第2章误差的基本性质与处理

《第2章误差的基本性质与处理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章误差的基本性质与处理（186页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二章误差的基本性质与处理第二章误差的基本性质与处理 任何测量总是不可避免地存在误差，为了提任何测量总是不可避免地存在误差，为了提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面，作进一步的分析。测量结果的评定等方面，作进一步的分析。第一节第一节 随机误差随机误差 随机误差是在测量过程中，因存在许多随机因素对随机误差是在测量过程中，因存在许多随机因素对测量造成干扰，从而使测得值带有大小

2、和方向都难于测量造成干扰，从而使测得值带有大小和方向都难于预测的误差。预测的误差。对测量数据中的系统误差进行处理后，仍残留微小对测量数据中的系统误差进行处理后，仍残留微小的系统误差，这些微小的系统误差已具有随机误差的的系统误差，这些微小的系统误差已具有随机误差的性质，也可把这种残存的系统误差当作随机误差来考性质，也可把这种残存的系统误差当作随机误差来考虑。虑。由于测量误差具有普遍存在的性质，决定了任何测由于测量误差具有普遍存在的性质，决定了任何测量都存在随机误差。量都存在随机误差。研究研究随机误差随机误差的意义的意义 研究随机误差不仅是为了能对测量结果中的随机误研究随机误差不仅是为了能对测量结

3、果中的随机误差做出科学的评定，而且是为了能够指导人们合理安差做出科学的评定，而且是为了能够指导人们合理安排测量方案，设法减小随机误差对测量结果的影响，排测量方案，设法减小随机误差对测量结果的影响，充分发挥现有仪表的测量精度，从而能对测量所得救充分发挥现有仪表的测量精度，从而能对测量所得救据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。随机误差的出现没有确定的规律，但就误差的总体随机误差的出现没有确定的规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。而言，却具有统计规律性。随机误差可以用概率论中所研究的随机变量来描述，随机误差可以用概率论中所研究的随机变量来描

4、述，从而解决了对随机误差的研究方法。因此，所得结论从而解决了对随机误差的研究方法。因此，所得结论只能是估计出随机误差的变化范围，而不能得到其确只能是估计出随机误差的变化范围，而不能得到其确切的具体值，这在实用中是能够满足需要的。切的具体值，这在实用中是能够满足需要的。一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素所构成，主要有以下几方面：因素所构成，主要有以下几方面：(1)测量装置方面的因素测量装置方面的因素 零部件配合的不稳定性、零部零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。件的

5、变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。(2)环境方面的因素环境方面的因素 温度的微小波动、湿度与气压的温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。(3)人员方面的因素人员方面的因素 瞄准、读数的不稳定等。瞄准、读数的不稳定等。二、正态分布二、正态分布 在满足一定要求的情况下，把随机误差看成是服从在满足一定要求的情况下，把随机误差看成是服从正态分布规律，是具有实用性和普遍性的。正态分布规律，是具有实用性和普遍性的。正态分布只是随机误差分布的一种近似概括，其近正态分布只是随机误差分布的一种近似概括，其近似程度取决于实际分布与正

6、态分布的差异。似程度取决于实际分布与正态分布的差异。完全严格地服从正态分布的随机误差是没有的，而完全严格地服从正态分布的随机误差是没有的，而近似符合正态分布的随机误差占大多数，也确实有些近似符合正态分布的随机误差占大多数，也确实有些随机误差不服从正态分布。随机误差不服从正态分布。正态分布规律是研究随机误差正态分布规律是研究随机误差的理论基础：的理论基础：(1)通过实践的检验，大量观测值的随机误差都服从正通过实践的检验，大量观测值的随机误差都服从正态分布。态分布。(2)对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足够多时，这些随机变量之和近似地服从正态分

7、布，随够多时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，随机量越多则越近似。机量越多则越近似。(3)整个经典误差理论是以正态分布为基础理论发展起整个经典误差理论是以正态分布为基础理论发展起来的。正态分布也是研究其它分布的基础。来的。正态分布也是研究其它分布的基础。(4)有些测量，尤其测量次数较少时，测量误差服从什有些测量，尤其测量次数较少时，测量误差服从什么分布规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式么分布规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式更难于找到，在这种情况下可用正态分布来代替。更难于找到，在这种情况下可用正态分布来代替。随机误差的几个特征随机误差的几个特征 若测量列中不包含系统误差和粗大

