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1、第28章 圆本章总结提升问题1垂径定理垂直于弦的直径有什么性质？这个性质与圆的轴对称性有什么关系？例1 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如图28T1，若桥的跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R_米图28T1【归纳总结】与垂径定理有关的计算，通常需要作辅助线，常作的辅助线是连半径、作弦心距，从而构造直角三角形，利用勾股定理进行计算问题2弧、弦长、圆心角的关系及圆周角定理在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的中心对称性有什么联系？ 同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系
2、？ 圆的内接四边形有什么性质？例2 2017台州如图28T2，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是ABP的外接圆O的直径(1)求证：APE是等腰直角三角形；(2)若O的直径为2，求PC2PB2的值图28T2【归纳总结】在解决与圆心角和圆周角有关的综合问题时，经常添加辅助线，利用同弧(或等弧)实现圆心角和圆周角之间的转化问题3弧长与扇形面积例3 2017咸宁如图28T3，O的半径为3，四边形ABCD内接于O，连接OB，OD.若BODBCD，则的长为()图28T3AB. C2 D3例4 如图28T4，用一个半径为30cm，面积为300cm2的扇形铁皮，制作一个无
3、底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面圆的半径为()图28T4A5 cm B10 cm C20 cm D5 cm例5 如图28T5，在ABC中，ACB130，BAC20，BC4，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.(1)求BD的长；(2)求阴影部分的面积图28T5【归纳总结】利用公式进行计算的关键是找到题目中的基本图形，找出扇形，利用已知条件确定公式中各个字母的值，然后利用公式进行计算问题4圆中的转化思想在圆的计算中，常常遇到求一个不规则图形的面积问题，你是怎么处理的？例6 2017贵阳如图28T6，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB4，连接AD，AC，作DEAB，垂足为E
4、，DE交AC于点F.(1)求AFE的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留和根号)图28T6【归纳总结】在有关圆的面积计算问题中，如果所求面积的图形是规则图形，按规则图形的面积公式去求，如果所求面积的图形是不规则图形，则需运用转化思想，把不规则图形的面积运用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积来求“滚动”中的数学数学来源于生活，滚动处处可见在千姿百态的滚动中，如果我们稍加留神，将会发现很多有趣的数学问题就在我们身边1沿直线滚动例1 如图28T7所示，一枚直径为d的硬币沿着一条直线l滚动一圈，圆心经过的距离是多少？图28T7解：圆心经过的距离是d.例2 如图28T8
5、所示，边长为a的正方形四边贴着直线l向右“滚动”，当正方形“滚动”一周时，正方形的中心O经过的路程是多少？正方形的顶点A经过的路程又是多少？图28T8解：(1)如图28T9所示，当正方形四边贴着直线l “滚动”一周时，正方形的中心O所经过的路程为a4 a.图28T9(2)如图28T10所示，当正方形ABCD四边贴着直线l“滚动”一周时，顶点A所经过的路程为2 a22a.图28T102沿圆周滚动例3 如图28T11所示，已知两圆，其中大圆半径是小圆半径的5倍，将大圆固定(1)如果小圆在大圆外面贴着大圆边缘滚动一周，那么小圆自身旋转了几圈？(2)若小圆在大圆内部贴着大圆边缘无滑动地滚动一周，那么小
6、圆自身旋转了几圈？图28T11解：(1)如图28T12所示，设小圆半径为R，则大圆半径为5R.当小圆在大圆外贴着大圆边缘滚动，自身旋转一周时，小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数为n，则2R，得n60.又因为360606，所以当小圆在大圆外贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了6圈图28T12(2)如图28T13所示，设小圆自转一周时，小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数m，则2R，得m90，360904.所以当小圆在大圆内贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了4圈图28T133沿正方形滚动例4 已知半径为1的O与边长为10的正方形ABCD，当O在正方形ABCD的内部沿四边无滑动地滚动一周时，O经过的面积
7、是多少？当O在正方形ABCD的外部沿四边无滑动地滚动时，O经过的面积又是多少？解：当O在正方形ABCD内沿四边无滑动地滚动一周时，O所经过的面积为S102(104)2460.当O在正方形ABCD外沿四边无滑动地滚动一周时，O所经过的面积为S(104)21024804.4沿正多边形滚动例5 如图28T14所示，平面内一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方形成一个完整的“苹果”图案，如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边邻接，那么第一次恢复“苹果”的图案时，正方形要绕正五边形转_圈()图28T14A10B5 C4 D上述答案均不正确解析 C正方形
8、有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形绕正五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图案教师详解详析【整合提升】例125解析 根据垂径定理，得ADAB20米设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2202(R10)2，解得R25.故答案为25.例2解：(1)证明：ABAC，BAC90，CABC45，AEPABP45.PE是O的直径，PAE90，APEAEP45，APAE，APE是等腰直角三角形(2)ACAB，APAE，CABPAE90，CAPBAE，CAPBAE，PCEB.PE为O的直径，PBE90，PC2PB2EB2PB2PE2224.例3C解析 四边形ABCD内接于O，BCDA180.BOD2A，BO
9、DBCD，2AA180，A60，BOD120，的长为2.故选C.例4B解析 扇形的半径为30 cm，面积为300 cm2，扇形的圆心角为120(度)，扇形的弧长为20(cm)圆锥的底面圆的周长等于它的侧面展开扇形的弧长，根据圆的周长公式，得2r20，解得r10，圆锥的底面圆的半径为10 cm.故选B.例5解：(1)如图，作CHAB于点H.由题意，知B180AACB1802013030.在RtBCH中，CHB90，B30，BC4，CHBC2，BHCH2.CHBD，DHBH，BD2BH4. (2)连接CD，如图所示BCDC，CDBB30，BCD120.由(1)知，BD4，CH2，S阴影S扇形BCDSCBD424，即阴影部分的面积为4.例6解：(1)连接OD，OC.C，D是半圆O上的三等分点， AODCOB18060.CABCOB30.DEAB，AFE903060.(2) 由题意及(1)，可知OA2，DE2sin602，S阴影S扇形AODSAOD2，即阴影部分的面积为.
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