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1、5-2 向量的空间坐标向量的空间坐标xyz空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面面xyzo在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点 A,B,C;坐标面上的点点点 P特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xA)0,0(yB),0,0(zC)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 P的坐标)原点 O(0,0,0);向量oPrP.,CBA成的数组记为全体有序的三个实数构,|),(3RzyxzyxR那么3R空间中的点集 11
2、,中在平面直角坐标系oxy,|),(2RyxyxR平面上的点集 11如前面所述空间中的点集与空间中的全体向量建立了一一对应：向量 11oP点点 P点点 P的坐标：的坐标：(x,y,z),oP的坐标：(x,y,z).一致一致坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 P,),(zyxP那么沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixOP),(zyx,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为OPkzjyix称为向量,xoyzPNBCijkArNPONOPOCOBOA,ixOA,jyOBkzOC此式
3、称为向量 的坐标分解式,OPijxyzo 1MPNQR 2Mk任意向量的坐标表达式任意向量的坐标表达式则向径则向径设设，21MMa),(1111zyxM1221OMOMMMa kzjyixOMr11111 kzjyixOMr22222).,()()()(121212121212zzyyxxkzzjyyixx),(2222zyxM),(zyxOMa，则的坐标若点),(MzyxM3.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()(
4、)(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 11112222,axyaxy 设 z z 即11112222,ax iy jkax iy jk+z +z.1;0,i ij jk ki jj kk i 12111222a ax iy jkx iy jk +z+z12121 2.x xy yz z12a a 12121 2.x xy yz z内积的坐标表示式内积的坐标表示式2|aaa由于,|aaa所以.|222zyxa),(zyxa 设aaa|10).,(1222zyxzyx:0的坐标表示的单位向量向量aa例例 1),(1111zyxP的坐标为设点).,(2222zyxP的
5、坐标为点的距离为到则21PP.)()()(212212212zzyyxx证证o1P2P因21pp2op1op),(222zyx),(111zyx).,(121212zzyyxx|21pp.)()()(212212212zzyyxx则距离例例2ABCB求已知空间中有三点).1,1,1(),1,1,0(),1,0,1(A.C之间的夹角与A解解),0,1,1(AB).0,1,0(CA，设C,AAB那么|cosACABACAB121.22.43叉乘的坐标表示叉乘的坐标表示介绍行列式的概念二阶行列式：.1111yxxyyxyx三阶行列式：222111zyxzyxzyx2211zyzyx2211zxzxy
6、.2211yxyxz),1111zyxa（设).,2222zyxa（)(111kzjyix)(222kzjyix21aa那么)(111kzjyix)(222kzjyix21aa)(21iixx)(21jiyx)(21kizxiyzzy)(2121jzxxz)(2121)(21ijxy)(21kjzy)(21jjyy)(21ikxz)(21jkyz)(21kkzzijkkyxyx)(12210;i ijjkk ,ijkjkikij kji1x1y1z2x2y2z,2211zyzy,2211zxzx2211yxyx21aa iyzzy)(2121jzxxz)(2121kyxyx)(1221),11
7、11zyxa（).,2222zyxa（例例3),2,0,1（设a).1,1,2 （b使之求一单位向量 c.,构成右手系且与同时垂直于cbaba解解显然，所求的向量为|babac112201kjibakji32),1,3,2(.14)1(32|222ba故14)1,3,2(c).141,143,142(用叉乘判断两个向量是否共线？例例4),0,6,5（设a).3,2,1（b是否共线？与问ba321065kjiba解解kji41518,0因为.不共线与故ba补例.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如下图如下图,CBASABC21kji2221
8、24)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三向量的混合积的坐标表示向量的混合积的坐标表示),111zyxa（设),222zyxb（),333zyxc（)(baccba那么32121)(xyzzy32121)(yzxxz31221)(zyxyx.222111333zyxzyxzyx例例5 判断下列三个向量是否共面：判断下列三个向量是否共面：),5,0,3（a),3,2,1（b).11,4,5（c解解)(bac1145321503,0.所以它们是共面的方向余弦方向余弦 设 是一个非零向量,它与 轴 轴及 轴之夹角分别为 则称 为 的方向角,称 为向量 的方向余弦.axyz,a,0,cos,cos,cosacos,cos,cosa ia ja kaaa 222222cos,cos,xyxyzxyz 222cos,zxyz222coscoscos1.则（设),zyxa kjicoscoscos向量.|0aaa
1.2向量的空间坐标.ppt课件
