圆锥曲线秒杀法

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1、圆锥曲线秒杀法研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C:x2/8+y2/2=1与斜率K=1/2的直线丨相切，则切点坐标为注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C:x2/8+y2/2=1求关于X导数可得x/4+yy=0,带入K=1/2，x=-2y，带入椭圆方程，很容易解出切点为（-2,1）和（2,-1）；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x（这里不是导数，只表示一个未知数）；斜率K=2K=1，椭圆化为圆C:x牛yJ2;很容易

2、求得I与C相切于（-1,1）和（1,-1），还原，可知I与C相切于（-2,1）和（2,-1）2、椭圆C:x2/4+y2/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线I与l的距离，l=x-2y+b=0构造柯西不等式可知(X2/4+03)(4+12)(x-2y)2;-4b4;把4和-4代入；再利用平行线距离公式求I和I距离，最大距离为V5所以0dV5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线I与l的距离。l=x-2y+b=0;缩放y=V3/2y;椭圆C缩放后方程C为：x2

3、+y2=4；r缩放后表达式为r=x-3y+b=0,C与I相切,利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0d(x-my)2可得，m212,注意是反设斜率，故k=1/m;很容易解出k的范围为-V3/6kV3/6法二、缩放坐标l:my=x-4，x=2xC：x2+y2=1;I：my=2x-4,用点到直线距离公式，d=4/(4+m2)12,注意是反设斜率，故k=1/m;很容易解出k的范围为-V3/6k(ab+ab+n1122+a2)(b2+b2+n12+a-b)2nn当且仅当bb14Qn时取等bn柯西不等式的主要变形公式变形公式1,a2b2,b2,b2n12na

4、b,ab,abab,ab,1122nn1122取等条件同+Jajb+ab*2*2nn变形公式2.+a)(b+b+b)n12na-b12n12n(a土b)2+(a土b)2+(a土b)2柯西1122nn不等式三角公式a2a2a2(a,a,4,2,n12bbbb,b,12n12,an,bn取等条件同变形公式5aaa(a,a,a)21,2+n12n-bbbab,ab,ab12n1122nn取等条件同三、仿射仿射变换np充典型例题与双血线的标准卉程三斗=1布比楠闢的尿泄方楼写=1在涉迖L：槪为接逅俐的标粧方程&tf(ifl-?+/=.在这一讲，我们着蚕讲述利用仿射变換将椭凰变换蛊园再利用圆的良打几何性质

5、解抉问题的方注一J2p=,2r对椭朋的标准方程二4農1*理1需要在，紬選if神缩变删b得到方卿与+上严1”d厂&|./旷茁仲端哽换不金改雯克线巧関锥曲线的空点牛数、血不芸攻雙址纯纱用E度的L匕啊关系，平存和夷銭共点关乘霁等.但是忡弼咤改变馥段的住胆这需基引就分的注老.【羡住】仿射貶换(AilineTransrm)是一诽二段坐标到二旅坐标爲凤的一线性覺犊一强挣二旅田旳的“半克也”译;i:suaightncAi.申变諛直轨还匱直践不金打鸾-囲如延是圓弧和”半行性谣注：pduiklcicss.其案是滞保二雉囲関列冏相对位監盖系不变.平荷残还是平4j线.希直纯王贞杓百矍厢序不瓷.持削注盘向莹问夬角可能

6、会岌生愛丸一彷射老響可艸適皿一爭列凶廂于更换的复會来实理，屯扭：-4fTranslation).嫌忒他1创转5叮.救转Ckotation）和错切（Shcai【备注】在榊叔換下，構国方稚百石卡=变为圜E:#*宀八購国上的点gJ变为FjHh-l?(1.悶比niSl上一A.F的風的切绕才程为八竝一3巴几*=用I才丿A锻直找:肉过伸琳芯疑。就可以得壬|辻憫爲1E上_.尸的摘罔的Ifl找労會厂心tt二”片I=”用空+込I时I:眾写*甘筍伽粥辜4鏗箱爭普舸幣爭眸T#辛耶埔豊甬醫丄占風左緊爭騎韩專V肆坏厚T陽（导圆书T一0*丫即弓簟汁叩年軍W聲聊舉隧却孚丁咄旧帝笏挣#0歪:；凰井田十冬”甘脾茅啡国叶氓血p就

