数学史上的三次数学危机的成因分析

《数学史上的三次数学危机的成因分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学史上的三次数学危机的成因分析（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、江西科技师范学院学年论文数学史上的三次数学危机的成因分析吕少珍 （数学与应用数学 20081444）指导老师：王亚辉摘 要 从哲学上来看，矛盾是无处不在的，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。数学常常被人们认为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。但在数学的发展史中，却经历了三次危机，本文回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。关键词：数学危机； 无理数； 微积分； 无穷小量1 第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，当时人们对有理

2、数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。1.2 起源 “

3、万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量

4、之前余下的那一段如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2 希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步

5、认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。后来毕达哥拉斯学派的希帕索斯根据勾股定理通

6、过逻辑推理发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可公度！即这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能成为等腰直角三角形的直角边与斜边的共同度量单位。即腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条线段。这就是希帕索斯悖论：存在不可公度量！1.3 危机的解决 无理数的出现毕达哥拉斯学派提出的所谓“任何两个量都是可度量的”就是指对于任何两条线段a与b，存在一条小线段d可作为a与b的共同度量单位，使得a=md,b=nd.这实际上意味着b：a=m：n,其中m与n都是整数。因此，当毕达哥拉斯学派

7、相信任何两条线段a与b都可公度时，用我们现在的语言表述就是指任何两条线段的比是整数或是一个分数。简言之，是一个有理数。而希帕索斯不可公度量的发现就是指，等腰直角三角形的直角边与斜边的比既不是一个整数，也不是一个分数，或者简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数，这类数后来被称为无理数。最早出现的无理数也与计数、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，2乘3 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。在欧几里德的几何原本中有关于2不是有理数的一个证明，但据说

8、是更早的毕达哥拉斯学派所作 ：设2是既约分数p/q，即2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。人类历史上诞生的第一个无理数就是希帕索斯发现的2。1.3.2 悖论所引发的问题为什么在当时无理数的发现会被认为是悖论并且引发如此严重的问题呢？首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条。其次，这一发现摧毁了建立在“任何两条线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。简言之

9、，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都要被小小的2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么困难啊。事实上，不可通约量的发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，他对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的打击。不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈抨击并摧毁了许多传统观念与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定上。事实上，当时毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都是可通约的基础上的。1.3.3 芝诺悖论与毕氏学派诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，当人们还处在刚刚从自然

10、数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念一无所知。因此，当时人们的普遍见解是确信一切量都可以用有理数来表示。亦就是说，在任何精确度的范围内的任何量，总能表示为有理数，迫使人们去认识和理解自然数及其比不能包括几何量，迫使毕达哥拉斯学派承认希帕索斯悖论，并提出单子概念去解决这一悖论。单子概念是如此之小的度量单位以致本身是不可度量却又要保持为一种单位。这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺认为“一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的。”不论何说都矛盾，这就是

11、芝诺悖论。古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。1.3.4 比理论古希腊人面对的难题是如何解决不可通约量或以我们现在的方式说是如何解决无理数，对他们来说，问题来自几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量，这是无法绕过去的。于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域

12、，仍然只承认整数或整数的比，只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。简言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量。令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去竟然成功了。帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。欧多克索斯建立了既适用于可通约线段，也适用于不可通约量线段的完整的比理论。欧多克索斯本人的著作已经全部失传，不过，他的比例论成果被保存在欧几里得几何原本第五卷中，下面所介绍的内容来自几何原本第五卷，但其主要思想属于欧多克索斯。定义3：两个同类量之间的数量关系叫做比。定义4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个

13、量有一个比。这个定义实际上允许了不可通约量的存在。比如对正方形对角线与边长这两个量来说，因为正方形的边长增加2倍后就可以超过其对角线，所以现在对两者就可以定义一个比了。也就是说这里创造的量的比这一新的数学定义已经突破了毕达哥拉斯所认为的只有可公度量才可以比的限制。实际上，如果承认“两个有限的同类量，任何一个加大适当的倍数都能大于另一个”（阿基米德公理）那么任何两个有限量都有比，而不必考虑是否可公度。定义5：a:b=c:d是指：如果对于任给的正整数m,n，只要manb,总有mcnd；只要ma=nb，总有mc=nd；只要manb,总有mcnd；这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的

14、情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量与不可公度量都能参加运算。这一定义是整个比理论的基础。欧多克索斯的比例理论为处理无理数提供了逻辑依据，用几何方法消除了希帕索斯悖论引发的数学危机，事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展从他之后，几何学成了希腊数学的主流 1.4 第一次数学危机的影响 希帕索斯悖论的出现，

15、对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，导致了第一次数学危机，这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。在古希腊，数学和哲学是结盟的，哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理，正是由于古

16、希腊的哲学背景，使其有可能建立世界上第一个数学公理系统，并最终导致了近代科学的诞生。 1.5 结论 这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。 第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时经过这次危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的，推理论证才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次变革，也是第一次数学危机的自然产物。欧多克索

