(3) 写出与 AB共线的向量解 (1) 与OA的模相等的向量有AO， OC， CO三个向量(2) 与 OA的模相等且方向相反的向量为OC， AO.(3) 与 AB共线的向量有 DC， CD， BA.对向量的有关概念理解不清致误例 4下列说法正确的个数是()向量 a，b 共线，向量 b，c 共线，则 a 与 c 也共线；任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合； 向量 a 与 b 不共线， 则 a

10、 与 b 都是非零向量； 有相同起点的两个非零向量不平行A 1B 2C 3D 4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同( 包括起点、 终点 ) ，同起点共线向量不是平行向量答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同正解事实上，对于，由于零向量与任意向量都共线，因此不正确；对于，由于向量都是自由向量， 则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故不正确；对于，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故不正确；a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，否则，不妨设a 为零向量，则 a 与 b 共

11、线，与 a 与 b 不共线矛盾，从而正确答案A1下列说法错误的是()A若 a 0，则 | a| 0B零向量是没有方向的C零向量与任一向量平行D零向量的方向是任意的2下列说法正确的是()A若 |a|b| ，则abB若 |a| | b|，则abC若ab，则a 与b 共线D若a b，则a 一定不与b 共线3如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是()A. AB DCB | AB| | DC| C.ABDC D. AB| b| ，则 ab；若向量 | a| | b| ，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；对于任意 | a| | b| ，且 a 与 b 的方向相同，则a

12、b；向量 a 与向量 b 平行，则向量a 与 b 方向相同或相反A1B2C3D4二、填空题7若对任意向量b，均有 a b，则 a 为 _8给出以下5 个条件： a b；|a| | b| ；a 与 b 的方向相反； |a| 0 或 | b| 0； a 与 b 都是单位向量 其中能使 ab 成立的是 _( 填序号 ) 9在四边形 ABCD中， AB DC且| AB| | AD| ，则四边形的形状为 _10已知在边长为 _.2 的菱形 ABCD中， ABC60，则 | BD|三、解答题11一辆消防车从A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东30方向行驶 2 千米到 D地，然后从 D地沿北偏东

13、60方向行驶6 千米到达 C地，从 C地又向南偏西 30方向行驶2 千米才到达 B地(1) 画出 ， ，；AD DC CB AB(2) 求 B 地相对于A地的位置向量12如图，已知AA BB CC . 求证：(1) ABC A BC；(2) AB A B ， AC A C .13O是正方形ABCD对角线的交点， 四边形 OAED，OCFB都是正方形， 在如图所示的向量中：(1) 分别找出与 AO，BO相等的向量；(2) 找出与 AO共线的向量；(3) 找出与 AO模相等的向量；(4) 向量 AO与 CO是否相等？当堂检测答案1答案B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B

14、 是错误的2答案C解析A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a| ，但a与bb的方向不确定，不能说ab， A 不正确；同理B 错误； D 中， a b， a 可与 b 共线故选C.3答案B解析表示等腰梯形两腰的长度，故相等| AB| 与|DC|4. 解(1) AF BE CD，AE BD.(2)DA， CF，FC.5证明 AB DC，四边形 ABCD为平行四边形，AD，BC平行且相等又 CN MA，四边形CNAM为平行四边形，AN， MC平行且相等，DN，MB平行且相等，四边形 DNBM是平行四边形当堂检测答案一、选择题1答案D2答案D3答案C解析当 b0 时，不一定成立

15、，因为零向量与任何向量都平行4答案D解析 ABCD是平行四边形， AB DC，四边形AC、 BD互相平分， AO OC.5答案B解析a 为任一非零向量，故| a| 0.6答案C解析不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确不正确由 | a| | b| 只能判断两向量长度相等，并不能判断方向正确| a| | b| ，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件可得a b.不正确因为向量a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定二、填空题7答案零向量8答案解析相等向量一定是共线向量，能使a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使 a

16、b；零向量与任一向量平行，成立9答案菱形解析 AB DC， AB綊DC四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是菱形|AB| AD|10答案231解析易知 AC BD，且 ABD30，设 AC与 BD交于点 O，则 AO2AB 1. 在 Rt ABO中，易得 | 2|2 3.|3，| |BOBDBO三、解答题11解(1) 向量 AD， DC， CB， AB如图所示(2) 由题意知 AD BC，AD綊 BC，则四边形ABCD为平行四边形， A 地的位置向量为“北偏东60， 6 千米”AB DC，则 B 地相对于12证明(1) AA BB，|AA | | BB | ，且 AA BB .又 A不在 BB 上， AA BB.四边形 AA B B是平行四边形|AB| | A B |.同理 | AC| | A C | ，| BC| | BC |. ABC A B C.(2) 四边形 AA B B 是平行四边形， |AB A B ，且 | AB|A B |.AB A B. 同理可证 AC A C .13解(1) AO BF，BO AE.(2) 与 共线的向量有 ，.AOBFCO DE(3) 与 AO模相等的向量有：CO，DO， BO， BF， CF， AE，DE.(4) 向量 AO与 CO不相等，因此它们的方向不相同