11.分式递推

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1、 第十讲:分式递推 37 第十讲:分式递推 分式递推数列特指数列an:a1=t,an+1=.其通项求解有如下四种类型. 1.基本类型()例1:(2008年陕西高考试题)(理)己知数列an的首项a1=,an+1=,n=1,2,.()求an的通项公式;()证明:对任意的x0,an,n=1,2,; ()证明:a1+a2+an.解析:()由an+1=-1=2()nan=;()令f(x)=(x)=-f(x)的最大值=f()=an;()令bn的前n项和为,则bn=1-,因an=1-,所以,anbn3n+22n(n+1),令g(x)=3x+2-2(x2+x)(x3)(x)=3xln3-2(2x+1)(x)=

2、3xln23-40(x)(3)0g(x)g(3)0当n3时,anbn且g(1)+g(2)0a1+a2b1+b2,所以,a1+a2+an.思想方法:数列an:a1=x,an+1=的通项,可由an+1=两边取倒数得:=c+,通过换元xn=得:xn+2=cxn+,由此求解.一般地,如果xn=,则xn+2=pxn+f(n)an+1=.类题:1.(2008年陕西高考试题)(文)己知数列an的首项a1=,an+1=,n=1,2,.()证明:数列-1是等比数列; ()求数列的前n项和Sn.2.(2006年江西高考试题)己知数列an满足:a1=,且an=(n2,nN*).()求数列an的通项公式;()证明:对

3、一切正整数n,不等式a1a2an.解析:()因数列an的特征方程x=只有一根x=1.故由an+1=+2.令bn=bn+1=bn+2bn是以b1=1为首项公差为2的等差数列bn=2n-1=2n-1an=1+; 38 第十讲:分式递推 ()令数列xn的前n项的积为x1=,xn+1=xn=.而anxn1+2n,这是显然成立的,故anxn0a1a2anx1x2xn=.思想方法:若数列an:a1=x,an+1=的特征方程=x只有一根,则数列是以为首项,公差为的等差数列,特别地,当=1时,an=1+.类题:1.(原创题)数列an满足:a1=2,an+1=.()求数列an的通项公式; ()求证:a1a2an

4、.2.(2008年佛山第一次质检试题)数列an满足:a1=,an+1=.()求数列an的通项公式; ()设数列an的前n项和为Sn,证明:Snn-ln(). 3.基本类型()例3:(2007年全国I高考试题)己知数列an中,a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,.()求an的通项公式;()若数列bn中,b1=2,bn+1=,n=1,2,3,.证明:bna4n-3,n=1,2,3,.解析:()an+1=(-1)(an+2)an+1-=(-1)(an-),所以,数列an-是以a1-=2-=(-1)为首项,以-1为公比的等比数列an-=(-1)(-1)n-1=(-1)nan=(-

5、1)n+;()令f(x)=,由f(x)=x得x=,所以=(-1)4,所以,数列是以为(-1)2首项,公比为(-1)4的等比数列=(-1)4n-2bn=.首先,bn1-(-1)4n-20;其次,bna4n-3(-1)4n-3+(-1)4n-3+1(令(-1)4n-2=t,则t(0,1)(+1)t+10t(-1)2.思想方法:数列an满足:a1=t,an+1=,若特征方程=x有两根,则数列是以为首项,公比为的等比数列.类题:1.(2005年重庆高考试题)数列an满足:a1=1,且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n1).记bn=(n1).()求b1,b2,b3,b4的值; ()求数列b

6、n的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.2.(2006年江西高考试题)己知各项均为正数的数列an满足:a1=3,且=anan+1,nN*.()求数列an的通项公式; 第十讲:分式递推 39 ()设Sn=a12+a22+an2,Tn=+,求Sn+Tn,并确定最小正整数n,使Sn+Tn为整数. 4.基本类型()例4:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列xn满足xna-1,0,且xn+1=.若对任意nN+都有xn+3=xn,则a的值是 .解析:由xn+1=xn+3=xn恒成立,即a3=(a2+a+1)xn+1因为xna-1,或0,故a2+a+1=0a=.思想方法:数列an满足:a1=

7、t,an+1=,若特征方程=x无实根,则数列an是周期数列.类题:1.(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列an满足a1=2,an+1=-,则a2010的值为_. (2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列an中,a1=2,an+1=,则a2005的值为_. (2004年第15届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列an中,a1=1,an+1=(其中nN*),a2004= .2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列an满足:a1=2,an+1=1-.记数列an的前n项之积为Pn,则P2009的值为 . 5.换元技巧例5:(2005年重庆高考试题)数列an满足:a

8、1=1,且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n1).记bn=(n1).()求b1,b2,b3,b4的值;()求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.解析:()由8an+1an-16an+1+2an+5=0an+1=,令=x得x=,.所以,=-2()n-1an=bn=(2n-1+2)b1=2,b2=,b3=4,b4=;()由bn=bn(an-)=1anbn=bn+1=2n-1+Sn=(2n-1)+n.另解:由bn=b1=2,且an=+an+1=+,代入8an+1an-16an+1+2an+5=0得:8(+)(+)-16(+)+2(+)+5=04+3bn+1=6bnbn+1-

9、=2(bn-)数列bn-是以为首项,公比为2的等比数列bn-=2n-1bn=(2n-1+2)b1=2,b2=,b3=4,b4=.思想方法:数列an满足:a1=t,an+1=,若特征方程=x有两个实根,+=,=-. 40 第十讲:分式递推 令bn=bn+1=+=(c-a)bn+1+(c+d)bn+c=0,从而转化为线性递推数列.类题:1.(原创题)己知数列an满足:a1=1,an+1=.记bn=.()求数列bn的通项公式bn; ()求数列nbn的前n项和Sn.2.(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)数列an满足:a1=4,an+1an+6an+1-4an-8=0,记bn=,nN*.()求数

10、列bn的通项公式; ()求数列anbn的前n项和Sn. 6.通项不等式例6:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=(x-1).设数列an满足:a1=1,an+1=f(an),数列bn满足:bn=|an-|,Sn=b1+b2+bn(nN*).()证明:bn; ()证明:Sn.解析:()令f(x)=xx=,由=-(2-)=(-2)nan=bn=|an-|=|,所以,bn|2n(2-)n(-1)n|1-(-2)n|(-1)2n(-1)n|1-(-2)n|(-1)n|1-(-2)n|(-1)n1-(2-)n(n为偶数)(-1)n+(2-)n1(-1)2+(2-)21;()由(I)知bn=Sn+(

11、)2+()n=.另解:由an+1=f(an)an+1=1+1,bn+1=|an+1-|=|-|=|an-|bnbnbn-1()2bn-2()n-1b1=.思想方法:数列an满足:a1=t,an+1=,特征方程=x.若特征方程有两个实根,+=,=-.令bn=|an-|bn+1=|an+1-|=|-|=|an-|=bn.若M,则bnMn-1b1.类题:1.(原创题)己知数列an满足:a1=2,an+1=,数列bn满足:bn=|an-|,Sn=b1+b2+bn(nN*).()证明:bn(-1)4n-3; ()证明:Sn.2.(原创题)己知数列an满足:a1=,an+1=,数列bn满足:bn=|an-1|,Sn=b1+b2+bn(nN*).()证明:bn3n-1(-1)n; ()证明:Sn3n(-1)n-1.