流体力学讲义 第三章 流体动力学基础

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1、第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法，运动流体的基本类别与基本概 念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流 与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多 复杂问题。第一节流体流动的基本概念1. 流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的 流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量夺，再画出距

2、1点很近 的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量*，如此继续下去，得一折线1234，若各点无限 接近，其极限就是某时刻的流线。流谱流线Flow Spectrum Atid流线是欧拉法分析流动的重要概念。图3-2图3-3图3-1（3）流线的性质（图3-3）a. 同一时刻的不同流线，不能相交。因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时 有两个速度向量。b. 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。以c. 流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小 因为对不可压缩流体，元流的流速

3、与其过水断面面积成反比。（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4u为流体质点在A点的流速:u=ui + tiyj +usk设ds为流线上A处的一微元弧长:如=+顿+皿(3-2)因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。i j kdx dy dz = 0所以滤X#=。即蜘与皓dx _ dy _ dz展开后得到：也 丫 七流线方程(3-1)124 dx - 吼 夺心 也cos a = = , cos tj = = , cosr =以如尊如尊如）2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线 图3-5中烟

4、火的轨迹为迹线。(2)迹线的微分方程式中，u,u,u均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量注意：流线和迹线微分方程的异同点。dx _ dy _ dz他的勤一一流线方程 3.色线3olouring line)又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。流线、迹线、色线的比较：概念名流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中 不同质点在同一时刻的运动情况。dx _ dy _ dz流线方程为：岭 y %5式中时间t为参变量。迹

5、线迹线是指某一质点在某一时刻内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动 情况。主=史=生=击迹线方程为：峻吟 孔 式中时间t为自变量。脉线 脉线（色线）是指源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流线方程。dz _ dy主=史=冬Cx Cy解：由式厂厂赤得E F. 虫=史积分得:In x + In = In y则：中此外，由 = 得：dz = 0图3-7因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C0时）或平面点汇流动（CV0时）例2已知平面流动吗= = 一八队=。试求：（1） t=0时，过点M （-1，-1）的流线

6、。（2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。解：dx _ dy(1)由式电吟（2）由式 蜘吟业=上=由 得十+W+f)(-y+f) = 由 t=0 时，x=-1，y=-1 得 q=0, C2=0，则有:将：t=0, x=-1, y=-1代入得瞬时流线x = -t y=t -1xy=1最后可得迹线为：即流线是双曲线。 +2=例3已知流动速度场为战=翕为=外吼=试求：（1）在t= t0瞬间，过A（ %，%，z。）点的流线方程；（2）在t= t0瞬间，位于A（ x0，j0，z0）点的迹线方程。dx _ dy _ dz解：（1）流线方程的一般表达式为也 U将本题已知条件代入，则有:

7、积分得：(1+t)lnx = lny + lnC dx _ dyST广当 t= t0 时，x=x0，故过 A（ x0，y0，y=yo，则有点的流线方程为（2）求迹线方程生=支=左=击迹线一般表达式为改E得代入本题已知条件有：lnx = ln(l + /)+lnC= lnC(l+由(1)式得：=C=花当t=to时，x=xo代入上式得而lily = t +111（7=ln（C）由（2）式得：，一奂当t= t0时，y= y0代入上式得故迹线方程为t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程:二、流体流动的分类1.层流与紊流（1）层流的定义du针形小管玻璃管染色迹线层流(laminar flow)(图

8、3-8)图3-8亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。特点：（1）有序性。（2）水头损失与流速的一次方成正比。（3）在流谏较小且雷诺数Re较小时发生。图3-9层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动。紊流紊流（turbulent flow）（图 3-10）亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动。特点：= （ + 骨（1）无序性、随机性、有旋性、混合性。（2）水头损失与流速的1.752次方成正比。（3）在流速较大且雷诺数较大时发生。 图3-10紊流是工程实践中最常见的一种流动，如图3-9,紊流微团不仅有横向

