高一空间的直线和平面的基本性质

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1、 年级高一学科数学内容标题空间的直线和平面的基本性质编稿老师丁学锋一、学习目标1. 会判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2. 理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3. 能用公理4解决一些简单的相关问题. 二、重点、难点重点：判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系难点：异面直线的判定与证明，求异面直线所成的角三、考点分析本讲的内容在考试中常与空间中线、面位置关系的判断结合命题，各种命题形式均有可能出现.一、点、线、面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点A在直线l上点A在直线l外点A在平面内点A在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点

2、A平面相交于直线二、平面的基本性质公 理内 容图 形符 号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线三、空间两条直线的位置关系1. 空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图 示相交直线共面1个平行直线共面0个异面直线不同在任何一个平面内0个2. 两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0两平面相交有无数个交点（在同一条直线上）3. 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面

3、内的两条直线叫做异面直线.（2）画法：图形表示为如下图所示（通常用一个或两个平面衬托）.4. 平行公理（公理4）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：.5. 等角定理在空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6. 异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点O作直线，我们把所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成的角的取值范围：.（3）当时，直线异面垂直，记作.知识点一：直线与直线及直线与平面位置关系的判定例1. 已知三条直线，异面，异面，那么有什么样的位置关系？画图并加以说明

4、.题意分析：由题意可获得以下主要信息：异面，异面，要判断的位置关系，可在直线与直线的三种位置关系中，利用图形逐一排查.解题过程：直线的位置关系有三种情况，如图所示.直线可能平行，如图；可能相交，如图；可能异面，如图.图 图 图题后思考：在解答本题的过程中，易出现这样的错误：异面，异面，则异面，事实上，异面这种位置关系，不像平行那样具有传递性.例2. 下列命题中：直线l平行于平面内的无数条直线，则l/;若直线a在平面外，则a/;若直线a/b，则a/;若直线a/b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线.其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题意分析：全面验证线线、线面的各种

5、位置关系.解题过程：对于，直线l平行于平面内的无数条直线，但l有可能在平面内，l不一定平行于，是假命题.对于，直线a在平面外包括两种情况：a/和a与相交，a与不一定平行，是假命题.对于，直线a/b，直线，则只能说明a与b无公共点，但a可能在平面内，a与不一定平行 ，是假命题. 对于，a/b，那么（若a与相交，则a与b异面，与已知矛盾），a一定平行于平面内的无数条直线.是真命题.综上所述，真命题的个数为1.故选A.题后思考：直线与平面相交时，平面内有无数条直线与此直线平行.知识点二：平面与平面位置关系的判定例3. 下列说法中正确的是（ ）A. 一个平面内有三个不共线的点到另一平面的距离相等，则这

6、两个平面平行B. 一个平面内有一条直线与另一平面平行，则这两个平面平行C. 一个平面内有两条直线与另一平面平行，则这两个平面平行D. 一个平面内有两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行题意分析：利用平面与平面的位置关系的定义判断.解题过程：对于A，会出现三点在这个平面的异侧，此时两平面相交；当两平面相交时，一平面内与交线平行的所有直线与另一平面既不相交，也不在另一平面内，即与另一平面必平行，则B、C都不正确；当一平面内的两相交直线都与另一平面平行时，若两平面相交，则此两直线必都与交线平行，则两直线平行，与已知矛盾.故两平面必平行.故选D.题后思考：判定两平面平行时，常通过说明两平面不相交

7、得出两平面平行.知识点三：异面直线的判定与证明例4. 已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线AC、BD是异面直线.题意分析：由题目可获得以下主要信息：AB与CD是异面直线；A、B、C、D是不同的四个点.解答本题时若用异面直线的定义，直接证明它们在同一个平面内，难以办到，所以可利用反证法加以证明.证明过程：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一个平面内，设这个平面为.这与已知中AB与CD是异面直线矛盾，故假设不成立.直线AC、BD是异面直线.题后思考：判定两直线为异面直线的常用方法有：（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线.（2）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线

8、，和平面内不经过该点的直线是异面直线.（3）反证法：当直接应用定义法不易推出结论时可考虑用反证法，证明相交、平行不成立.反证法的一般步骤是：知识点四：求异面直线所成的角例5. 如图，在正方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求异面直线DB与EF所成的角的大小.题意分析：利用定义转化为平面角，解三角形.解题过程：方法一：如图，连接AC，BD，并设它们相交于点O，取DD的中点G，连接OG，AG，CG.则OG/BD，EF/AC.为异面直线DB与EF所成的角或其补角.GA=GC，O为AC的中点，GOAC.，异面直线DB与EF所成的角为90.方法二：如图，连接AD，取AD的中点H，连接HE ，则HE/D

