第五节对坐标的曲面积分

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1、一、基本概念一、基本概念二、引例二、引例三、定义及性质三、定义及性质四、计算四、计算五、两类曲面积分的关系五、两类曲面积分的关系上页上页返回返回下页下页高等数学上一节我们讲述了对面积的曲面积分，上一节我们讲述了对面积的曲面积分，这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。同样我们也要讲述两类曲面积分：同样我们也要讲述两类曲面积分：对面积的曲面积分（第一类）对面积的曲面积分（第一类）对坐标的曲面积分（第二类）。对坐标的曲面积分（第二类）。前面我们讲述了两类曲线积分：前面我们讲述了两类曲线积分：弧长曲线积分（第一类）弧长曲线积分（第一类）坐标曲线积分（第二类）。坐标曲线积分

2、（第二类）。一、基本概念一、基本概念上页上页返回返回下页下页高等数学观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧1.有向曲面（曲面的侧向）有向曲面（曲面的侧向）上页上页返回返回下页下页高等数学n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面上页上页返回返回下页下页高等数学莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:曲面通常都是双侧的，具体分类如下：曲面通常都是双侧的，具体分类如下：上页上页返回返回下页下页高等数学（1）若曲面方程为）若曲面方程为 z=z(

3、x,y)，则将曲面分为上、下则将曲面分为上、下两侧。两侧。)1,(yxzz此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，)1,(1yxzzn 朝朝上，代表曲面的上侧，上，代表曲面的上侧，)1,(2 yxzzn朝朝下，代表曲面的下侧。下，代表曲面的下侧。（2）若曲面方程为）若曲面方程为 y=y(x,z)，则将曲面分为左则将曲面分为左、右右两侧。两侧。),1,(zxyy 此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，),1,(1zxyyn 朝朝右，代表曲面的右侧，右，代表曲面的右侧，),1,(2zxyyn 朝朝左，代表曲面的左侧。左，代表曲面的左

4、侧。（3）若曲面方程为）若曲面方程为 x=x(y,z)，则将曲面分为前、后则将曲面分为前、后两侧。两侧。),1(zyxx 此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为上页上页返回返回下页下页高等数学其中，其中，),1(1zyxxn 朝朝前，代表曲面的前侧，前，代表曲面的前侧，),1(2zyxxn 朝朝后，代表曲面的后侧。后，代表曲面的后侧。（4）若曲面为封闭曲面，方程为）若曲面为封闭曲面，方程为 F(x,y,z)=0，则将曲面分为内则将曲面分为内、外两侧。外两侧。),(zyxFFF 此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，一个朝内，代表曲面的内侧

5、，一个朝内，代表曲面的内侧，一个朝外，代表曲面的外侧。一个朝外，代表曲面的外侧。小结小结：（：（1）曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分；曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分；（2）曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。）曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面上页上页返回返回下页下页高等数学,2222azyx 例如：考虑封闭的球面例如：考虑封闭的球面 ：则则应将应将 分为内、外两侧，分为内、外两侧，取取,2222azyxF 则则222yxaz ),(zyxFFF),(2zyx 代表代表 的外侧，的外

6、侧，),(zyxFFF),(2zyx 代表代表 的内侧。的内侧。进一步，若将进一步，若将 分为上下两半球面，则分为上下两半球面，则 的方程为的方程为 而而其中其中2221:yxaz 代表上半球面，代表上半球面，2222:yxaz 代表下半球面，代表下半球面，上页上页返回返回下页下页高等数学,2222azyx 例如：考虑封闭的球面例如：考虑封闭的球面 ：xy0z1 则则应将应将 分为内、外两侧，分为内、外两侧，2221:yxaz 代表上半球面，代表上半球面，2222:yxaz 代表下半球面，代表下半球面，2 此时，此时，21 和和均应分为上、下两侧均应分为上、下两侧其中：若其中：若 取外侧，则取