9、脉动，而且有相对于流体总运动 的反向运动，紊流中质点运动要素具有随机性，流速的大小方向随机变化，没有两个流体质点可以沿着 同样的、甚至相似的路径运动。紊流就是压力表指针不断摆动的原因。时间而变化。(图 3-11)即：p = p(x,y,z)想一想：城市污水管网中的出水口（淹没出流）附近的流体流动属于（层流，紊流）。2. 恒定流与非恒定流（1）恒定流定义恒定流（steady flow）:又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点上各水力运动要素均不随三者都等于0。（2）注意严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速（时均流速）u=-f Juud

10、t，若其不随时间变化，则认为该紊流为恒定流。图 3-12非恒定流（1）定义非恒定流（unsteady flow）：又称非定常流，是指流场中的流体流动空间点上各水力运动要素中， 只要有任何一个随时间的变化而变化的流动。（图3-12）即：告工。p = p（x,y,zdux duz泓y ”泓三者中至少一个不等于0。（2）注意在非恒定流情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。在恒定流情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。问题：恒定流是：A、流动随时间按一定规律变化；B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化；C、各过流断面的速度分布相同；D、各过流断面的压强相同。问题：非恒定流是：I亟

11、=0匝g亟=0亟“击 ；B、 击 ：C、血；D、 血3. 均匀流与非均匀流按质点运动要素是否随流程变化分为：=0均匀流一一流线是平行直线的流动，白。（图3-13） 均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和大小都保持 一样。例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。图 3-13非均匀流一一流线不是平行直线的流动非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均。例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀流又可分为急变流和渐变流）想一想：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是

12、否均匀有无关系？答案：均匀流是指流线是平行直线的流动，海鸠S = 0 。非均匀流是流线不是平行直线的流动，。这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。4. 渐变流与急变流非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率很小接近平行，过流断面上的压力基本上是静压分布者为渐 变流（gradually varied flow），否则为急变流。渐变流一一沿程逐渐改变的流动。（图3-14）图 3-14特征：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线）， 其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计。急变流沿程急剧改变的流动。特征：流线

13、间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线，过水断面不是一个平面。急变 流的加速度较大，因而惯性力不可忽略。想一想：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？答案：渐变流是指沿程逐渐改变的流动。渐变流的性质：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同 时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。渐变流的 加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计。按液流运动要素所含空间坐标变量的个数分：一元流一元流（one-dimensional flow）:流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计， 即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或

14、渠道）中实际液体运动要素的断面 平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。（图3-15）图 3-15二元流二元流（two-dimensional flow）:流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计， 即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。（图3-16）图 3-16图 3-17如实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动，如图3-17,运动要素只是柱坐标中r, x的函数而与 角无关，这是二元流动。又如在x方向很长的滚水坝的溢流流动，可以认为沿x轴方向没有流动，仅在 Oyz 一系列平行的平面上流动，而且这些平面上各点的流动状态相同，其运动要素

15、只与两个位置坐标（y, z） 有关，因而只需研究平行平面中任一个平面上的流动情况。问题：一元流动是：A、均匀流;B、速度分布按直线变化;C、运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；D、限于直线流动。拉格朗日法拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中每一流体质点作为描述对象的方法，它以流体个别 质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。一一质点系法空间坐标y = y（a,b,c,f）z =z（a,b,c,t）（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和

16、时间t的函数（1）（a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。（2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。由于位置又是时间t的函数，对流速求导可得加速度：速度加速度| 匕=Jr仃-S, - 七一dt目捉& y-f - *dtU - 3 f ._ 虹8W 有机一戏2由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如 波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。欧拉法欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。流场法它不

17、直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间一一流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间 中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。流场运动要素是时空（X, J, z, t）的连续函数:速度（X, J, z, t）欧拉变量因欧拉法较简便，是常用的方法。欧拉加速度质点的加速度（流速对时间求导）由两部分组成:（1）时变加速度（当地加速度）（local acceleration）流动过程中流体由于速度随时间变化而引 起的加速度；（2） 位变加速度（迁移加速度）（c

