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1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(竞赛讲座03-同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过
2、来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4) 同余关系是一种等价关系： 反身性 ； 对称性，则，反之亦然. 传递性，则；（5）如果，则；特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解 则2n+1当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解 考虑用100除2999所得的余数.又2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明
3、 2不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明 2x2=5y2+7，显然y为奇数. 若x为偶数，则方程两边对同一整数8的余数不等，x不能为偶数. 若x为奇数，则但5y2+7x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5
4、(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程 证明 如果有整数x，y使方程成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，1，2，3，4，5，6，7，8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（ ）.（A）0 （B）1（C）2（D）无
5、限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的
6、只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解 解得 例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有ab及b+1=c.证明（因式分解法）a2+b2=c2，a2=（c-b）（c+b），又a为素数，c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+13b，即.而a3,1，1.ab.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b
7、，c）的组数是（ ）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=123.a，b，c为正整数，c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解 由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,y-2=1，3，x=3，5，1.方程整数解为例1
8、1 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解 必须=（y+1）2-4（y2-y）0，解得y.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故 满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届
9、美国中学生数学竞赛题）满足0xy及的不同的整数对（x，y）的个数是（ ）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0x1984，由得 当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=2631，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.x1984，1t7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t3时yx不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 1984=由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0xy，所以tk.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.文章来源：教师之家 转载请保留出处相关优质课视频请访问：教学视频网 教师之家-免费中小学教学资源下载网(
竞赛讲座03-同余式与不定方程