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9、零飞警血巾孙时強丄妣羊丄番園讲斜翩毎字詹糾陋畀茅召因非別苗蟄黑鄆星麴酬掀悔:殛公做虧如嵐無髻甜导羽血阳糊脈也帑蚩字甲*盥冋竽*異的頼对番弓曹】因十&=险+昭斤t=整=谊擬痒軒书冷时互沉/吟加肃曲心帘品釣丑左土V基辭聊谪T如字科弔坐逆卫界国:WmZU卷粗邮瞽篡*冷=，蚀罩騎州丁讪鞘咖丄414耳邯国却毎I:的丑书期乍却印#當4團哪忑第爭圳聊工粘方/宅9打写右圏母鞘華炉率爭K0与豁川再*0畀事Tl9i；z察剔HIM年:朝阳一模艾已密椭-4-y=I中有一内搂二対低虻.其巩点f的坐标(JI,1).AB月冷:直践删率为蠱.当怎磁的面弭最大时，求戟AB的方租.3Il9iIl9i【鮮桶】弈楠風迪过伤谢蛙i“丈

10、扳囚严+声uh.则rr工“-屣.個、=】-C坐标利*：一直.OC/直霾才-邑*.=$聞援產1A型的j-y+ffl=O,则。列直倉才厳的距离为总：F卜Il9i-JIFvnt-丄虜时$.商肚捋鑫丸值3f北时直找才月的专程洋H-艸用=趴哟此&述的冠丈植沖止时朋的专程尙一矗门萌=,箔习3【再If年师义.模已轴制風匚化F=1忖丘、石顶巍井曲岳看乳&.过畀斜率対丨的FT线交4椭圆于另一点阻ffiHCJz的F满足：册的面积占”一试棘定点r的乎数一皿,【解析1聊ffsfil通述仿斟变捷彳1亶成囲*。才=4黔备府=姑側=土1厂十54V:$=】(#+?).即Zr-H+g。.-国中到亘輿月FA勺距画为孑于弦秋希一中

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12、5_丄盂而口4淤斗剰眈|与|曲恤比何:当小变化时-是育存在比战八便得F0WAV,并说明理iJ.时怖sig作垃*交拽了=，-j=yTT-EI解忻】(卄哉M=l則帰田G：对Mc.nu射圭換jtmW,-；x_.或I倍rC05-Iit.EraiS.trsinff)(0tf4.l-e122利用仿射变换可以毎一呑題I】中平N”的条件转化为对解題很有刊的轻陳条评，比如： 利用併肘變做叩以改亞斜率从而可以便得融与楠禺相关的平各四讪形转化为邸从而筒ft河題； 利用仿肘吏化可以將辅凰变为圓从而可以僮某些与棉働相关阿平甘四边掘转化为菱畢从而简M：$.山理科设动点P満足：丽=面+莎其巾Af、M是楠园上的点*直烧DA/

13、与DM的斜i率之积为-*冋是否存在两个弘使制卩用+1冋*为定値？若存在，求呂*尺的坐I劭电丈料）鷗点F講足:丽=面+环其中Af.M是幅期上的虫，I却竝OMbUS的斜率Z稅揃问：是習曲点FMAPfU点尸的距离与到直恥丽的跑高2比为I2金値?勸机求F的坐尿；若不存在*说坍理由-帰析1你忖射袭憑桶図対蛟为.严打丄=4,且0W丄QV.理fH四边舟皿7*刖力正方埶t4|OP|=|.W|22方程为切严+中胡,因此P点的执迹方程为:+（近=盘，fFy41.需壶帚谷題盍的点.F,-坐赫为（土:L.沾啷国的咼怡媳点】（坷）四連舟O诃咐为扼執|护卜网饵=2盾点的雌方程为到严打、如需庄持合砸惠的点尸-坐标为i7l0

14、：o|.即幡圆坤右嵐总L冊年械佈哋咽今与欄町号極环响滋斛劇年硕已硼吟和标*若不存在，悅期理由.mwk换凸显隐裁儿何紂段04伽为邻边作平行边形OAPB、其中顶点PttHCK0为坐标原点求阿的取们范围167167【解析】用估肘隻很幣固转化为釦于足半行四边砂O4M变为菱形WPBX由比jwl得阳w4=.很据芟形的时內线互和蚤直于足PwP历，因此心|0-v3也就是说,|rj=|v|$l于是|。斤=x+y=x/+3因此的取位范日是7J1671671练习2(2012年海淀-谁理己如直线加y二丘十叫与椭圆G：?十/二1交丁/、方两点，丙线y=kxm:(叫齐g)?j梢恻G交JC、。聘点.il|.4Z?|=|C/