18、onnective acceleration）流动过程中流体由于速度随位置变 化而引起的加速度。由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度:% =顶 = 讦+*世+节页+茂忒噬=知案=吟著=%代入上式得:(3-3)等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于零；在均匀流中，质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。1、在水位恒定的情况下：（1）AtA，不存在时变加速度和位变加速度。（2）BtB，不存在时变加速度，但存在位变加速度。图 3-192、在水位变化的情况下：（1）AN存在时变

19、加速度，但不存在位变加速度。（2）BtB，既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题：均匀流是：A、当地加速度为零；巳、讦移加谏度为零；顷向心加速度为零；D、合加速度为零。思考题1. 什么是流线、迹线、色线？它们有何区别？流线（stream 11谁）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该 点的流谏方向重合。迹线（path 11谁）是指某一质点在某一时段内的运.动轨迹线。色线又称脉线，是源 于一点 的彳很多流体质点在同一瞬时的连线。2. 流线、迹线各有何性质？色线有些什么作用？流线的性质： a、同一时刻的不同流线，不能相交。 b、流线不能是折线，而是一条光滑的 曲线。 c

20、、流线簇的疏密反映了谏度的大小（流线密集的地方流谏大，稀疏的地方流谏小）。色线可 用来显示流体的流动轨迹。3. 实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确定流体流动趋势。4. “只有当过水断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？不对。均匀流是指运.动要素沿程不发生改变，而不是针对一过水断而。5. 恒定流、均匀流等各有什么特点？普=0答案：恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，恒定流时流线迹线重合，且时变加速 度等于0。票=0均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，跆，均匀流时位变加速度等于0。6. 欧拉法、拉

21、格朗日方法各以什么作为其研究对象？对于工程来说，哪种方法是可行的？欧拉法以流场为研究对象，拉格朗日方法以流体质点为研究对象：在工程中，欧拉法是可行的。第二节流体质点运动特点和有旋流一、流体质点的运动特点图 3-20(a)图 3-20(b)角变形_b流体x刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成如图3-20(a)。 流体质点的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形(角变形和线变形)，如图3-20(b)。二、角速度的数学表达式流体质点的旋转用角速度表征，习惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速度平均值定义为该转轴的角速 度。图3-21中Oxy平面内，质点ABCD经过t时间后到达ABCD，初始位

22、置在Oxy平面上A点的流速为4，顺时针为负；逆时针为正。图 3-21顺时针逆时针角速度三、有旋流和无旋流(3-4)根据流体质点是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋流。1.定义有旋流（vortex）:亦称“涡流”。流体质点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着自身的 瞬时轴线作旋转运动。如旋风即为空气的涡流。当流体速度变化较大，由于流体粘滞阻力、压强不均匀等因素的影响，就容易 形成涡流。无旋流（potential flow）亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，它的微小单元只有平动或变形，但不 发生旋转运动，即流体质点不绕其自身任意轴转动。注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋

23、转，而与运动轨迹无关。（己）有旋流（b）无旋流图 3-222.有旋流和无旋流的特性（1）若气=气=%=0，即如3 =如工=如3=目临(3-5)则流动为无旋流，否则，为有旋流。有旋流（涡流）气、气、中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。（与通 常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点自身任意轴的角速度。uv = by,u = 0例：已知流体流动的流速场为*八至，判断该流动是无旋流还是有旋流？解:濯尝知=。濯咎若=。己亮-如。;故液体流动是无旋流。（2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一个矢量，所以可如同用流线描述流动一样，可用涡线描述 流动的旋转变化。涡线一一在同一瞬时线上各质