17、斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。 我个人认为第一次数学危机的产生最大的意义就是导致了无理数的产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性

18、的。2 第二次数学危机2.1 背景第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分是人类智慧的伟大结晶，恩格斯曾说过：“在一切理论成就中，未必再有像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。”它的发明开辟了数学史上的一个新纪元，标志着数学由常量数学向变量数学的重要转变。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。不过，在微积分创立之初，无论是牛顿还是莱布

19、尼兹的工作都还不完善，因而，导致许多人的批评。荷兰数学家妞纹蒂曾在其著作无限小分析中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等。法国数学家罗尔也对微积分表示怀疑。爱尔兰主教贝克莱对微积分强烈的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。贝克莱是18世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他的著名的哲学命题是：“存在即是被感知”。在这种观念下，哲学上的所谓物质实体，只不过是根本不存在的抽象感念，物质就是“虚无”。作为宗教神学家，贝克莱企图调和科学与宗教的尖锐矛盾，给宗教神学建立新的理论基础，建立一种既能维护宗教神学，又能修正科学实质的思想体系。2.2 起源 芝诺四悖论

20、早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论： “两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，这在有限时间内是不可能办到的。 “阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是荷马史诗中的善跑

21、英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动

22、了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。贝克莱悖论对于瞬时速度，贝克莱认为，速度概念既然离不开空间和时间区分，那么根本不可能想象一个时间为零的瞬时速度。对于速度的速度，二阶、三阶、四阶、五阶速度等，

23、也超越了人的理解能力。要设想一部分这样的无穷小量仍会有比它更无穷小的量，而且通过无穷次地相乘的结果将永远不会等于最微小的有限量。对于牛顿的流数论，他指出在这个推理中，先取一个非零的增量并用它进行计算，然而在最后却又让o消失，即令增量为零得出结果。这里关于增量o的假设前后是矛盾的。对于消失的量，他曾讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消失量的鬼魂吗？”贝克莱的攻击虽说是出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。2.3 危机的解决1742年，为维护牛顿流数论，马克劳林完成流数论。为了建立严格的微积分基础，马

24、克劳林采取了拒斥无穷和无穷小量概念的做法，并企图“通过最严格的形式的演绎从几个无懈可击的原理追随古人的方式推出流数理论的那些元素”，以便与古人的严格性相匹配。为了确保逻辑的严密性，他完全按照古人的方式，使用穷竭法和伴随的双归谬论进行证明，通过非常冗长的几何推导得出每一个新的思想。但他的这一做法并不被18世纪的数学家们所欣赏。18世纪欧拉把包含在导数的计算中的比值看作是0:0的形式。同时他也指出，两个零的比值依赖于正在变为零的起源，一定要在每个特定的情况下计算，0:0完全可以等于任意的有限的比值。因此，无穷小的计算只不过是不同的无穷小量的几何比值的研究。既然无穷小量同有限量相比较变为零，因此考虑

25、有限量时就可以将其舍弃。这样，无穷小的分析忽略数学的严格性的反对意见就消失了，因为没有舍弃别的什么，只是根本就没有什么。法国数学家达朗贝尔提出把极限理论作为分析的基础，达朗贝尔认为“微分学是用于最初比和最终比的方法，即求出这些比的极限的一种方法”，他把导数看成极限并给极限作了定义“一个量是另一个量的极限，假如第二个量能比任意给定的值更接近第一个量，无论这个给定的量是多么小，作逼近的量也不能超过被接近的量。”这样，这个量与它的极限的差绝对指不出来。”达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法的影响，它的思想是几何的，也不可能把极限用严格形式阐述。此外，它的观念也没有被18世纪其他数学家所遵循。1797年，法

26、国数学家拉格朗日试图通过摆脱使用无穷小量、流数、零，甚至极限来处理微积分基础问题，给微积分提供全部的严密性。他把“任何函数都可表示成幂级数”这一思想作为自己工作的出发点，从函数幂级数展开式中的系数定义出各阶导数。在这一过程中，拉格朗日第一次得到拉格朗日中值定理并给出泰勒级数的余项表达式，即著名的拉格朗日余项。但在拉格朗日的这种处理方案中存在着几方面的问题：在他的一些证明中，他其实运用了极限的概念；他所建立的算法比莱布尼兹的算法还要复杂的多，所以他的方法在实际应用上是不方便的；更大的问题是，他的处理方式假定了函数都能展开成幂级数，而后来，人们发现其实这只适用于一部分函数。整个18世纪，人们都试图

27、为微积分找出合乎逻辑的理论基础，几乎每一个数学家也都为此做出了一些努力，虽然一两个路子对头，但所有的努力都没有取得圆满的结果。进入19世纪，数学陷入了更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义：“对