15、|如图所示.167(1) 证明：+啓=0;(2) 求四边形AHCI)的血枳5的披人值.【解析】耆虑用仿甜畫换(IIABCD为箱囲内攫平行四边形：作仿射变抵后愛为6内揍平行四迫形.为拒形.因归捕线为直径，也就是说補図內接平行四边彩的叶帘找互相平分于岳点，亍是叫+/n：=0;(2)3)內猿矩形当且仅当呃形为止方形时曲枳最九.最丸侦力4,千長桶內很半行四边形五枳的箴尢值为亠二远4i【冬注】也可以看作相关直找问題谏査线)=上殖与梢別交千两点;1、B则联立直线与方程，硏F+片卜：+2Aw+/n：-1-0AB=CD=/w/i风碍工冬，州二一叫，即码+g=0（21由朋与G）关于匣点对粗四边形肿CD为对称中心

16、阪&的平行四边形.不転没卩0.叫+（2A.十W二=2运（当血仅当肝二时玖强夺号丄心4i22囚边形肋CQ的血积S的最大值足2血照LL知M为肓线尸卜与郦吟十匚-1在笫象限内的交点直线/与0M平彳订1勺賊交于A.B两点.求证石跖仏克线hx轴阀成的三他形足零腥Ml形.【解析】扯團.将椭创壬+彳=|通过仿射变怒：；哎成乩厂+才=8.则M（2,2）过“作Mh的舌线，卷足为，支国十丿8于点厂则易知”（2.-2）IN（2一2）,0丄ON、又OMFAH、；0N丄才膿耘缶狂定密W平分滋/“于是MV是的半分线.干是=U旳二2匕岂测SLMH丄P0；.LMPQ是爭膜三用形证毕.【备刃（2012年密云一模理）如图所赤己知

17、怖刃的中心在原见払点左x轴上，乞轴枚足壮轴枚的3倍.且经过点”（31）半行于OM的直线/崔丁柚上的栽拒为刑（mOX且交対圆于/I、B两不冋邑求梯国的才程；（21求加的玖值范固；求汪:直找MMB与X轴始终国氐一个等猿三角形【解析】卜”167（2）没宜钱J:y=-jx+r/r（川芦0）,則x（-2.0）U（2|；视为iiiUJL问越們推广戎用仿射交撓均可解决.竦习6（2011年四中奇二期中考试改点刖（2,1足删=1上点.直线丿4卄阳0）交于儿B两点.求AM4B的内心的榄坐标.【解析】普虑列国形的粘点勻求解的问越，考虑优用仿射变换将炳圏转化为加以解决.庄別中，客易征明0是ZZT.W的平分线.于足耐0

18、足ZBM4的平分线.因此MM3的內心的墳坐林为M列横坐柿，也M走2例6（2011年山东）己知动豆线/卩椭圆C：牛十匚二1交丁厲占Ji），0（，人）两不同点，且ope的面积跃叩=当典中0为坐标原点.i证明：H+打和中十X均为定他i（2）设线段PQ的中点为M.求|OM|pq的最大值：!H幽IC上是否存在三点D.E,G使写2若存在.鬥斷ADEG.的形状：若不存在，请说明理山.【解析】如图,作彷射受换“才则楠因C変力E1U：十+宀3设o列直2Q的距离为d.则解獰d=.于足|厂0|二2坂万7二&OF呦回比牢二才，v=；-设PQ杓修專为*、则0M6勺徐瘵为+|om|p/32+620)TS,g：$WH，_$

19、泗i二、二&.0MT=SgDG=S沁GTL2在S1C中fDG、FG所对的J心侖助为90。因此.不存崔海及題意的三用锣练习7（2013匕京吕平二復理）如图.己训硕匚十匚=】（“6九）的K轴为加.过点8的直线f与X轴垂也，懈惻的离心ub糸e=，尸为If冏的左焦点，H.|JF|=I.（1）求此椭Bl的方程:（2）设P是此楠岡上异于4P的任总一点，PH丄x轴,H为乖足，延长尸到山0使那卩-4?连按彳0并延氏交貞线/点M./V为MB的中点.判定自线0N与以丽为直径的圆0的位置关系.；iHAO与埔因交于g就NR与箱圆相如此建与均可以利用仿射交换解決.利用仿射变换将问遞转化为儿何问题4*4*购31撷I二+*

