2021学年高中数学第二章概率章末分层突破学案苏教版选修2-3

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1、2016-2017学年高中数学第二章概率章末分层突破学案苏教版选修2-3第二章 概率章末分层突破自我校对pi0，i1,2，ni1两点分布超几何分布P(B|A)0P(B|A)1P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)(B，C互斥)P(AB)P(A)P(B)A与B相互独立，则与B，A与，与相互独立P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)E(aXb)aE(X)bE(X)pE(X)npV(X)p(1p)V(X)np(1p)V(aXb)a2V(X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率求条件概率的主要方法有：利用条件概率公式

2、P(B|A)计算在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n()A20.根据分步计数原理，n(A)AA12.于是P(A).(2)因为n(AB)A6，所以P(AB).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到

3、理科题的概率P(B|A).再练一题1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率【解】设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.P(A|B).相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立(2)若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成立设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概

4、率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X1)【精彩点拨】解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解【规范解答】记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)DA1BCA2BA2C，P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0,1,2，所以P(D)P(A1BCA2BA2C)P(A1BC)

5、P(A2B)P(A2C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P()P(C)0.31.(2)X1表示在同一工作日有一人需使用设备P(X1)P(BA0A0CA1)P(B)P(A0)P()P()P(A0)P(C)P()P(A1)P()0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25.再练一题2某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得300分

6、的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率【解】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A3)0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性2应用范围：均值和方差在实际优

7、化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等3求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为

8、，乙队获得第一名的概率为.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及数学期望、方差【精彩点拨】(1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分的可能取值，然后再求出的分布列，最后再求出数学期望和方差【规范解答】(1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P1P2.乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1P1).解，得P1，代入，得P2，所以甲队胜乙队的概率为，甲队胜丙队的概率为.(2)的可能取值为0,3,6.

9、当0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(0)；当3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3)；当6时，甲队两场皆胜，其概率为P(6).所以的分布列为036P所以E()036.V()222.再练一题3(2015天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【解】(1)由已知，有P(A).所

10、以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3原则”的应用记住正态总体在三个区间内取值的概率(2)注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性

11、结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550600分的人数【精彩点拨】根据正态分布的性质求出P(550x600)，即可解决在550600分的人数【规范解答】考生成绩XN(500,502)，500，50，P(550X600)P(500250X500250)P(50050X50050)(0.954 40.682 6)0.135 9，考生成绩在550600分的人数为2 5000.135 9340(人)再练一题4为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁

12、的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图21所示若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是_图21【解析】由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(p2，E(1)E(2)；p1E(2)；p1p2，E(1)E(2)；p1p2，E(1)E(2)【解析】随机变量1，2的分布列如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(20

13、16全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n

14、20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(

15、X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.16(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X

16、的概率分布【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，则P(A)0.6，P1P()10.4P()0.92，解得P()0.2，P(B)0.8.(2)P(X0)P()P()0.40.20.08，P(X1)P(A)P()P()P(B)0.44，P(X2)P(A)P(B)0.60.80.48，X的概率分布为：X012P0.080.440.4817.(本小题满分14分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示

17、在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率【解】(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本，X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A

18、)P(B)0.50.40.2，所以X的概率分布为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.

19、896.18(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的概率分布；(2)求此员工月工资的期望【解】(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4.P(Xi)(i0,1,2,3,4)，故X的概率分布为：X01234P(2)令Y表示新录用员

20、工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500，则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，所以E(Y)3 5002 8002 1002 280(元)所以此员工工资的期望为2 280元19(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的概率分布分别为：X9001 0001 100P0.10.80.1Y9501 0001 050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？【解】由期望的定义，得E(X)9000.11 0000.81 1000.11 000，E(Y)9500.31 0000.41

21、0500.31 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差由方差的定义，得V(X)(9001 000)20.1(1 0001 000)20.8(1 1001 000)20.12 000，V(Y)(9501 000)20.3(1 0001 000)20.4(1 0501 000)20.31 500.V(X)V(Y)，乙厂生产的灯泡质量比甲稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好20(本小题满分16分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，

22、则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的概率分布及数学期望【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800)，所以以X的概率分布为X400500800PE(X)400500800506.25.49