7、外侧，则1 应取上应取上侧，侧，2 应应取下侧，取下侧，若若 取内侧，则取内侧，则1 应应取下侧，取下侧，2 应应取上侧，取上侧，上页上页返回返回下页下页高等数学2.2.有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影 xyS)(xyz0 S yx)(nn的的方向余弦记为方向余弦记为)cos,cos,(cos0 n设设 是一个有向曲面，是一个有向曲面，法法向量向量n的方向与的方向与 的侧向一致的侧向一致假设在假设在 S 上，上，cos 不变号不变号则则 S 在在 xoy 面上的投影规定为面上的投影规定为 时时当当0cos)(xy时时当当0cos)(xy时时当当0cos0 类似地，可以定义类似地

8、，可以定义 S 在在 yoz 和和 xoz 面上的投影。面上的投影。上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系xyz0 S yx)(n（1）设）设 的方程为：的方程为：),(yxzz ,)()(xyyxS 若若 取上侧，取上侧，则则 的法向量为的法向量为)1,(yxzzn 显然在显然在 S 上，上，cos 0 不变号不变号所以所以,)()(xyyxS 若若 取下侧，取下侧，则则 的法向量为的法向量为)1,(yxzzn显然在显然在 S 上，上，cos 0 不变号不变号所以所以上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐

9、标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系xyz0 S yx)(n（1）设）设 的方程为：的方程为：),(yxzz yxS)(取上侧取上侧若若 ,)(xy 取下侧取下侧若若 ,)(xy 注意：注意：取上侧取上侧0cos )1,(yxzzn 投影取正投影取正（2）若）若 的方程为：的方程为：),(zxyy zxS)(取取右右侧侧若若 ,)(xz 取左侧取左侧若若 ,)(xy 上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系xyz0 S yx)(n（1）设）设 的方程为：的方程为：),(yxzz yxS)

10、(取上侧取上侧若若 ,)(xy 取下侧取下侧若若 ,)(xy 注意：注意：取上侧取上侧0cos )1,(yxzzn 投影取正投影取正（3）若）若 的方程为：的方程为：),(zyxx zyS)(取取前前侧侧若若 ,)(yz 取后侧取后侧若若 ,)(yz 上页上页返回返回下页下页高等数学二、概念的引入举例：举例：流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.Avn A2)1(cosvA nvA n为为与与 A 的侧向一致的的侧向一致的通过通过 A 流向流向n所指一侧所指一侧的的流量就是该斜柱体的体积流量就是该斜柱体的体积1.设有一有向平面区域设有一有向平面区域 A，今有今有一流速为常向量一流速为常向量v的

11、的流速场，流速场，单位法向量，单位法向量，为为,之间的夹角之间的夹角与与nv求求单位时间内通过单位时间内通过 A 流向流向n所指所指一侧的一侧的流量。流量。上页上页返回返回下页下页高等数学Avn A,2)1(nvA n为为与与 A 的侧向一致的的侧向一致的通过通过 A 流向流向n所指一侧的所指一侧的流量流量 1.设有一有向平面区域设有一有向平面区域 A，今有今有一流速为常向量一流速为常向量v的的流速场，流速场，单位法向量，单位法向量，为为,之间的夹角之间的夹角与与nv求求单位时间内通过单位时间内通过 A 流向流向n所指所指一侧的一侧的流量流量 。,2)2(,0 此时此时但但0 nv所以仍然有所

12、以仍然有nvA v在在平面内平面内因此因此上页上页返回返回下页下页高等数学Avn A,2)3(此时流体实际流向此时流体实际流向n 所指一侧所指一侧n为为与与 A 的侧向一致的的侧向一致的（1）设有一有向平面区域）设有一有向平面区域 A，今有今有一流速为常向量一流速为常向量v的的流速场，流速场，单位法向量，单位法向量，为为,之间的夹角之间的夹角与与nv求求单位时间内通过单位时间内通过 A 流向流向n所指所指一侧的一侧的流量流量 。其其大小为大小为的流量仍然为的流量仍然为nvA cos|vA nvA )(nvA 因此通过因此通过 A 流向流向n所指一侧所指一侧总之，流体通过总之，流体通过 A 而流