24、点的转速矢量都与该曲线相切。无旋流一般存在于无粘性理想流体中。有旋流一般存在于有粘性实际流体中，但在粘性流体中的层 状渗流也可看作是无旋流。想一想：1.粘性流有可能是无旋流吗？为什么？可能；粘性可忽略的情况。例如水和空气，静止时是无涡的，由于它们的粘滞性很小，当它们 由静止过渡到运动时，在短距离内可以认为是无涡运动。又如水从水库或大小水箱流入容器时可认为是 无涡流动。再如在很宽的矩形顺坡渠道中，在距渠壁较远的纵剖而 上液体质点也可以认为是无旋流。2.什么是有旋流、无旋流？它们各有什么特点？答案： 有旋流：质点具有绕自身任意轴旋转的角速度，气、气、中至少有一个不等于0。无旋流：质点不具有绕自身任

25、意轴旋转的角速度，即气=气=%=0。第三节流体动力学基本方程式一、连续性微分方程在流场内取一微元六面体（如图3-23），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（u,u,u）x y z以x轴方向为例:左表面流速右表面流速图 3-23所以单位时间内X方向流出流进的质量流量差:官 1J T 1 j r1 页.叫)j 1J 8(四)j JM=p + -一击一6x6z-p- 虱一dxdydz= &dxdydzX方向:同理可得:y方向：z方向:质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：d(pu) d(py) d(piis)dP A A AIk*亍+

26、土皿妙“庄翊归5（1）流体的连续性微分方程的一般形式由（3-6）式可得遂I亍（牌Q |页叫、）|堕2膺您C妙 念（3-7）适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。（2）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程当为恒定流时，有凭，则（3-7）式为Bg）、Bg、） | 3g） _於浪 dy dz适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。（3）不可压缩流体的连续性微分方程当为不可压缩流时，有const，则（3-7）式为性+冬+箜=0次 妙 食(3-8)（39）物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量） 冉辛俭工燮 之差等

27、于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。例：有二种的二元液流，其流速可表示为：（1） ux= -2y, u=3x；试问这两种液流是不可压缩流吗？票+祟+笑=宇1+哗=中5解：（1）龈即匿 龈 切符合不可压缩流的连续性方程。所以是不可压缩流。票+夺+笑=絮+警=0+33（2）既如斑既方(2)u =0, u =3xy。不符合不可压缩流的连续性方程。所以不是不可压缩流。算一算：不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件?莒k =+ 丁，约=x3- x（y - 2y）（1）（2）吼=忒+ 3% = xt -yt（3）（1）不连续；（2）连续；（3）连续二、理想流体运动微分方程理

28、想流体的动水压强特性与静水压强特性相同:dx,dy,dz，中心点压强为从理想流体中任取一 （x,y,z）为中心的微元六面体为控制体，边长为p（x, y, z），如图 3-24。受力分析（x方向为例）：1.表面力因为理想流体，所以U0珞=牛4 = 3-半宰z左表面土 s右表面图 3-242.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为X,匕乙所以x方向的质量力为X dxdydz F = ma由牛顿第二运动定律，x方向有：(P)dydz + JV/?dx;dydz= /?dx;dydz1 Qp 血 鬼 鬼鬼理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）y 1钮XP您色&li q li q- -7Zdu dLi

29、鬼 du 伽-寸=云土哉f苛+ &变dadbt鬼&dbt=令=专+吼镜+吟亏+吼专dadudu鬼du=苛二咨土云f苛+皿卷(3-10)适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。血x蚂血若加速度既世等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程（2-6）式考考你：在什么情况下，加速度会等于0,从而使（3 10）式转化为（2 6）式?当流体处于静止或相对平衡状态时三、粘性流体的运动微分方程1. 粘性流体的特点（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。切应力由广义牛顿内摩擦定律确定:错误!（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即PxN Pyy更Pzz