20、-1上的两点八3关于x轴对紿P（4）是刪畦紬所在肖线上的据:43点.设mPBm交于d.证明,宜线肋恒过定点井求定点坐标.【辭析】瘠橢勿通过仲络变按为回.则需证明：芳点/E为关于B）的直径HG对称的两点,HG所农直线上的一点P与B点的连找交国于D,9AD与PH交于屯点F证明知下:放因，连结HGGD设力与回交千C1?0AE-i)EAPDP:G为弧CD和孤M的中点,:.AGDH分别是厶和6DG的于分线而DG丄DH,：DG是ZEDP的丰分怨.=.固比二wAEDEEGT疋=APDPGP砒El）E二EGEH（相交弦定理）.PJ）P二AP（P二PGPH（切割线定理）“EGEHEGEGEGPGr心=/=PG-

21、PHPGPGEHPH，笳如中中中，.訣“，琢点（中申珂,叭练习8设豆钱/：尸dm耳楠風壬+才-1柑交于N两点，F是椭Bl的右焦点，豆钱F“qf线用的斜率互为柿反数求证：直线/过定点，并求该定点的坐标.【解析】宜线【过龙点（2,0）.本厦匀何恿柏同.無习9（2010年江苏如图,在平而直灯坐标系疋|札的左、右顶点为旅B.右備点为F设过点T（9,m的宜线FA.rfij此辅Bl分别交于点（斗N也J其中/i0.）i0.）0)上运动，则x2+2y的最大值为解:用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题。由于b2和4大小未知，显然需要分类讨论0b2P(x=bcos0;y=2sin0),转化成求b2cos20+

22、4sin0最大值可求得最大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题例1已知椭圆E：显在E上(1,1/2)，若点P在E上满足尸歼邛(1) 求t的范围(2) 过原点O的直线交E于BC，求SABCA的最大值解：1戸2cossinPF、=(-/32cossinFFh=2cos9=sinDO旷o&auf=cosZ&m.aK=lnmin=22)耳2cos心=sinC匚2cosCd,sina)=CL2cosa_gsinUz4=(1-I-2cos丄-I-sinad)|=|ad-bc12cosa1-sma21+2cos母+sma2EN图1和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.五、极点极线圆锥曲线的极点与极线

23、理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。1. 从几何角度看极点与极线定义1如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线因而将MNP称为自极三点形设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰

24、为圆锥曲线的两条切线.定理1当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；（2）当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；（3）当P在内时，过点P任作一割线交于A,B，设在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于PAPBA,B，交l于Q，则-=-；反之，若有成立，则称点P,Q调和分割线段AQBQAB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线P图2的调和共轭点为点Q（或点P）点P关于圆锥曲线的调推论1如图2,设点P关于圆锥曲线的调和共轭21

25、1点为点Q则有PQ=pa,PB；反之，若有成立，则点P与Q关于调和共轭.可以证明与是等价的事实上，由有AQ二BQPQA二PB-PQPQ一1二1_PQPQ（丄PAPBPAPBPA211=,-.PQPAPB特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（设其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2二OPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.证明：设直线PQ与的另一交点为R，则PRPR，OP-OROP+OR=，化简RQR，QOR-OQOR+OQ即可得OR2二OPOQ.反之由此式可推出PR=竺，即点P与Q关于调和共轭.RQRQ推论3如图4,A,B圆锥曲线的一

26、条对称轴l上的两点（不在上），若A,B关于调和共轭，过B任作的一条割线，交于P,Q两点，则ZPAB二ZQAB.证明:因关于直线l对称，故在上存在PP,Q的对称点P，,Q，若P，与Q重合，则Q，与P也重合，此时P,Q关于l对称，有ZPAB二ZQAB若P，与Q不重合，则Q，与P也不重合，由于A,B关于调和共轭，故A,B为上完全四点形PQQP的对边交点，即Q在PA上，故AP,AQ关于直线l对称，也有，PAB=，QAB.定理3(配极原则)点P关于圆锥曲线的极线P经过点Q点Q关于的极线q经过点P;直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