28、x的所有在某个界限以内或以外的所有值，函数f(x)按连续性法则变化是指如果当x是某个这种值时，差f(x+w)-f(x)在w被取作任意小时可以小于任何预先给定的量。”在这一基础上，他证明了介值定理。波尔查诺在1816年还清楚地提出了级数收敛的概念，他对极限也有较深的理解，并给出导数等概念的合适定义。1843年，他还给出一个反例，表明连续函数未必有导数。对于当时整个微积分的不严密现状和无穷级数的混乱，阿贝尔在给友人的信中都有提到过，他的话如实反映了当时分析学发展的情况，正如他所清醒认识到的，当时分析的基础仍很薄弱：一些基础感念缺乏恰当的统一的定义；由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”

29、；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的代数分析教程中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并定义了导数和积分。此外，柯西还对高阶无穷小、高阶无穷大做出了与现在基本相同的定义。在此基础上，柯西又定义了连续、导数、微分、积分等概念，使微积分中的这些基本概念建立在较坚实的基础上。在对微积分的基本概念给出明确定义后，柯西进而在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实和定理。 在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的 定义，这一定义消除了极限和连续性

30、对几何和运动的依赖，给出了只建立在数与函数概念上的清晰的定义。对于函数项级数，1842年维尔斯特拉斯引进了一致收敛概念并给出广泛使用的判别一致收敛的M判别法，使级数理论得到了完善。1872年，维尔斯特拉斯得到数学史上著名的分析反例，构造了一个处处连续但处处不可微的函数，他还严格证明了微积分中的许多重要定理并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。德国数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起了无理数理论。在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论，完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立了实数理论，而且在实

31、数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。 实数域的构造成功使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。2.4 第二次数学危机的影响第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、维尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本

32、质。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西采用的方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来维尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。极限的定义就是用静态的刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过戴德金、康托尔、海涅、

33、维尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。2.5 结论而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说 ，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小3 第三次数

34、学危机3.1 背景第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。19世纪后半叶，作为分析严格化的最高成就康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用。法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”此时，数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。 3.2 起源 1900年，英国数学家和哲学家罗素在巴黎见到意大利数学家皮亚诺，他发现皮亚诺比其他任何人都严格，并且认定这是他的数理逻辑所致。因此，罗素潜心研究皮

35、亚诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来，开始他还觉得顺利，但是不久就遇到了问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数，罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素构成的集合应该是最大的（因而具有最大基数），这样他就发觉其中有些矛盾，开始的时候他也觉得这件事也许没什么大不了的，也许是在什么地方绕住了，但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论，引起了关于数学基础的新的争论，从而造成了数学史上更为严重的关于数学基础的第三次危机。3.3 危机的解决 理发师的困境某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上所有不给自

36、己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？现在考虑由所有那些自身不属于自己的集合作成一个集合A,那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合呢？理应两者必居其中一个，但是，我们看到：若AA,则根据A的定义，A A。若A A，则根据A的定义，AA。无论在任何情况下都导致矛盾，这就是人所共知的罗素悖论。 困境的解决 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。早在1897年，布拉利福尔蒂已公开发表了最大序数悖论。1899年康托尔本人也发现了最大

37、基数悖论。当时因为这两个悖论牵涉到较为复杂的理论，人们认为可能是由于在其中某些环节处不小心引入的一些错误所致，人们对消除这些悖论也是乐观的，所以它们只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。但罗素悖论则不同，这一悖论相当简明，而且所涉及到的只是集合论中最基本的方面，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，这就大大动摇了集合论的基础。 为了消除悖论，许多科学家开始分析悖论产生之因，寻求解决方案，他们规划了两种解决途径，其一是将整个集合论抛弃，把数学建立在别的理论基础上；其二是对康托尔的集合论加以改造，将集合论公理化。经过探索，他们选择了第二条解决途径。罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也

38、是危机的解决者，罗素在他的著作中提出了分支类型论以解决这个矛盾，使得“自己既要属于自己又同时不属于自己”不可能出现。不过，这个层次理论十分复杂，所以数学家要把这个方法加以简化，而先提出的人是策墨罗，他提出了“有限抽象原则”和几条公理，及后再由弗兰克和斯柯伦补充修改，形成现在在数学上较为流行的公理系统ZFS公理系统。随着公理化集合系统的建立，集合论中的悖论被成功排除了，因而从某种程度上来说，第三次数学危机解决了。3.4 第三次数学危机的影响 从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩

39、论中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派，它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。3.5 结论承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上

40、更深刻地以其它形式延续着。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。4 结 论：数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测

41、度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从来间断。数学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。我认为数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。就拿悖论的出现来说，从某种意义上并不是什么坏事，它预示着更新的创造和光明，推进了科学的进程，我们应用辨证

42、的观点去看待他。 通过数学的发展史和这三次数学危机，我越来越感到M克莱因教授著的一本书，是关于确定性的丧失，其中书中说道:数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。因此我们看问题的观念应该改变一下，数学是不确定性的。不管数学以后向何处发展，但就数学仍然是可用的最好知识的典范。数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系，因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的，数学在人类发展中的作用也是不可估量的参考文献1 王亚辉 数学史选讲安徽省合肥市 中国科学技术大学出版社 2011年1月2 8f38e91c59eef8c75fbfb359.html3