8、误差，则该测量列若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：中的随机误差一般具有以下几个特征：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。为误差的对称性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性。称为误差的单峰性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。定界限，这称为误差的有界性。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于随着测量次数的增加，随机

9、误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。零，这称为误差的抵偿性。服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征。由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。正态分布的分布密度正态分布的分布密度f()与分布函数与分布函数F()式中式中 标准差标准差(或均方根误差或均方根误差)；e自然对数的底，其值为自然对数的底，其值为2.7182（2-2）（2-3）数学期望数学期望（2-4）（2-5）方差方差平均误差平均误差 或然误差或然误差（2-6）（2-7）正态分布曲线正态分布曲线 值为曲线上拐点值为曲线上拐点A的横坐标，的横坐标，值为曲线右半部面积重心值为曲线右半部面积重心

10、B的的横坐标，横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。测量值精度参数的意义测量值精度参数的意义 若评价一组测量值的精确度高低，就可利用极限误差若评价一组测量值的精确度高低，就可利用极限误差lim，标准误差标准误差，算术平均误差算术平均误差或然误差或然误差这些参数做置信限，这些参数做置信限，故统称它们为测量列故统称它们为测量列(一组测量值一组测量值)精度参数。对同一组测量精度参数。对同一组测量值的不同精度参数若按数值大小值的不同精度参数若按数值大小(取相同计量单位取相同计量单位)进行排列，进行排列，则有则有 相应的置信概率为相应的置信概率为 对不同测量列比较其

11、精度时，则取相同置信概率所对应的精对不同测量列比较其精度时，则取相同置信概率所对应的精度参数进行比较，数值大者精度低，数值小者精度高。度参数进行比较，数值大者精度低，数值小者精度高。由于由于lim，与与存在固定、简单的比例关系，它们所具有存在固定、简单的比例关系，它们所具有的性质是一样的，只是相应的置信概率大小不同。因此，在讨的性质是一样的，只是相应的置信概率大小不同。因此，在讨论中就以最常用的标准误差论中就以最常用的标准误差为测量列精度参数的代表。为测量列精度参数的代表。0)(p 正态分布不同置信限的概率99.7%95.4%68.3%2233三、算术平均值三、算术平均值 设设l1，l2，ln

12、为为n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为（2-8）算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值必然趋近于真值L0。因此，在数学上又称之为最大或然值。下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii由此可得出结论：由此可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数

13、无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9)此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值：(2-10)式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。xlii0lnillloii,2,10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxnii

14、nioiniionii0 x若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。算术平均值近似地作为被测量的真值算术平均值近似地作为被测量的真值 由由概率论可知，如果能够对某一量进行无限多次测量，率论可知，如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据。被认为是最接近于真值的理论

15、依据。一般情况下，由于实际上都是有限次测量，我们只能一般情况下，由于实际上都是有限次测量，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值，根据误差定义把算术平均值近似地作为被测量的真值，根据误差定义则有则有式中 li第i个测得值，i1，2，n ili 的残余误差(简称残差)。（2-9）算术平均值简便计算法算术平均值简便计算法 如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多时，可按以下方法计算算术平均值较多时，可按以下方法计算算术平均值 。任选一个接近所有测得值的数任选一个接近所有测得值的数l l0 0作为参考值计算作为参考值计算出每个测得值出每个测得值

16、l li i，与与l l0 0的差值的差值 因因则有式中的 为简单数值，很容易计算。ox（2-10）例例21 测量某物理量测量某物理量10次，得到结果见表次，得到结果见表21，求算术平均值。求算术平均值。表表2-1算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。得的残余误差代数和性质来校核。理论上：理论上：实际应用：实际应用：当当n n为偶数时，有为偶数时，有 当当n为奇数时，有为奇数时，有 式中的式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。个单位

17、。（2-11）例例22 用例用例21数据，对计算结果进行校核。数据，对计算结果进行校核。x=1879.64 n=10因n为偶数，校核计算 结论结论：计算结果正确。四、测量的标准差四、测量的标准差 1测量列中单次测量的标准差测量列中单次测量的标准差 标准差标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高量精度高(如图中的第一条曲线如图中的第一条曲线)；反之，测量精度就低；反之，测量精度就低(如图中的如图中的第三条曲线第三条曲线)