30、o 任 一点动压强由式（2-5）为:2. 实际流体的运动微分方程式图 3-25同样取一微元六面体作为控制体，如图3-25。x向受力左右向压力、上下向切力、前后面切力、质量力x方向（牛顿第二运动定律=次）x pdxdydz + 夺 dx）dydz-女也-（& + 令明）dxdz必取-（& +令 也）如叔也 + 性+ 性 =考虑条件：1）不可压缩流体的连续性微分方程（3-9）： dx 坎 欢2）切应力与主应力的关系表达式（3-11）。可得不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S）方程也一羔雀伞一&1 - QliQl.z?r_- -X FZdt x y (

31、fy z dz(3-12)拉普拉斯算符寸=希+景+参，例想一想：N-S方程与欧拉运动微分方程有何联系?N-S 当流动流体的运动粘度等于0,即为理想流体时，N-S方程即为欧拉运动微分方程。第四节欧拉运动微分方程的积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程组（3-10）各式分别乘以dx, dy, dz （流场任意相邻两点间距ds的坐标分量），然而相加得:3-13)一、在势流条件下的积分考虑条件1. 恒定流：列 ；必2. 均匀不可压缩流体，即=const,；3. 质量力

32、只有重力，即X=Y=0，Z=-g；如卜 3皿 如工 3uzW = 苗=或而=不因此，（3-13）式中各项为： Ydy + Zdz = -gz如二淳女+堡明+旬也）=成p ac ay dz p（考虑 欧拉加速度的表达式（3-3）（引入有势流动的条件4）=&!（忒+蚌+武）版（忒（忒+y+、dz=土勺*+土与心为zat 2 妙 2 az 2由以上得:积分得:理想势流伯努利方程(3-14)芭*& +毒=（3-15）物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“”所示）符号说明物理意义几何意义3单位重流体的位能（比位能）位置水头

33、单位重流体的压能（比压能）压强水头且单位重流体的动能（比动能）流速水头口且单位重流体总势能（比势能）测压管水头2s总比能总水头二、沿流线的积分1. 只有重力作用的不可压缩恒定流，有 gdz d2.恒定流中流线与迹线重合:沿流线（或元流）的能量方程：z+L = c愿电（3-16）注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相 同（有旋流）。（应用条件：”所示，可以是有旋流）判断：公式（3 14）与公式（3 16）两式形式完全相同，因此其应用条件也相同。你的回答：错思考题1. 实际流体区别与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有

34、何联系？实际流体具有粘性，存在切应力：实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程 增加了中干粘性而产生的切应力这一项。2. 连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？一般形式，恒定流，不可压缩流：质量守恒。3. 欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。第五节恒定平面势流一、基本方程组对于不可压缩恒定二元势流，有1. 平面无旋，即气 ；% =性=02. 恒定流

35、，即击 击 ；3. 不可压缩流体，即p =const。因此粘性流体的运动方程（3-12）可简化为：乂-分票=屿祭+警；（3-17）（3-18）F-分券=虬缪+缶警:不可压缩流体的连续性微分方程（3-9）为: 票+警=。二、流速势函数（势函数）观看录像a敬_淑胃 -存在条件：不可压缩无旋流，即的=或皈必要条件5存在全微分d中直角坐标也dx +吟妙二（1倒=祭叔+岑必（3-19）式中：9无旋运动的流速势函数，简称势函数。-势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有:（3-20）适用条件：不可压缩流体的有势流动。问题1：流速势函数存在的必

36、要与充分条件是：A、平面无旋流动；B、理想流体平面流动；C、不可压缩流体平面流动;。、无旋流问题2：设流速势函数9=xyz，则点B（1，2， 1）A、 5；B、 1；C、 3；处的速度uB为：D、2。极坐标d? =+峋=*器(3-21)判断：势函数只在不可压缩流体的有势、平面流动中存在。你的回答:三、流函数1. 流函数存在条件：不可压缩流体平面流动。直角坐标版|电险一粉 连续性微分方程：敬 叩 淑即必要条件君%存在全微分dyW = -妙+5 =票&+告妙(3-22)式中：y不可压缩流体平面流动的流函数。适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。流函数的拉普拉斯方程形