13、向而流向n所指一侧的所指一侧的流量总可表示为流量总可表示为nvA 上页上页返回返回下页下页高等数学xyzo 是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面,上页上页返回返回下页下页高等数学xyzo iS),(iii ivin(1)分割分割记该点流速为记该点流速为 .iv单位法向量为：单位法向量为：in),(iiiivv iPiii),(jQiii),(,),(kRiii kjiiii coscoscos in的的方向与方向与 的侧向一致的侧向一致上页上页返回返回下页下页高等数学iPviiii),(jQiii),(,),(kRiii (2)求近似求近似：在单位时间内通过：在单位时间内通过iS

14、而而流向流向 指定指定).,2,1(niSnviiii niiiiSnv1而而通过整个通过整个 流向指定侧的流量为流向指定侧的流量为 niiiiiP1cos),(iiiiQ cos),(iiiiiSR cos),(侧的流量为侧的流量为(1)分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv单位法向量为：单位法向量为：inkjiiii coscoscos 上页上页返回返回下页下页高等数学yzniiiiiSP)(,(1 yzniiiiiSP)(,(lim10 iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 niiiiSnv1(3)取极限，求精确值取极限，求精确值令令 为所有小

15、块曲为所有小块曲xziiiiSQ)(,()(,(xyiiiiSR )(,(xyiiiiSR xziiiiSQ)(,(xyzo iS),(iii ivin面直径的最大值，则面直径的最大值，则上页上页返回返回下页下页高等数学三、对坐标的曲面积分的定义及性质三、对坐标的曲面积分的定义及性质定义：设定义：设 为光滑有向曲面，为光滑有向曲面，R(x,y,z)在在 上有界上有界首先，将首先，将 任意分成任意分成 n 块小曲面：块小曲面：,21nSSS iS 在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为,)(yxiS,2,1ni 其次，在其次，在iS 上任取一点上任取一点),(iii 做做乘积乘积,)(),(

16、yxiiiiSR 并作和并作和,)(),(1 niyxiiiiSR 令令 为所有小块曲面直径的最大值，为所有小块曲面直径的最大值，如果极限如果极限,)(),(lim10 niyxiiiiSR 总存在，总存在，则称此则称此极限为极限为 R(x,y,z)在在 上对坐标上对坐标 x,y 的曲面积分。的曲面积分。上页上页返回返回下页下页高等数学 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(积分和积分和以上三个对坐标

17、的曲面积分统称为第二类曲面积分。以上三个对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分。上页上页返回返回下页下页高等数学存在条件存在条件:组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPv),(),(),(上页上页返回返回下页下页高等数学性质性质:与第二类曲线积分的性质完全相似、例如与第二类曲线积分的性质完全相似、例如 21RdxdyQdzdxPdydz dydzzyxPdydzzyxP),

18、(),(线性性质、有限可加性等线性性质、有限可加性等 1RdxdyQdzdxPdydz 2RdxdyQdzdxPdydz若用若用 表示与表示与 取相反侧向的有向曲面，则取相反侧向的有向曲面，则 dzdxzyxQdzdxzyxQ),(),(dxdyzyxRdxdyzyxR),(),(上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法),(yxzz xyDxyzoxyi)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(yxzz yxD为为 在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域首先将首先将 的方程表为的方程表为在在 上任取一小块区域上任取一小块区域（1）取上侧，则

19、取上侧，则在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为iS iS,)(xyi 投影为投影为,)(xyiS),1,(yxzzn n,)()(xyixyiS ),(iiiz 代入代入上述积分和中得上述积分和中得上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(yxzz xyDxyzoxyi)(n（1）取上侧，则取上侧，则,)()(xyixyiS ),(iiiz dxdyzyxR),(nixyiiiiizR10)(,(,lim xyDdxdyyxzyxR),(,（2）取下侧，则取下侧，则,)()(xyixyiS ),(i

20、iiz 上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(yxzz xyDxyzoxyi)(n（1）取上侧，则取上侧，则,)()(xyixyiS ),(iiiz （2）取下侧，则取下侧，则,)()(xyixyiS ),(iiiz dxdyzyxR),(nixyiiiiizR10)(,(,lim xyDdxdyyxzyxR),(,上页上页返回返回下页下页高等数学 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,其中，其中，取上侧，积分取正，取上侧，积分

