2021-2022版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质素养评价检测含解析新人教A版必修

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1、等差数列的性质(20分钟35分)1.(2020榆林高二检测)已知数列an是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=()A.36B.30C.24D.1【解析】选B.由于a7+a13=2a10=20,即a10=10,故a9+a10+a11=3a10=30.【补偿训练】已知等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为数列an是等差数列,所以2a3=a1+a5=10,所以a3=5,又a4=7,所以数列an的公差d=a4-a3=2.2.九章算术一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之

2、和为15尺,则第十五日所织尺数为()A.13B.14C.15D.16【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列an,且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+101=15.3.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.4【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+

3、a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d0,所以m=8.【补偿训练】在等差数列an中,a1=,a2+a5=4,an=33,则n是()A.48B.49C.50D.51【解析】选C.a1=,a2+a5=2a1+5d=4,所以d=,所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,所以n=50.4.已知等差数列an:1,0,-1,-2,;等差数列bn:0,20,40,60,则数列an+bn是()A.公差为-1的等差数列B.公差为20的等差数列C.公差为-20的等差数列D.公差为19的等差数列【解析】选D.(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1

4、)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列an+bn是公差为19的等差数列.5.如果等差数列an中,a1=2,a3=6,则数列2an-3是公差为_的等差数列.【解析】因为a3-a1=6-2=4,所以2d=4,即d=2.所以2an-3的公差为2d=4.答案:46.已知数列an为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)等差数列an中,a15=8,a60=20,则解得d=,a65=a60+5d=20+=.(2)数列an为等差数列,且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,解

5、得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列an是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=()A.7B.14C.21D.7(n-1)【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=27=14.2.数列an满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是()A.-2B.-C.2D.【解析】选C.因为an+1-an=3,所以an为等差数列,设其公差为d

6、,则d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+33)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.补偿训练】在等差数列an中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011=()A.0B.7C.1D.49【解析】选A.因为数列an是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.3.设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列,则()A.d0C.a1d0【解析】选C.因为数列2a1an为递减数列,a1an=

7、a1a1+(n-1)d=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d0),根据题意,有20+(a1+3d)+(a1+4d)=a1+(a1+d),解得a1=.故最小一份的量为个.5.下面是关于公差d0的等差数列an的四个说法.(1)数列an是递增数列;(2)数列nan是递增数列;(3)数列是递增数列;(4)数列an+3nd是递增数列.其中正确的是()A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)【解析】选D.因为an=a1+(n-1)d,d0,所以an-an-1=d0,说法(1)正确;nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2

8、(n-1)d,与n的大小和a1的取值情况有关.故数列nan不一定递增,说法(2)不正确;=+d,所以-=,当d-a10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则(3)不正确;设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.所以数列an+3nd是递增数列,(4)正确.综上,正确的说法为(1)(4).【补偿训练】若an是等差数列,则下列数列为等差数列的有()an+an+1;an+1-an;2an;2an+n.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.设等差数列an的公差为d.对于,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n

9、2),所以an+an+1是以2d为公差的等差数列;对于,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)常数,所以不是等差数列;对于,因为an+1-an=d,所以an+1-an为常数列;所以an+1-an为等差数列;对于,因为2an+1-2an=2d,所以2an为等差数列;对于,(2an+1+n+1)-(2an+n)=2d+1,所以2an+n为等差数列.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020成都高二检测)等差数列an中,a1=1,a9=21,则a3与a7等差中项的值为_.【解析】根据等差数列的性质可知,a3+a7=a1+a9=1+21=22,所以a3与a7的等差中项为(

10、a3+a7)=11.答案:117.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为_.【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.答案:-218.在等差数列an中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为_.【解析】方法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(

11、a1+a4+a7)=233-39=27.方法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39,所以a1+3d=13,因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33.所以a1+4d=11,联立解得所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=319+15(-2)=27.答案:27三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an,an=2n-1,bn=a2n-1.(1)求bn的通项公式;(2)数列bn是否为等差数列?说明理由.【解析】(1)因为an=2n-1,bn=a2n-1,所

12、以bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)由bn=4n-3,知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.因为bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,b1=41-3=1,所以bn是首项为1,公差为4的等差数列.10.已知数列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a20=30,求公差d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+1

13、0d2=10(1+d+d2)(d0),a30=10,当d(-,0)(0,+)时,a30.1.如果有穷数列a1,a2,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列cn中,c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=_.【解析】因为c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+92=19.又cn为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:192.已知无穷等差数列an,首项a1=3,公差d=-5

14、,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2;(2)求数列bn的通项公式;(3)数列bn中的第110项是数列an中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列an的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列bn的第n项是数列an的第m项,则需满足m=4n-1,nN*.所以b1=a3=8-53=-7,b2=a7=8-57=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以数列bn也为等差数列,且首项b1=-7,公差d=-20,所以bn=b1+(n-1)d=-7+(n-1)(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,nN*,所以当n=110时,m=4110-1=439,所以数列bn中的第110项是数列an中的第439项.