2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第七章平面解析几何考点测试50抛物线含解析苏教版

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1、考点测试50抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a,0) C D答案C解析将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，故选C.2抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2答案A解析依题意，抛物线x24y的准线方程是y1，故选A.3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是

2、4，则点P到该抛物线准线的距离为()A4 B6 C8 D12答案B解析依题意得，抛物线y28x的准线方程是x2，因此点P到该抛物线准线的距离为426，故选B.4到定点A(2,0)与定直线l：x2的距离相等的点的轨迹方程为()Ay28x By28xCx28y Dx28y答案A解析由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p4，焦点在x轴正半轴上，故选A.5若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A. B1 C D2答案D解析由题意，得3x0x0，x0，则2，p0，p2，故选D.6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两

3、点，若x1x26，则|AB|等于()A4 B6 C8 D10答案C解析由抛物线y24x得p2，由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x22，又因为x1x26，所以|AB|8，故选C.7若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点为()A(1,2) B(0,0) C D(1,4)答案C解析解法一：根据题意，直线y4x5必然与抛物线y4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y4x5平行的抛物线的切线的切点由y8x4得x，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，该点到直线y4x5的距离最短故选C.解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y4x5的距离是d，显然当x时，d取得最小值，此

4、时y1.故选C.8已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|_.答案解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，则NMH45.设准线l与y轴的交点为K.在MFK中，FMK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.二、高考小题9(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3 C4 D8答案D解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.10(2018全国卷)设抛

5、物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8答案D解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，从而可以求得03248，故选D.11(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案A解析因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l

6、2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.12(2019北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_答案(x1)2y24解析抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x1，圆的圆心坐标为(1,0)又圆与l相切，圆心到l的距离为圆的半径，r2

7、.圆的方程为(x1)2y24.13(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4x14x2，所以k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1 的垂线，垂足分别为A，B.因为AMB90，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴因为M(1,1)，所以y01，则y1y22，所以k2.14(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标

8、为_答案(1,0)解析由题意得a0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则A(1,2)，B(1，2)，故|AB|44，得a1，故抛物线方程为y24x，其焦点坐标为(1,0)15(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为.所以圆

9、的方程为(x1)2(y)21.三、模拟小题16(2019烟台模拟)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的倾斜角为()A15 B30 C45 D60答案B解析分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，C，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NC|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NC|MN|，所以MNC60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30.故选B.17(2019衡水

10、中学高三上学期四调)已知y24x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y24x于A，B，AFB60，|AB|()A B C4 D3答案B解析设A(x1,2 )，B(x2,2 )，x2x10，因为kQAkQB，即，整理化简得x1x21，|AB|2(x2x1)2(22 )2，|AF|x11，|BF|x21，由余弦定理，得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60，整理化简得，x1x2，又因为x1x21，所以x1，x23，|AB|.故选B.18(2020郑州第一次质量预测)设抛物线y24x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点

11、，|BF|3，则BCF与ACF的面积之比()A B C D答案D解析设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy.由y24x得p2，因为|BF|3x2x21，所以x22，则y4x2428，所以y22，由得y24my40，由根与系数的关系，得y1y24，所以y1，由y4x1，得x1.过点A作AA垂直于准线x1，垂足为A，过点B作BB垂直于准线x1，垂足为B，易知CBBCAA，所以.又|BB|BF|3，|AA|x11，所以.故选D.19(2019昆明模拟)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的标准方程为_答案y216x解析如图，设抛物线的准线交x轴于点D，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积为，因此有，p8，所以该抛物线的标准方程为y216x.