21、取正，取下侧，积分取负。取下侧，积分取负。计算计算 dxdyzyxR),(的的步骤步骤（1）将）将 的方程写成的方程写成),(yxzz （2）将）将 投影到投影到 xoy 面上，得投影区域面上，得投影区域 xyD（3）将）将 z=z(x,y)代入被积函数，代入被积函数，的侧分为上、下侧的侧分为上、下侧将将 换为换为xyD（4）根据）根据 的侧向确定二重积分的符号。的侧向确定二重积分的符号。上页上页返回返回下页下页高等数学 dydzzyxP),(dzdxzyxQ),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.类似地类似地 yzDdydzzyzyxP,)

22、,(其中，其中，),(zyxx 为为 的方程，的方程，取前侧，二重积分取正，取前侧，二重积分取正，取后侧，二重积分取负。取后侧，二重积分取负。yzD为为 在在 yoz 面上的投影区域面上的投影区域 xzDdzdxzzxyxQ),(,其中，其中，),(zxyy 为为 的方程，的方程，取右侧，二重积分取正，取右侧，二重积分取正，取左侧，二重积分取负。取左侧，二重积分取负。xzD为为 在在 xoz 面上的投影区域面上的投影区域上页上页返回返回下页下页高等数学例例1：计算：计算 dxdyzdxdzydydzxI222.0,0,0:czbyax 其中其中取外侧取外侧解：解：xzy01 2 3 4 5 6

23、 61 考虑考虑 dxdyz2的的计算计算6543,及及在在 xoy 面上的投影均为面上的投影均为 线段线段而在而在2 上，上，,0 z取下侧取下侧 22dxdyz xyDdxdy0所以所以0 dxdyz2 12dxdyzabc上页上页返回返回下页下页高等数学例例1：计算：计算.0,0,0:czbyax 其中其中取外侧取外侧解：解：61 ,:1cz xzy01 2 3 4 5 6 abc取上侧取上侧byaxDxy 0,0:dxdyz2 xyDdxdyc2bac2 dxdyzdxdzydydzxI222由由坐标轮换性可得坐标轮换性可得 dzdxy2 dydzx2,2bca,2cba 所以所以 d

24、xdyz2 12dxdyz上页上页返回返回下页下页高等数学例例1：计算：计算.0,0,0:czbyax 其中其中取外侧取外侧解：解：61 xzy01 2 3 4 5 6 abc dxdyzdxdzydydzxI222 dxdyz2bac2 dzdxy2 dydzx2,2bca,2cba 所以所以222abccabbcaI 注意注意：1.要保持要保持 与各与各i 在侧在侧向上的一致性向上的一致性;2.善于使用坐标轮换特征。善于使用坐标轮换特征。上页上页返回返回下页下页高等数学解解;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 分析：计算对分析：计算对 x,y 的曲面积分的曲面积分必须：

25、必须：（1）将）将 投影到投影到 xoy 面上；面上；（2）将）将 的方程表为的方程表为.),(yxzz 由于由于,122yxz 故故,21 其中其中取下侧取下侧取上侧，取上侧，它们在它们在 xoy 面上的投影区域相同。面上的投影区域相同。,1:22 yxDxy0,0 yx上页上页返回返回下页下页高等数学解解xyz2 1 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 取上侧取上侧取下侧，取下侧，,1:22 yxDxy0,0 yx xyzdxdy 1xyzdxdy 2xyzdxdy xyDdxdyyxxy)1(22 xyDdxdyyxxy221 xyDdxdyyxxy2212上页上页返回返回下页下

26、页高等数学解解xyz2 1 ,1:22 yxDxy0,0 yx xyzdxdy 1xyzdxdy 2xyzdxdy xyDdxdyyxxy2212 102201cossin22 dd 20sinsin d152 102221 d上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取取上侧。上侧。解：解：xyz0 2222)(zyxdxdyazxdydza adxdyazxdydza2)(xdydz dxdyaza2)(1 dxdyaz2)(xyDdxdyayxa2222)(nxyD上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计

