线性代数情况科学中的应用

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1、线性代数环境科学中的应用12 环境工程 1 班李磊卢春明汪泽洋实验目的：大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。初等的数学知识、学习线性代数数学建模、函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。线性代数中行列式 实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早

2、在 1683 年与 1693 年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。 1750 年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则 克莱姆法则。随后 1812 年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用

3、中，行列式的只是依然非常重要。模型简介：例： 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70 克，磷 8 克，钾 2 克；乙种、 化肥每千克含氮 64 克，磷 10 克，钾 0.6 克；丙种化肥每千克含氮 70 克，磷 5 克，钾 1.4 克若把此三种化肥混合，要求总重量 23 千克且含磷 149 克，钾 30 克，问三种化肥各需多少千克？设甲、乙、丙三种化肥 各需、 、千克依解：x1x x,题意得方程组x1x2x323,8 x110 x25 x3149,2 x1 0.6 x21.4 x3 30.此方程组的系数行列式D27, 又D181， D227， D3 8155由克莱姆法则，此方程组有唯一

4、解：x3 ; x2 5 ; x315.即甲乙丙三种化肥各需3 千克 5 千克 15 千克、矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候 “数形结合 ”的途径

5、。矩阵的运算是非常重要的内容。n111nnn1n11例： 计算nnn111n 1nnnnn 1112n n2nnnn 111解：1n 1111n 11nnnn111n 111n 1nnnnn112n( n 1)nn111n 111nn(n 1)n22n11nnnn(n 1)n 1n 111nnnn111在此例中2A 所以 A是幂等矩阵.nnn, A,11n 1nnn矩阵的初等变化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。向量组的线性相关，向量空间，向量组的秩， n 维向量。这些都是线性代数的核心概念。线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升

6、，最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计，交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。线性方程组应用广泛。主要有网络流模型，人口迁移模型，基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。线性方程组的解法其中至关重要的例：求解齐次线性方程组x12x2x3x402x1x22x32x40.x1x24x33x40解： 对系数矩阵A 施行初等行变换：1221r22r1 1 221r3r2 1 221A 21220364012431143r3r1 0364r2(3) 0000102

7、53x12x35x40,r12r 2012433即得与原方程组同解的方程组4 x4000x22x30,03x12x35 x4 ,由此即得3( x3 , x4 可任意取值 ).x22x34x4 ,3令 x3c1 , x4c2，把它写成通常的参数 形式x12c255c2 ,x1233x22c24c2,x2c12c243x313 .x3c1,x400x4c2 ,1方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题，这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用，在其他的许多科学领域中也有重要的应用。例如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似，这个概念。线性代数学

8、习对数学建模十分必要。那么 , 为什么线性代数得到广泛运用 , 也就是说 , 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事 , 而并非解非线性方程组是经常的事呢 ? 这是因为 , 大自然的许多现象恰好是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点 , 世间的一切事物都是在不断地运动着的 . 所谓运动 , 从数学上描述 , 就是随时间而变化 , 因此 , 研究各个量随时间的变化率 , 即导数 , 与各个量的大小之间的关系 , 就是非常重要的。应用举例：在用化学方法处理污水过程中 , 有时会涉及到复杂的化学反应 . 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据 . 在定性地检测出反应物和生成物之后

9、, 可以通过求解线性方程组配平化学方程式 .污水处理模型准备：某厂废水中含 KCN, 其浓度为 650mg/L. 现用氯氧化法处理 ,发生如下反应 :投入过量液氯,KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H 2O.可将氰酸盐进一步氧化为氮气.请配平下列化学方程式:( 注:KOCN +KOH +Cl2 =题目摘自福建省厦门外国语学校CO 2 +N2 +KCl +H2O.2008-2009 学年高三第三次月考化学试卷)模型建立：设1KOCN2KOH3Cl 2=4CO2 5N2 6KCl 7H2O,xxxxxxx则x1x2x6x1x2x60x1x22x4x7x1x22x4x

10、7 0x1x4,x1x40x12x5即2x50x1x22x7x22x702x3x62x3x60模型求解：在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = 1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0; 1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0; x = null(A,r ); format rat, xMatlab执行后得ans =123/211/231可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T.取 k = 2得 x = (2, 4, 3, 2, 1,

11、6, 2)T. 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl =2CO+ N2+ 6KCl + 2H2O.2模型分析：利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法 . 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程 . 所得到的齐次线性方程组 Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数 s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数 n.当 r( )=n1 时,Ax= 的基础解系中含有1 个( 线性无关的 ) 解向量 .A这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2,故

12、取 k = 2.当 r( )2 时 ,Ax= 的基础解系中含有2 个以上的线性无关的解向An量 . 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况 , 在原线性方程组中添加新的方程 .模型的应用及推广：线性代数（ Linear Algebra ）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间） ，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科

13、学中。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。我们可以简单地说数学中的线性问题-那些表现出线性的问题 是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见她的应用之广！多读读书吧，数学是美的，更是有用的！