18、。因此单次测量的标准差。因此单次测量的标准差是表征同一被测量的是表征同一被测量的n次次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。的评定标准。标准差不同的测量列标准差不同的测量列（123）关于标准差关于标准差与测得值的概念与测得值的概念 标准差标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差

19、的随机误差，一般都不等于一般都不等于，但却认为这一系列测但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差度测量，其标准差也不相同。也不相同。等精度测量列中的单次测量的标准差计算：等精度测量列中的单次测量的标准差计算：式中式中 n测量次数测量次数(应充分大应充分大)；i测得值与被测量的真值之差测得值与被测量的真值之差 当被测量的真值为未知时，按式当被测量的真值为未知时，按式(212)不能求得不能求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可

20、用残余标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差误差vi代替真误差，而得到标准差的估计值。代替真误差，而得到标准差的估计值。（2-12）用残余误差用残余误差vi代替真误差的标准差的估计值代替真误差的标准差的估计值 根据定义，有根据定义，有xlii真误差真误差残余误差残余误差0Lxx令令则有则有xii（2-14）将式将式(214)对应项相加得对应项相加得 故有故有（2-15）若将式若将式(214)平方后再相加则得平方后再相加则得（2-16）将式将式(215)平方有平方有 当当n适当大时，适当大时，趋近于零，故可忽略趋近于零，故可忽略。故由式故由式(216)得得（2-17）由式由式(212)

21、可知可知 代入式代入式(217)得得 式（2-18）称为贝塞尔(Bessel)公式(2-18)用残余误差表示用残余误差表示 的的或然误差或然误差和平均误差和平均误差（2-19）（2-20）2测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。取方差取方差 故有故有 即即（2-21）与测量次数与测量次数n的关系的关系 式（2-21）的意义 （1）在在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标次测量的等精度测量列中，算术

22、平均值的标准差为单次测量标准差的准差为单次测量标准差的 ，当测量次数，当测量次数n愈大时算愈大时算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。（2）增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精）增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与测量次数的平方根成反比，因此要显著地提高度是与测量次数的平方根成反比，因此要显著地提高调量精度，必须付出较大的劳动。调量精度，必须付出较大的劳动。（3）一定时，当一定时，当n10以后己减少得非常缓慢，因以后己减少得非常缓慢，因此一般情况下取此一般情况下取n10以内较为经济合理。以内较为经济合理。总之，要提高测量精度，应

23、采用适当精度的仪器，总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。选取适当的测量次数。n1用残余误差表示的或然误差用残余误差表示的或然误差R和平均误差和平均误差T（2-24）（2-25）例例24 用游标卡尺对某一尺寸测量用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下差和租大误差，得到数据如下(单位为单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。求算术平均值及其标准差。将算术平均值的计算和校核结果列于表将算术平均值的计算和

24、校核结果列于表根据上述各个误差计算公式可得根据上述各个误差计算公式可得3标准差的其他计算法标准差的其他计算法 除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法等。极差法及最大误差法等。（1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters）由贝塞尔公式由贝塞尔公式(218)得得 此式近似为此式近似为 则平均误差则平均误差 故有故有 算术平均值的标准差为算术平均值的标准差为（2-26）（2-27）例例2-4 的例子用两种方法计算结果比较的例子用两种方法计算结果比较 贝塞尔法 =0.0303 =0.0096x=0.0330 =0.0104x别捷尔斯法

25、(2)极差法极差法 用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。用极差法。若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值取最大值x xmaxmax与最小值与最小值x xminmin，则两者之差称为极差则两者之差称为极差（2-28）根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望

26、为（2-29）故可得故可得的无偏估计值，若仍以的无偏估计值，若仍以表示，则有表示，则有 因因（2-30）式中dn的数值见表24。极差法选可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。（3）最大误差法）最大误差法 在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确度的用来代替真值使用的量值(称为实际值或约定真值)，因而能够算出随机误差i，取其中绝对值最大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式 maxi（2-32）一般情况下，被测量的真值为未知。不能按式(231)求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为（2-31）式(231)和式(232)中两系数Kn、