37、式对平面势流，有，则（3-23）适用条件：不可压缩流体的平面有势流动。极坐标W-虬 d广虬叩（3-24）2. 流函数的物理意义（1）流函数等值线中冒=就是流线。W（e）= CW = 一与dx + 均明=0dr dy得平面流线方程（3-1）：也 与，得证。（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差dy等于这两条流线间所通过的单位宽 度流量dq。图 3-26AB断面所通过流量：dq = ux6n = u-瘁d阿=U 口口畛,工）+ 与血=虬明 +缶（一场=tidy-tiydcc=d俨例1:平面点源（汇）流动，如图3-27：。（1）问是否为有势流。（2）若有势，求流速势祥（3）是否为不

38、可压缩流体。（4）求平面流动的流函数V。解：（1）所以为有势流。（2）采用极坐标：u =0=+=dr = dr = J=Clnr+ const = Cn J寸 +y2 + constCx 如 口布rx2 + y2 &x另解：/Cx (y) = 0 /. q(y) = const /.(p = |Cln(? + y) +const=号颐/+尸）+火* =号 + =与W = C tan-1 (|) + C/x)稣I叫_c（y己| eV尸）t欲 即仃+尸）“ 3* 厂所以为不可压缩流。另解：rC2 (x)= 0 /. C2(x) = consty:.W = C tan () + const = CO

39、 + const x所以流线为通过原点的射线。例 2有下面二个流动（a）u=1,u=2； （b） u=4x,u=-4yxyxy试求：（1）判别流动（a）中是否存在流函数？若存在，求流函数W。（2）判别流动（b）中是否存在势函数？若存在，求势函数祥冬如登=0 冬+些二0存在流函数。解：（1）/故满足连续性方程，d = 孚叔+琴 dy=-吟女+也奶 方法一： 熊 妙.w=y+c(x)C(x)=-2x+C1故 w=y-2x+q方法二W =-迪+虹吟-8积分得：v =y-2x+C1.S _ a（4x）= dyBy虬_雄4对（） 徵如故满足连续性方程，存在流函数。空（k +穿夺=也dx+y方法一： 阪

40、分积分(p= J4xdx+C(y) = 2x2 + 十琴=藉丝“3 = 一令.C(y)=-2y2+C2故中=2x2-2y2+C2方法二:d归二 idx+吟dy 二 4xd?c + (-47)dy = d(2x2 - 2y2)积分得：中=2x2-2y2+C2例3已知流场的流函数 y=ax2-ay2；（1）证明此流动是无涡流；（2）求出相应的速度势函数；（3）证明流线与等势线正交。解：（1）该流场为二元流，速度分量与流函数的关系式如下:所以此流动为无涡流，存在速度势函数。（2）求速度势函数的 g 一、 叫=诙=诙=*- w=J务血=_口即血=_旬工+cv）（1）现在来确定C（y）；为此将上式对y取

41、偏导数因而C（y）=0，即C（y）=C（y为常数）将上式代入（1）式，即得到流速势函数9= -2axy+C（3）等流函数线就是流线，其方程为流线上任一点的斜率为de? = 0等流速势线就是等势线，其方程为：件改 m2在同一点上等势线的斜率为=也=_冬dr Uy*.* m X m2 =-1 ；流线与等势线在该点上相互正交。想一想：平面流体流动中的固体壁面可以看作是一条流函数等值线吗?可以，因为固体壁面往往可作为零流线来考虑。四、流网流网（flow net）：不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转角速度的情况下，流线簇与等势线簇构成的正交网格。存在条件：不可压缩平面势流。1. 流网的性质（1）