9、B1且HE=DB.于是为所求异面直线DB与EF所成的角或其补角.连接EF，设AA=1，则EF=，HE=，取AD的中点I，连接IF，IH，则HIIF.异面直线DB与EF所成的角为90.方法三：分别取AA，CC的中点设为M，N，连接MN，则MN/EF.如图所示，连接DM，B1N，则B1N/DM，且B1N=DM，四边形DMB1N为平行四边形，MN与DB1必相交，设交点为P.设AA1=1，则MP=，DM=，DP=，.异面直线DB与EF所成的角为90.题后思考：（1）当异面直线依附于某几何体中，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（2）当两条异面直线互

10、相垂直时，欲求它们所成的角，实际上需要通过证明来计算.知识点五：平行公理与等角定理的应用例6. 已知棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，M，N分别是棱CD，AD的中点.（1）求证：四边形MNAC是梯形；（2）求证：.题意分析：（1）（2）解题过程：（1）如图，连接AC，在中，M，N分别是CD，AD的中点，MN/AC，MN=AC.由正方体的性质得：AC/AC，AC=AC.MN/AC且MN=AC，即MNAC，四边形MNAC是梯形.（2）由（1）可知MN/AC，又因为AD/AD，相等或互补.而都是直角三角形的锐角，.题后思考：（1）证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识（如三角形、

11、梯形中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等）证明；二是利用公理4，就是需要找到直线c，使得a/c，同时b/c，再由公理4得到a/b.（2）证明角相等的问题时，运用等角定理及其推论是较常用的方法.另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明.1. 判断空间中两条直线的位置关系可从两个方面入手分析：（1）是否有公共点的角度；（2）是否共面的角度.2. 判断两平面的位置关系可从两平面有没有公共点考虑.3. 证明两条直线的位置关系是异面时，通常采用反证法.4. 求两异面直线所成的角时，可分四个步骤：（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证明：证明作出

12、的角就是所求的角.（3）计算：求角度时，常利用三角形的性质.（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 下列给出的命题中，正确命题的个数是（ ）梯形的四个顶点在同一平面内 三条平行直线必共面 有三个公共点的两个平面必重合 每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 如图，空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）A. 90 B. 60 C. 45 D. 303. 如

13、果直线a平面，那么直线a与平面内的（ ）A. 一条直线不相交B. 两条直线不相交C. 无数条直线不相交D. 任意一条直线不相交4. 若点M在直线a上，a在平面内，则M、a、间的上述关系可记为（ ）A. Ma，a B. Ma，aC. Ma，a D. Ma，a5. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，则（ ）A. M一定在直线AC上B. M一定在直线BD上C. M可能在AC上，也可能在BD上D. M不在AC上，也不在BD上6. 下列说法正确的是（ ）A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 平面和平面

14、有不同在一条直线上的三个交点7. 异面直线是指（ ）A. 空间中两条不相交的直线B. 分别位于两个不同平面内的两条直线C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线D. 不同在任何一个平面内的两条直线8. 若a，b，则直线a、b的位置关系是（ ）A. 平行 B. 相交C. 异面 D. A、B、C均有可能二、填空题9. 已知平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定平面_个.10. 空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为_个.11. 和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_.三、解答题12. 如图，已知正方

15、体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？直线BA和CC的夹角是多少度？哪些棱所在的直线与直线AA垂直？一、选择题1. B 解析：对于，两条平行直线确定一个平面，所以梯形的四个顶点在同一个平面内，故正确；对于，空间三条平行直线可能共面，也可能构成三个平面，故错；对于，两相交平面有三个公共点，故错；对于，三条两两相交的直线共面，第四条直线与这三条直线都相交，必在这三条直线所确定的平面内，故正确.2. C 解析：如图所示，取SB中点G，连接EG，FG，则FG/SA，所以即为异面直线EF与SA所成的角.设边长为2，则EG=1，FG=1，EF=.，故3. D 解析：直线平行于平面即直线与

16、平面没有公共点，所以，它与平面内的任意一条直线都不会相交.4. B 解析：考查集合符号的运用.5. A 解析： 6. C7. D 解析：根据异面直线定义得出正确答案为D.8. D 解析：画图验证.二、填空题9. 1或4. 解析：分类讨论，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，因此可确定四个. 10. 6.解析：（1）当题中所说的三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共可确定6个平面.11. 相交或异面. 解析:由公理4可知不可能平行，故只可能是相交或异面.三、解答题12. 解析：由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直线分别与直线BA是异面直线. 由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA=45，所以BA与CC的夹角为45.直线AB，BC，CD，DA，AB，BC，CD，DA分别与直线AA垂直.