27、Kn的倒数见表25。最大误差法的特点最大误差法的特点 最大误差法简单、迅速、方便，容易掌握，因而有最大误差法简单、迅速、方便，容易掌握，因而有广泛用途。当广泛用途。当n10时，最大误差法具有一定的精度。时，最大误差法具有一定的精度。在代价较高的实验中在代价较高的实验中(如破坏性实验如破坏性实验)，往往只进行一次，往往只进行一次实验，此时贝塞尔公式成为实验，此时贝塞尔公式成为0/0形式而无法计算标准差，形式而无法计算标准差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。因而最大误差法就显得特别有用。例例2-4的例子各

28、种方法计算结果比较的例子各种方法计算结果比较 贝塞尔法贝塞尔法 别捷尔斯法别捷尔斯法 =0.0303 =0.0096 x=0.0330 =0.0104 x极差法极差法 最大误差最大误差 =0.0292 =0.0092 x=0.0256 =0.0081 x小小 结结 贝塞尔法是由残余误差的平方和求出单次测量的标贝塞尔法是由残余误差的平方和求出单次测量的标准差和算术平均值的标准差。准差和算术平均值的标准差。捷尔斯法是由残余误差的绝对值之和求出单次测量捷尔斯法是由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差和算术平均值的标准差。的标准差和算术平均值的标准差。极差法选取最大值极差法选取最大值xmax与最小

29、值与最小值xmin，可简单迅速算可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。时均可采用。最大误差法选取最大残余误差可简单迅速算出标准差，最大误差法选取最大残余误差可简单迅速算出标准差，当当n10时，最大误差法具有一定的精度。时，最大误差法具有一定的精度。五、测量的极限误差五、测量的极限误差 测量的极限误差是统计学上的极端误差，测量结果(单次测量或测量列的算术平均值)的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值(1P)可予忽略。（1）单次测量的极限误差）单次测量的极限误差 测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，可求得单次

30、测量的极限误差。由概率积分可知，随机误差在由概率积分可知，随机误差在至至范围范围内的概率为内的概率为 引入新的变量引入新的变量t 概率积分为概率积分为（2-33）（2-34）不同不同t值的概率值的概率 由表可见，随着t的增大，超出的概率减小得很快。当t2，即2时，在22次测量中只有1次的误差绝对值超出2范围；当t3，即3时，在370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。单次测量的极限误差单次测量的极限误差 由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于此可以认为绝对值大于3的误差是不可能出现的，通的误差是不可能出现的，通常把这个误差

31、称为单次测量的极限误差，即常把这个误差称为单次测量的极限误差，即 (235)当t3时，对应的概率P9973。在实际测量中，有时也可取其他在实际测量中，有时也可取其他t值来表。值来表。一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示下式表示 (236)（2）算术平均值的极限误差）算术平均值的极限误差 同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为 通常取t3，则（2-37）（2-38）有关说明有关说明：实际测量中，有时也可取其他实际测量中，有时也可取其他t值来表示算术平均值的极限误差。值来表示算术平均值的极限误差。但当

32、测量列的测量次数较少时，应按但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏学生氏”分布或称分布或称t分布来分布来计算测量列算术平均值的极限误差。计算测量列算术平均值的极限误差。对于同一个测量列，按正态分布和对于同一个测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值概率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值极限误差也不相同。极限误差也不相同。计算举例计算举例 对某量进行对某量进行6次测量，测得数据如下：次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46

33、求算术平均值及其极限误差。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值 标准差 按按t分布计算算术平均值的极限误差，查表取分布计算算术平均值的极限误差，查表取=0.01 按正态分布计算，同样取按正态分布计算，同样取=0.01（P=0.99）=2.580.019=0.049 由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。故当测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。关于确定测量次数的方法讨论关于确定测量次数的方法讨论 在精密测量中，为了减小随机误差对测量结果的影响，在精密测量中，为了减小随机误差对测量结果的影响，要求进行多次测量。作为测量结果的算术平均值，也会要求进行多次测量。

34、作为测量结果的算术平均值，也会随测量次数随测量次数n的增加而愈接近被测量的真值的增加而愈接近被测量的真值A0，其相应其相应的精度参数也会相应地缩小。但测量次数增加，进行测的精度参数也会相应地缩小。但测量次数增加，进行测量所付的代价也会增大。因此，正确地确定所需测量的量所付的代价也会增大。因此，正确地确定所需测量的次数，乃是进行精密测量首先要解决的实际问题，也是次数，乃是进行精密测量首先要解决的实际问题，也是测量工作者非常感兴趣的问题。测量工作者非常感兴趣的问题。若想得出最佳测量次数，所要考虑的问题比较复杂。若想得出最佳测量次数，所要考虑的问题比较复杂。为了满足测量的需要，既要能充分利用所用测量