27、算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解：xdydzI dxdyaza2)(1 dxdyaz2)(xyDdxdyayxa2222)(adaad02220)(361a xyz0 xyDn取取上侧。上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解：xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn为了计算为了计算 xdydz（1）将）将 的方程表为的方程表为,222zyax ,0 z,:2221zyax 取后侧取后侧,:2222zyax 取取前侧前侧,:222

28、azyDyz （2）将）将 投影到投影到 yoz 面面,0 z取取上侧。上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解：xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn,:2221zyax 取后侧取后侧,:2222zyax 取取前侧前侧,:222azyDyz ,0 z xdydz所以所以 1xdydz 2xdydz yzDdydzzya222 yzDdydzzya)(222 yzDdydzzya2222取取上侧。上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyaz

29、xdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解：xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn xdydz yzDdydzzya2222,:222azyDyz ,0 zyzyzDa a adad02222 332a 333261aaI 321a 取取上侧。上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学五、两类曲面积分之间的联系xyD),(yxzz xyzodsn考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD（1）取上侧，取上侧，)1,(yxzzn )1,(1122yxyxnzzzze )cos,cos,(cos dxdy

30、zyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD（1）取上侧，取上侧，)1,(yxzzn )1,(1122yxyxnzzzze )cos,cos,(cos dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dSzyxR cos),(而而 dSzzzyxRyx2211),(xyDyxzzyxzyxR2211),(,dxdyzzyx221 dS上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在

31、 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD（1）取上侧，取上侧，)1,(yxzzn )1,(1122yxyxnzzzze )cos,cos,(cos dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dSzyxR cos),(而而 xyDdxdyyxzyxR),(,所以所以 dxdyzyxR),(dSzyxR cos),(上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD（2）取下侧，取下侧，)1,(yxzzn)1,(1122 yxyxnzzzze)cos,cos,(cos dxdy

32、zyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dSzyxR cos),(而而 dSzzzyxRyx2211),(xyDyxzzyxzyxR2211),(,dxdyzzyx221 dS上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD（2）取下侧，取下侧，)1,(yxzzn)1,(1122 yxyxnzzzze)cos,cos,(cos dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dSzyxR cos),(而而 xyDdxdyyxzyxR),(,所以亦有所以亦有 dxdyzyxR),

33、(dSzyxR cos),(上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分 dxdyzyxR),(),(:yxzz 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD)cos,cos,(cos ne则则无论无论 取上、下那一侧，均有取上、下那一侧，均有 dxdyzyxR),(,cos),(dSzyxR 是是与与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的的方向余弦，方向余弦，rdSdxdycos,cos),(dSzyxP dydzzyxP),(,cos),(dSzyxQ dzdxzyxQ),(dSdzdx cos dSdydz cos 同理同理 RdxdyQdzdxPdydz dSRQ

34、P)coscoscos(上页上页返回返回下页下页高等数学),(dxdydzdxdydz dSzyxP cos),(dydzzyxP),()cos,cos,(cos ne是是与与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的的方向余弦，方向余弦，RdxdyQdzdxPdydz dSRQP)coscoscos(dS)cos,cos,(cos coscos),(dxdyzyxP dxdyzyxP coscos),(dzdxzyxQ),(dxdyzyxP coscos),(上页上页返回返回下页下页高等数学)cos,cos,(cos ne是是与与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的的方向余弦，方向余弦，R

35、dxdyQdzdxPdydz dSRQP)coscoscos(dydzzyxP),(dxdyzyxP coscos),(dzdxzyxQ),(dxdyzyxP coscos),(RdxdyQdzdxPdydz dxdyRQP)coscoscoscos(将三个将三个不同的对坐标曲面积分转化为同一个曲面积分不同的对坐标曲面积分转化为同一个曲面积分上页上页返回返回下页下页高等数学 RdxdyQdzdxPdydz dxdyRQP)coscoscoscos(假设假设 的方程为的方程为),(yxzz )1,(yxzzn )1,(1122yxyxnzzzze )cos,cos,(cos coscos所以无论