42、等势线与等流函数线处处正交证明:等势线簇：中（x,y）=Cu.dr叫Monst约为等势线斜率等流线簇：W（x,y）=C*哗=const也为流线斜率dx|5女=-1!，!=0：| tv t得证。（2）流网中每一网格的边长之比等于研唧的增值之比（），若取 9=AV，则流网网格为正方形网格。证明：取相邻两线间的差值为AC，流线间隔为An，等势线间隔为 sAs= zh图 3-28流网为正交正方形网格。判断：土坝渗流中的流网网格一定是直线正方形网格。错2. 流网的绘制（1）图解法1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然沿固体边界流动，所以固体边界本身是流线之一。等势线与边界正交。

43、2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。（2）电比拟法3. 流网的应用流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。流速场：因流网中，任两相邻流线之间Aj相同，亦即网格内流量疗常数，又% 所以各网格内（流速与间距Dn成反比）。已知一点流速*其他各点流速PE _织_ 7谖一谱压强场：庞一谗一 21 F-已知一点压强五、势流叠加原理A其他各点压强势流叠加原理：流速势可以进行叠加。当几个势流叠加后，其流动仍为势流。例1：求均匀流与点源流动叠加后的流动均匀

44、流:点源流:解：叠加后的流速势函数与流函数均匀流：图 3-29d阳=也女+吟妍=佛二工+ C岫二一吗女+屿奴=%）奶.审该流网如图3-29所示。点源流:d? = Wj.dr + Lrd=.侧=ln 厂+ Cd# =碑厂d& +碌dr =髡（1日. 二是召 + C即流线是辐射线，等势线是一簇与流线正交的同心圆（图3-30）。叠加后的流速势函数与流函数（图3-31）孕=阳 + 例=险工+子 In r = 1003 + -ln=险工+子1门Jx3 +y罕=tyy + -3-9 = irsin + 2ji2ji图 3-30图 3-31通过滞止点的流线方程叠加后的流动流速场通过滞止点的流线为：町湖+如=

45、C工，则有： 2,- 工，叫）有in白+条（疥一对=0通过滞止点的流线：代 通过滞止点或晶（A&）=晶一盆飞）当-绘得流网如图3-31所示。结论：通过滞止点的流线将流场分为两部分；由均匀流引起的这部分流量皆在这条流线之外流动，而 由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且 仅考察其外部绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。例2： 对于下面平面点源汇流动，如图3-32： * “所以为无旋流。（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a），此时:因:上式中积分常数可任意给定，现取积分常数C等于0，由该式可见，等势线是一簇以原点为 圆心的同心圆（r

46、=const）国1俨=一吟女+虬明（3）因：上式中含q=0时也=0，则积分常数为零，从上式中可见，流线是一簇通过原点的射线（疗const ）， 由此说明了等势线与流线互相正交。（4）由平面势流流场的伯努利方程，若不计重力的影响，应错误!将 广代入整理得图 3-33可设rT3时u=0，p=Pg则C= Pg，于是所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图（3-33）所示。最后，上式中C的确定：由单位深度（尸1）的流量称为平面点源（汇）强度。思考题1. 实际流体与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？实际流体具有粘性，存在切应力：实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想

47、流体运动微分方程 增加了由于粘性而产生的切应力这一项。2. （1）连续性微分方程有哪几种形式？（2）不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题?（1）一般形式，恒定流，不可压缩流；（2）质量守恒。3. 欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同?形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。4. 流函数、势函数的存在条件各是什么？它们是否都满足拉普拉斯方程形式？为什么？流函数存在条件是不可压缩平面流：势函数存在条件是有势流：若是不可压缩平面势流则均满

48、足拉 普拉斯方程形式5. 流函数有哪些物理意义？答案：（1）流函数等值线 心泌= 就是流线。（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差dy等于这两条流线间所通过 的单位宽度流量dq。6. 什么是流网？流网有些什么性质？有哪些应用？答案：流网（flow net）:不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转速度的情况下，流线族与等 势线族构成的正交网格。流网的性质：1）等势线与等流函数线处处正交。2）流网中每一网格的边长之比等于研唧的增值之比（），若取 9=AV，则流网网格为正方形 网格。流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等本章小结一、基本概念1. 基本