35、仪表的为了满足测量的需要，既要能充分利用所用测量仪表的精度又要付出比较合适的代价，可以从不同角度来分精度又要付出比较合适的代价，可以从不同角度来分析所需测量次数析所需测量次数n的多少，经过综合分析后确定最佳测的多少，经过综合分析后确定最佳测量次数。量次数。1根据数理统计所需子样容量来确定测量次数根据数理统计所需子样容量来确定测量次数 在实际测量中得到的测量列，相当于在一个无穷大在实际测量中得到的测量列，相当于在一个无穷大的母体中抽取一个子样，子样容量的大小就是测量次的母体中抽取一个子样，子样容量的大小就是测量次数数n。根据子样得到的信息，对母体统计体规律根据子样得到的信息，对母体统计体规律(或

36、总体统或总体统计规律计规律)的某些特征做出统计判断，而子样的某些特征做出统计判断，而子样(样本样本)容量容量的大小就直接影响到判断的可靠性。的大小就直接影响到判断的可靠性。通常认为，检验时要求子样容量n50。否则就要依据小子样理论，求出其统计量的确切分布来研究统计性质的问题。当子样容量小于50时得出的一些结论，其可靠性值得怀疑,只能做为分析问题的参考。但在进行实际测量的过程中，这种提法是值得商榷的，因为一般精密测量次数n达到50次是难于做到的。2根据测量结果精度参数确定测量次数根据测量结果精度参数确定测量次数 从测量结果精度参数的计算公式可以看出，测量结从测量结果精度参数的计算公式可以看出，测

37、量结果的精度参数会随果的精度参数会随n的增加而减少。的增加而减少。随随n n的增加值减小，的增加值减小，呈非线性关系。呈非线性关系。根据曲线根据曲线 n n 的形状可以看出通过增加测量次数的形状可以看出通过增加测量次数来提高测量结果的精度，其测量次数不宜超过来提高测量结果的精度，其测量次数不宜超过1515。n1n1 若使测量结果的精度提高一倍，测量次数要增加到4(n4)；着想使测量结果的精度提高一个数量级，即 0.1，则测量次数应增加到100。这样随着n的增加，对进行测量所付出的代价与得到的好处是不相称的。n13根据求得近似值的置信度来确定测量次数根据求得近似值的置信度来确定测量次数 根据小子

38、样分布的理论，而不是用正态分布作近似根据小子样分布的理论，而不是用正态分布作近似的研究，当的研究，当n10时，其置信概率时，其置信概率P0.90；若若n20，则则P0.99，其置信度已很高了，因此，从置信概率考其置信度已很高了，因此，从置信概率考虑，测量次数虑，测量次数n取取1020已足够了。已足够了。4根据系统误差及粗大误差存在来考虑测量次数根据系统误差及粗大误差存在来考虑测量次数 确定测量次数须要考虑到系统误差的存在，对于恒定确定测量次数须要考虑到系统误差的存在，对于恒定系统误差不会因测量次数的不同而有所改变，对于累进系统误差不会因测量次数的不同而有所改变，对于累进性系统误差会因测量次数的

39、增加而加大。在系统误差与性系统误差会因测量次数的增加而加大。在系统误差与随机误差并存的情况下，随着测量次数的增加，使随机随机误差并存的情况下，随着测量次数的增加，使随机误差对测量结果的影响消弱到近于或小于系统误差对测误差对测量结果的影响消弱到近于或小于系统误差对测量结果的影响以后，再继续增加测量次数，对测量是无量结果的影响以后，再继续增加测量次数，对测量是无益的。益的。粗大误差的存在会严重歪曲测得值，使它不能反映被粗大误差的存在会严重歪曲测得值，使它不能反映被测量的情况，从而使测量失去意义。测量的情况，从而使测量失去意义。测量经验指出，严格认真地进行测量经验指出，严格认真地进行23次测量，胜过