27、以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2. 从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，贝。称点P(x,y)禾口直00线/:Axx+Cyy+D(x+x)+E(y+y)+F=0是圆锥曲线的一对极点和极线.0000事实上，在圆锥曲线方程中，以xx替换x2，以刍x替换x，以yy替换y2,020以替换y即可得到点P(x,y)的极线方程.200特别地：(1) 对于椭圆兰+着=1，与点P(x,y)对应的极线方程为卞+学=1；a2b200a2b2(2) 对于双曲线-=1，与点P(x,y)对应的极线方程为处-学=1；a2

28、b200a2b2(3) 对于抛物线y2=2px，与点P(x,y)对应的极线方程为yy=p(x+x).0000(4) 如果圆锥曲线是椭圆乂+若=1，当P(x,y)为其焦点F(c,0)时，极线恰为a2b200椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线乂-兰=1，当P(x,y)为其焦点F(c,0)时,极a2b200线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y2=2px，当P(x,y)为其焦点00F(彳,0)时，极线恰为抛物线的准线.23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆乂+211的左右顶点为A,B，右焦点为F设过点T(t,m)的直线TA,

29、TB与此椭圆95分别交于点M(x,y),N(x,y),其中m,0,y,0,yPAPB(2)由条件可有，说明点P,Q关于AQBQ圆锥曲线C调和共轭根据定理2,点Q的轨迹就是点4x1yP对应的极线，即-4-+-2y，1，化简得2x+y-2，0.42故点Q总在定直线2-+y一2，0上.【例3】（1995全国卷理26）已知椭圆C:兰+21,-，直线1：_!+2,-，P是l2416128上一点，射线0P交椭圆于点R，又点Q在0P上且满足|OQ|Op，|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知|OR|2，|OP|OQ|可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点

30、Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.罟+容,1，化简得设P（121,8-8t），则与P对应的极线方程为tx+(1-1)y，2又直线OP的方程为y,8一进-，化简得12t2-2ty6t-，5t24t+24-4t-，5t241+2解由联立方程组得，消去t得2-2+3y2，4-+6y，可化为+，123（-,y不同时为0），故点Q的轨迹是以（1）为中心长短轴分别为叨谭，且长4图8轴平行于-轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】（2006年全国卷II理21）已知抛物线-2,4y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF，九FB（九0），过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点(1)证明FPAB为定值

31、；设AABP的面积为S，写出S二f(,)的表达式，并求S的最小值分析与解：显然，点P的极线为AB，故可设点P(x,-1)，再设A(x,y),B(x,y)，F,A,B三点对应的极线方程分别为y=-1，01122xx=2(y+y)，xx=2(y+y)，由于A,B,F三点共线，故相应的三极线共点于1122P(x,-1)，将y=-1代入后面两个极线方程得%“于厂!、，两式相减得0xx=2(y一1)202(Xi-叮Xo=2(yi-U)-又FP=(x,-2),AB=(x一x,y一y)，故FP-AB=x(x一x)一2(y一y)=0.0212102121(2)设AB的方程为y=kx+1，与抛物线的极线方程xx

32、=2(y+y)对比可知直线00AB对应的极点为P(2k,-1)，把y=kx+1代入x2=4y并由弦长公式得|AB|=4(1+k2)，所以S=AB|FP|=2(1+k24(1+k2).显然，当k=0时，S取最小值4.AABP【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2二0上运动，过P作抛物线的两条切线PA,PB，且与抛物线分别相切于A,B两点.(1)求AAPB的重心G的轨迹方程;(2)证明ZPFA=ZPFB.分析与解：设点P(x,y),A(x,y),B(x,y)，001122与工2=xx对比可知直线l:x-y-2=0对应的极点为(2,2)，P为直线1上的动点，202则点P对应的极线AB必恒过点(1,2).寸zz寸z-z寸-z-zZZ、(二Hd工.(ZK.K)迂兰注、(nI)ds、(z)dIK+KI一udH+H44、/寸zz-ZI:ZZTTseffl、10)工以、zdHH+Hseffl、(；匚)(二壬虫3id(Z+KZK寸)iniZIZIZITRsa阳iggOBoqSc/w、寸+4Z4H寸+(IK+K)4HA-+A-2HK+KSa、ohzj+zh驱saft畀avsaftgavM肢、(z一打)dL+ii