49、概念及其性质流线的性质：a. 同一时刻的不同流线，不能相交。b. 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。c. 流线簇的疏密反映了速度的大小。流函数的性质：流函数等值线w（x，y）=C就是流线；dV =d0。流网的性质：流网网格为正交网格。存在条件：不可压缩平面势流。理想流体的伯努利方程物理意义：季+史+P 2是单位质量流体的伯努利方程。因该式由欧拉运动方程推得，而欧拉运动方程是在推导中在等式两边各除以pdxdydz所得，故是对单 位质量而言的。若除以dxdydz则得单位体积流体能伯努利方程：U2pgz + p + p = const若除以gdxdydz则得单位重流体能伯努利方程:芭*&*= 物理

50、意义几何意义Z单位重流体的位能（比位能）位置水头单位重流体的压能（比压能）压强水头Z +总比能总水头2g单位重流体的动能（比动能）流速水头 口且单位重流体总势能（比势能）测压管水头2. 描述流体运动的两种方法（拉格朗日法和欧拉法）欧拉加速度:元流:三兀流:du业皿土、击亡 票=口，恒定流。当地加速度，用 duu布du迁移加速度，诙，均匀潦。3. 流体的流动分类及其判别:层流有序紊流（湍流）无序、紊乱随时间变化恒定流（定常流）非恒定流：零尹口随流程变化新变流（缓变流）:接近均驾流在同一.过 断面上 !Z+=.Vomt非均匀流急变流：加速度惯性力不可忽略。至=史=冬=由 迹线方程：临与格dx _

51、dy _ dz流线方程：也与t为自变量存在条件：无旋流，无旋势流:理想流体的伯努利方程：（能量方程）一元流：流速沿一个运动方向，流速用断面平均感示。按空间坐标分- 二元流：咆约，码中必有一项为0。三元流：点朋机及：。残*0有成流（涡流）袈一岩土尹口或 萼一警芋口或 碧瓷-芋0 角转速J无旅流（势流.有势流）2当_警=口且盖-法=。且曾_祭=口二、平面势流基本方程及其应用t为参数dry = -rcdx + Ldy = O,w/ = const对于平面流动又有：*流函数：d# = 一缶dx +也dy =架dx+孚妙字=屿零二%叩=心存在条件：平面流动，不可压缩流体。势函数：票=屿,务 即有势流动，

52、符合平面不可压缩流体连续性方程。适用条件：a类：理想流体，质量力只有重力，恒定，不可压缩，无旋。b类：理想流体，质量力只有重力，恒定，不可压缩，沿流线（一元、二元、三元流均可）。连续性方程8（孕）+瓦再）卜8（孕）日% 二 通式：F 而 矿石一不可压缩：条件：a无任何条件；b不可压缩，其余不限。流函数和势函数的关系赫_如如_ 如适用条件：势流及。W的其他存在条件。时=网+地+势流叠加后仍为势流。三、解题方法1. 求迹线方程：t为自变量，消除积分常数时保留t。2. 求流线方程：t为参数，消除积分常数时同时消除t。平面问题：州=0，旷C。3. 求j或y问题类型：-海_ 3申dx B甲_ B整互求：。诙已知u , u ,u ,求中或甲。求解方法:a.由伸F取+峰规叩=叫女+也如直接积分（1）b.（2）由（1）式得： （3）dtp _町屿女+以刃求导得：苛切代入（2）式得：C（y）于 得：C（y）了（y）+C代入（3）式得4. 判别可压缩性：禁+学+华=0虫物成为不可压缩流体。判别流动是否可能发生：。（& 卜 eg） | a（.叫）+ 塑二飙 莎 压 携则流动可能发生。5. 判别流动分类按小结中第一大点中第3小点判别。