40、草次测量，胜过草率地进行多次测量。因为随着测量次数的增加，测量人率地进行多次测量。因为随着测量次数的增加，测量人员难免疲劳，精力不能集中，而造成粗大误差的出现。员难免疲劳，精力不能集中，而造成粗大误差的出现。5.根据实际测量系统采确定测量次数根据实际测量系统采确定测量次数 为了能充分发挥所用测量仪表的现有精度，确定出合理的为了能充分发挥所用测量仪表的现有精度，确定出合理的实用测量次数，应当根据实际测量系统采确定测量次数。实实用测量次数，应当根据实际测量系统采确定测量次数。实际测量系统，应包括所采用的测量方法、所用的测量仪表和际测量系统，应包括所采用的测量方法、所用的测量仪表和进行测量所处的环境

41、。对于不同的实际测量系统应采用不同进行测量所处的环境。对于不同的实际测量系统应采用不同的测量次数，其核心问题还是从测量仪表的灵敏阈的测量次数，其核心问题还是从测量仪表的灵敏阈来考虑，来考虑，因为实际测量系统所能达到的测量精度是与测量仪表的灵敏因为实际测量系统所能达到的测量精度是与测量仪表的灵敏阈阈相联系的。理论上指出，实际测量系统一定时，对应于相联系的。理论上指出，实际测量系统一定时，对应于所获得的测量列精度参数所获得的测量列精度参数就一定。就一定。在实际测量系统中所用测量仪表的精度越高在实际测量系统中所用测量仪表的精度越高(即即越小越小)，若想充分利用测量仪表所具有的测量精度，要求进行测量的

42、若想充分利用测量仪表所具有的测量精度，要求进行测量的次数就越多，反之要求测量的次数就越少。次数就越多，反之要求测量的次数就越少。根据上述分析可知测量次数根据上述分析可知测量次数n的取值范围为的取值范围为150之间为宜，之间为宜，但是所需测量次数的确切值，还应根据实际测量系统来决定。但是所需测量次数的确切值，还应根据实际测量系统来决定。关于测量仪器灵敏阈对标准误差的影响的补充讨论关于测量仪器灵敏阈对标准误差的影响的补充讨论 在研究等精度测量列的精度问题中在研究等精度测量列的精度问题中,测量列精度参数是测量列精度参数是根据概率论从理论上推导出来的。确立它的条件可归结为根据概率论从理论上推导出来的。

43、确立它的条件可归结为三条：三条：(1)测量次数要趋于无穷大测量次数要趋于无穷大(n)因为在处理测量数据时是把测得值和误差值当成连续型随机变量来处理的，并且认为其是服从正态分布的。(2)测量仪器的灵敏度可无限制地提高测量仪器的灵敏度可无限制地提高 理论上指出，连续型随机变量在多么小的区间内都存在无穷多个点，这就要求进行测量的仪表对多么小的差别都能反应出来。(3)测得值中不含系统误差和粗大误差测得值中不含系统误差和粗大误差 如果在测得值中含有系统误差或粗大误差，将使测得值具有确切变化的规律，或使测得值受到严重的歪曲。在决定测量列精度参数的三个条件中，最重要的一条就在决定测量列精度参数的三个条件中，

44、最重要的一条就是要求测量仪器灵敏阈能无限制地缩小，即仪器的灵敏度是要求测量仪器灵敏阈能无限制地缩小，即仪器的灵敏度能无限制地提高。只有这样，才能使无论多么小的随机误能无限制地提高。只有这样，才能使无论多么小的随机误差，都能在测量中反映出来，才能把随机误差的分布密度差，都能在测量中反映出来，才能把随机误差的分布密度曲线看成是连续光滑的正态分布曲线。但在实际测量中，曲线看成是连续光滑的正态分布曲线。但在实际测量中，任何仪器的灵敏度度是有限的，即存在一定的灵敏阈任何仪器的灵敏度度是有限的，即存在一定的灵敏阈。当测得值当测得值x处在某一确定值处在某一确定值xa为中心的为中心的区间时区间时(xa1/2

