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1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.2 单位圆与周期性 4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(1,0)(1,0)OP PMxy 前面我们学习了周期前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质弦函数的周期性及性质.120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212-1 1 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各在直角坐
2、标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据观察此表格中的数据,你能发现函数你能发现函数y=sinxy=sinx和和y=cosxy=cosx的的变化有什么特点吗？变化有什么特点吗？观察右图，在单位圆中，由任意角观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，终边相同的角的余弦函
3、数值相等，即即 .sin(x2k)sinx,kZ cos(x2k)cosx,kZ 探究点探究点1 1 周期函数周期函数把这种把这种随自变量的变化呈周期性变化随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作的函数叫作周期函数周期函数.正弦函数、余弦函数是周期函数，称正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的为正弦函数、余弦函数的周期周期.例如，例如，等都是它们的周期等都是它们的周期.其其中中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为个，称为最小正周期最小正周期.2k(kZ,k0)4,2,2,4 2 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实
4、数，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个对定义域内的任意一个x值，都有值，都有f(x+T)=f(x),我们就把我们就把f(x)称为称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周称为这个函数的周期期.说明：说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期最小正周期.特别提醒：特别提醒：1.1.T是非零常数是非零常数.2.2.任意任意xD D都有都有x+TD,T00，可见函数的定义域，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件无界是成为周期函数的必要条件.3.3.任取任取xD D，就是取遍，就是取遍D D 中的每一个中的每一个x，可见周期，可见周期性是
5、函数在定义域上的整体性质性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓理解定义时，要抓住住每一个每一个x x都满足都满足f f(x+T)=f=f(x)成立才行成立才行.4.4.周期也可推进，若周期也可推进，若T是是f f(x)的周期，那么的周期，那么2 2T也是也是y=f f(x)的周期的周期.1.1.函数函数f f(x x)=c=c(c c为常数为常数),),x xRR，问函数，问函数f f(x x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答答:是，无最小正周期是，无最小正周期.2.2.等式等式sin(30sin(30+120+120)=sin30)=sin
6、30是否成立？如是否成立？如果成立，能否说明果成立，能否说明120120是正弦函数是正弦函数y y=sin=sinx,xx,xRR的一个周期？为什么？的一个周期？为什么？答答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个一个x x.思考思考9例例 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611sin(解：（解：（1）224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值 319sin )431cos(2322216sin)26sin()611sin(（2）探究点探究点2 2：正弦函数正弦函数 y=sin xy=sin
7、x、余弦函数、余弦函数y=cos xy=cos x的基本性质：的基本性质：由上节点学习知道：由上节点学习知道：定义域为全体实数定义域为全体实数R R（1 1）定义域）定义域(1,0)(1,0)OP P(cos x,sin x)(cos x,sin x)xMxy（2 2）值域、最大（小）值）值域、最大（小）值观察下图观察下图，设任意角，设任意角x的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P(cos x,sin x)(cos x,sin x)，当自变量当自变量x x变化时，点变化时，点P P的横坐的横坐标是标是cos xcos x，|cos x|1|cos x|1，纵，纵坐标是坐标是sin x,
8、|sin x|1sin x,|sin x|1这说明，正弦函数这说明，正弦函数 、余弦函数的值域为、余弦函数的值域为-1,1-1,1x-2kkZ12当（）时，正弦函数取得最小值.x2kkZ12当（）时，正弦函数y=sin x取得最大值；x2kkZcos1当（）时，余弦函数y=x取得最大值；x(2k1)kZ1当（）时，正弦函数取得最小值.(4)(4)单调性单调性观察右图观察右图，在单位圆中，设任，在单位圆中，设任意角意角x的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P(cos x,sin x)(cos x,sin x)，因此，正弦函数在区间因此，正弦函数在区间 上是增加的，在区上是增加的，在区间间
9、 上是减少的上是减少的.2,2 23,2 思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页1 1 2k 1 (2k1)1 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页2k,2k(kZ)上是增加的 2k,2k(kZ)上是减少的 2k 2 19例例1.1.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1)ycosx1,xR.(2)y3sinx,x R.解：解：(1)(1)因为因为y=cos x+1y=cos
10、x+1，xRxR的最大值、最小值由的最大值、最小值由y=cosxy=cosx决定，所以使函数决定，所以使函数 取得最大取得最大值的值的 的集合为的集合为ycosx1,xRxx x2k,k,Z 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为ycosx1,xRxx x2k,k,Z最大值为最大值为1 12.最小值为最小值为1 10.所以使函数所以使函数 取得最大值的取得最大值的的集合是的集合是 最大值为最大值为3.x x2k,k,2 Zy3sinx,x Rx xk,k2 Z（2）函数）函数y=sin x，xR取得最大值、最小值时，取得最大值、最小值时，函数函数 则取得最小值、最大值，则取得
11、最小值、最大值，y3sinx,x R使函数使函数 取得最小值的取得最小值的的集合是的集合是 ，最小值为，最小值为-3.y3sinx,x R 2k,2k(k)22Z32k,2k(k)22Z 2k,k2Z 2k,k2Z2k,k2Z242526271.1.对于函数与对于函数与y=-2sin x,y=-2sin x,当当x=_x=_时，时，y y取最大值取最大值_，当，当x=_x=_时，时，y y取最小值取最小值_._.2 2 2k,k2Z-2-2-2k,k2Z2.2.求下列函数的值域求下列函数的值域:2k,2k(k)22Z32k,2k(k)22Z302k,2k1(k)Z（）2k-1,2k(k)Z（）了解周期函数的定义了解周期函数的定义.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为道它的最小正周期为 2 2.理解正弦函数、余弦函数的基本性质理解正弦函数、余弦函数的基本性质回顾本节课的收获回顾本节课的收获不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人.吴玉章
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