单服务台指数分布排队系统.ppt

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1、第6章 典型的排队模型分析,有限源 排队系统,无限源 排队系统,1个服务台,C个服务台,1个服务台,C个服务台,M/M/C/N/FCFS 混合制排队系统,M/M/1/N/FCFS 混合制排队系统,M/M/C/m/m/FCFS,M/M/1/m/m/FCFS,M/M/1/1/FCFS 损失制排队系统,M/M/C/C/FCFS 损失制排队系统,M/M/C/FCFS 等待制排队系统,M/M/1/FCFS 等待制排队系统,排队论模型逻辑框架,6.1.1单服务台指数分布排队系统 M/M/1无限源排队系统,一、最基本的单服务台排队模型 M/M/1/N/FCFS,6.1 客源无限的排队系统,1、系统的意义 顾

2、客按泊松流输入,平均到达率为； 服务时间服从负指数分布,平均服务率为； 1个服务台； 系统容量为N,顾客源无限,排队规则为先到先服务的混合制排队系统。 当顾客来到系统时,若系统中的顾客已经等于N，则自动离去,另求服务 。,生灭随机过程平稳状态的涵义,一般来说，要求得系统在任一时刻的任意状态出现的概率是很困难的，通常是求当系统达到平稳状态【顾客到达（生）=顾客离开（灭）】后的状态分布。 假设系统处于任一状态n，记录一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，“进入”与“离开”两种事件发生的平均概率是相等的。 当系统平稳后，对任意状态n，单位时间内进入该状态的平均次数和离开该状态的平均次数应该相等

3、，即系统在统计平衡下“转入率=转出率”。,2、状态转移速度图 （1）系统状态 ：系统中的顾客数。 （2）状态转移速度图：,M/M/1/N/FCFS系统状态转移速度图, 圆圈表示状态符号 ，箭头表示从一个状态到另一个状态的转移；,（3）写出状态转移速度矩阵，进而写出系统稳态条件下的状态概率平衡方程（简称状态概率方程）,状态转移速度矩阵的特点是: 每一行元素之和等于0。,注 意,转入率转出率,0 1 2 3 N-1 N,0 1 2 N-1 N,状态概率方程：P=0 （6-1） 其中， P=（P0，P1，P2，P3，PN）,把状态概率方程(6-1)打开,写成状态概率方程组,即可求出基本概率指标。(方

4、法1),P=0 第一项：,基本概率指标：,继续打开，计算整理得：,，1nN （6-2）,代入,得,于是,（6-3）,（6-4）,则,当系统处于稳态时，对每个状态来说，转入率应等于转出率。 根据这个结果，即可获得系统稳态条件下的状态概率方程，进一步即可计算稳态系统的各项运行数量指标。 当系统状态为0时，有,所以,得到状态概率方程组的第2种方法,当系统状态n1时，有,当系统状态n=N时，有,于是得到简化形式的稳态概率方程组：,，1nN （6-2）,代入,得,于是，得到P0的表达式（6-3）和Pn的表达式（6-4）。,P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率即服务台忙的概率（系统满的概率 或系统的损

5、失概率 ） P忙=1-P0 （6-5） 平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和平均队列长Lq：,（6-6）,（6-7）,有效到达率e（有效离去率e ）平均每单位时间进入（离去）系统的顾客数；在稳态情况下两者相等，因此有：,（6-8）,逗留时间ws和等待时间wq： 李泰勒(Little)证明了在很宽的条件下排队系统数量指标之间成立以下的关系式：,（6-9）,由平均服务率的定义可得到每个顾客的平均服务时间为1/，因此有：,（6-10）,其它： 由李泰勒公式还可得到： 平均队长和平均队列长的另一组计算公式：, 有效到达率的另一种计算公式 e=（1-PN）+0PN (系统不满时顾客以的速度 进入系统）

6、 =（1-P0）+0P0 （系统不空时顾客以的速度 离开系统） 系统平均每单位时间损失的顾客数 损=-e=PN 闲期和忙期,从服务台闲到下一个顾客来到的平均间隔时间是1/，因此平均闲期长为 T闲=1/ （6-11）,由于服务台忙闲间隔出现，故有： 平均忙期长T忙/平均闲期长T闲 =P忙/P闲=(1-P0)/P0，于是 T忙=T闲(1-P0)/P0=1/ (1-P0)/P0 (6-12),例6-1 某汽车加油站有一台油泵为汽车加油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车时，后来的汽车只能到别处加油。若需加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4辆。每辆车加油所需时间服从负指数分布，平均每辆需12min，试求

7、系统有关运行指标。 分析为什么是M/M/1/4/FCFS排队系统？ 选用适当公式计算有关指标,=4(辆/小时)，=1/(12/60)=5(辆/小时),于是：,P10.2380 P20.1904 P30.1523 P40.1218, Ls=P1+2P2+3P3+4P4=1.5629 e=(1-P4)=4(1-0.1218)=3.5128 Ws=Ls/e=1.5629/3.5128=0.4450(h) Wq=Ws-1/=0.245(h) Lq=Wqe=0.86 损=-e=0.4872 T忙=(1-P0)/P0=0.59(h),注 意,基本单服务台排队模型 M/M/1/N/FCFS,试画出M/M/1

8、客源无限的损失制排队系统的状态转移速度图，写出相应的状态转移速度矩阵及相应的基本数量指标表达式。,课堂练习6-1,（1）M/M/1损失制系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：,（2）系统在平稳时的状态概率方程：,（3）M/M/1损失制系统特征量计算公式,(6-13),例6-2 将例6-1中N改为1，则转化为损失制系统，即加油站中只能停放1辆汽车，当站中有车正在加油，后来的车辆均离去，另求服务。试计算相应的数量指标。 由题中知=4（辆/h），=5（辆/h），代入公式（6-13）计算得到：,每小时接待的顾客数为 e =P0+0P1 = =2.2（辆/h）,每小时损失的顾客数为 损=-e = 4-2

9、.2=1.8（辆/h）,可见,系统中可容纳的顾客数太少时,将导致系统损失太多的顾客。,二、M/M/1等待制排队系统,1、系统的意义：顾客按泊松流输入、平均到达率为，服务时间服从负指数分布、平均服务率为，1个服务台，系统容量和顾客源均为无限。当顾客来到系统时，若服务台忙，则顾客排队等待服务，排队规则为先到先服务的排队系统。,2、系统的状态转移速度图：,3、状态转移概率矩阵：,（6-14）,打开，即得：,4、状态概率方程：,&相应的数量指标通过进一步计算可简化成下面更简单的形式：,&在等待制系统中，要求/1,否则系统将是超负荷的,不能达到稳态而无法讨论。,M/M/1等待制系统特征量计算公式,(6-15),例6-3 将例6-1中N=4改为没有容量限制，则问题转化为M/M/1等待制系统。 根据式(6-15)求解相应的数量指标得：,第十四次作业 P219 习题6_3)： (1)，(3)，(5)；,