36、所以无论 取上、下那一侧，总有取上、下那一侧，总有,xz coscos,yz 故故 RdxdyQdzdxPdydz dxdyRzQzPyx)(分别代表上、下两侧，分别代表上、下两侧，上页上页返回返回下页下页高等数学假设假设 的方程为的方程为),(yxzz RdxdyQdzdxPdydz dxdyRzQzPyx)(同理可同理可得：得：若若 的方程为的方程为),(zyxx 则有则有 RdxdyQdzdxPdydz dydzxRxQPzy)(若若 的方程为的方程为),(zxyy 则有则有 RdxdyQdzdxPdydz dzdxyRQyPzx)(上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：由于由于 ：)

37、,(2122yxz ,xzx,yzy dxdyRzQzPRdxdyQdzdxPdydzyx)(zdxdydydzxz)(2 dxdyzxxz)(2 dxdyzxzx)(22上页上页返回返回下页下页高等数学 zdxdydydzxz)(2 dxdyzxzx)(22 xyDdxdyyxxyxx2)2(2222224|),(22 yxyxDxy由由对称性得对称性得0)2(222 xyDdxdyyxx解：解：上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：zdxdydydzxz)(2 dxdyzxzx)(22 xyDdxdyyxxyxx2)2(222222由由对称性得对称性得0)2(222 xyDdxdyyxx

38、 zdxdydydzxz)(2 xyDdxdyyxx)2(222上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：zdxdydydzxz)(2 xyDdxdyyxx)2(2224|),(22 yxyxDxy 2022220)21cos(dd 203202)21(cos dd 8 上页上页返回返回下页下页高等数学例例5：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取取上侧。上侧。解：解：xyz0 2222)(zyxdxdyazxdydza adxdyazxdydza2)(nxyD dxdyazzxaax)()(12 dxdyazyxaxxaa)()(12222222

39、:ayxDxy 上页上页返回返回下页下页高等数学例例5：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取取上侧。上侧。解：解：2222)(zyxdxdyazxdydza dxdyazyxaxxaa)()(12222222:ayxDxy xyDdxdyayxayxaxaa)(122222222 adaaaada022222220)(cos1 32a 上页上页返回返回下页下页高等数学六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.“b.“

40、一投一投,二代二代,三定号三定号”上页上页返回返回下页下页高等数学思考题思考题 设设 为球面为球面1222 zyx，若以其，若以其球面的外侧为正侧，试问球面的外侧为正侧，试问221zxy 之左侧之左侧（即（即oy轴与其法线成钝角的一侧）轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么是正侧吗？那么221zxy 的左侧的左侧是正侧吗？是正侧吗？上页上页返回返回下页下页高等数学思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，221zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.221zxy 上页上页返回返回下页下页高等数学作业上页上页返回返回下页下页高等数学一、一、填空题填空题:1 1、dzdxzyxQd

41、zdxzyxQ),(),(=_.2 2、第二类曲面积分、第二类曲面积分dxdyRQdzdxPdydz 化成第化成第 一类曲面积分是一类曲面积分是_，其中，其中 ,为有向为有向 曲面曲面 上点上点),(zyx处的处的_的方向角的方向角.二二、计计算算下下列列对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分:1 1、ydzdxxdydzzdxdy,其其中中 是是柱柱面面122 yx 被被平平面面0 z及及3 z所所截截得得的的在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分的的 前前侧侧；练练 习习 题题上页上页返回返回下页下页高等数学 2 2、yzdzdxxydydzxzdxdy,其中其中 是平面是平面 1,0,0,0 z

42、yxzyx所围成的空间区所围成的空间区 域的整个边界曲面的外侧；域的整个边界曲面的外侧；3 3、dxdyyxez 22,其中其中 为锥面为锥面22yxz 和和 2,1 zz所围立体整个表面的外侧所围立体整个表面的外侧.三、把对坐标的曲面积分三、把对坐标的曲面积分 dzdxzyxQdydzzyxP),(),(dxdyzyxR),(化化成对面积的曲面积分成对面积的曲面积分,其中其中 是平面是平面63223 zyx在第一卦限的部分的上侧在第一卦限的部分的上侧.上页上页返回返回下页下页高等数学练习题答案练习题答案一一、1 1、0 0；2 2、dSRQP)coscoscos(,法法向向量量.二二、1 1、23；2 2、81；3 3、22 e.三三、dSRQP)5325253(.