45、x xa+1/2)，仪器反映不出其之间的差别，实际测，仪器反映不出其之间的差别，实际测到的数值皆为到的数值皆为xa。即使测量次数即使测量次数n，由于存在仪器的灵敏阈，由于存在仪器的灵敏阈，也会，也会把实际上存在差别的数值读成同一数值，使测得值不能全把实际上存在差别的数值读成同一数值，使测得值不能全面反映出随机误差的真实情况而出现误差。面反映出随机误差的真实情况而出现误差。谢波尔德修正公式谢波尔德修正公式 为了消除因为了消除因存在而造成求得的标准差存在而造成求得的标准差有误差，可有误差，可根据谢波尔德公式进行修正。根据谢波尔德公式进行修正。(修正公式-1)式中：式中：为对为对进行修正后的标准误差

46、；为未考虑进行修正后的标准误差；为未考虑影响影响的标淮误差；的标淮误差；为仪器的灵敏阈。为仪器的灵敏阈。因该式的证明较繁，故不再介绍。在此只用其结论，得因该式的证明较繁，故不再介绍。在此只用其结论，得出是否需要考虑仪器灵敏阈出是否需要考虑仪器灵敏阈影响的标准。影响的标准。仪器灵敏阈仪器灵敏阈的选择标准（的选择标准（1）一般标准误差值的大小最多只取两位有效数字，根一般标准误差值的大小最多只取两位有效数字，根据有效数字的化整原则，当据有效数字的化整原则，当存在引起的误差小于存在引起的误差小于0.005，这项误差就可以忽略。即，这项误差就可以忽略。即 或或代入上修正公式-1，得满足此条件，因满足此条

47、件，因引起的误差就可以忽略引起的误差就可以忽略。为便于记忆，可近似看成(选择公式-1)仪器灵敏阈仪器灵敏阈的选择标准（的选择标准（2）若标注的误差值仅取一位有效数字，则可取：若标注的误差值仅取一位有效数字，则可取：(选择公式-2)在实际测量中，一般都能满足上式在实际测量中，一般都能满足上式(选择公式-1)或式或式(选择公式-2)的条件，因此，都不用考虑的条件，因此，都不用考虑的影响，若遇到满足不了的影响，若遇到满足不了式式(-2)或式或式(-3)条件的情况，则应考虑用式条件的情况，则应考虑用式(修正公式-1)进行修进行修正。正。上述两条标准，也可作为选用测量仪表时考虑测量仪表灵敏上述两条标准，

48、也可作为选用测量仪表时考虑测量仪表灵敏阈阈的条件，即是根据测量结果精度的要求，来确定被选用仪的条件，即是根据测量结果精度的要求，来确定被选用仪表的灵敏度。最好能选用可忽略表的灵敏度。最好能选用可忽略影响的仪表。若实在有困难影响的仪表。若实在有困难可考虑修正后能满足测量精度要求的仪表。若连这种仪表都可考虑修正后能满足测量精度要求的仪表。若连这种仪表都选不到，则这种测量结果的精度要求是难于满足的。选不到，则这种测量结果的精度要求是难于满足的。六、不等精度测量六、不等精度测量 在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、

49、不同的测量件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。为不等精度测量。对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度(如如标准差标准差)，不能套用前面等精度测量的计算公式，需推，不能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。导出新的计算公式。在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况：情况：第一种情况第一种情况，用不同测量次数进行对比测量。，用不同测量次数进行对比测量。第二种情况第二种情况

50、，用不同精度的仪器进行对比测量。，用不同精度的仪器进行对比测量。1权的概念权的概念 在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果

51、的可靠程些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权权”，记为，记为p。因此测量结果的权可理解为，当它与因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。度。2权的确定方法权的确定方法 最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数采确定权的靠程度也愈

52、大，因此完全可由测量的次数采确定权的大小，即大小，即pini。假定同一个被测量有假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不向的组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不向的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差则各组算术平均值的标准差为为 因为pini，故 上式又可写成（2-40）（2-41）（2-42）结论结论：每组测量结果的权与其相应的标淮差平方：每组测量结果的权与其相应的标淮差平方成反比。成反比。3.

53、加权算术平均值加权算术平均值 若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 1，2，m，设相应的测量次数为n1，n2，nm，即 xxx（2-43）根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为：平均值应为：将式将式(243)代入上式得，并简写代入上式得，并简写 得得（2-44）加权算术平均值加权算术平均值的的简化计算式简化计算式 为简化计算，加权算术平均值可用下式表示为简化计算，加权算术平均值可用下式表示 式中的x0为接近 i的任选参考值。x（2-46）例例211 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得工作基准米尺在连续三天内与

54、国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为到工作基准米尺的平均长度为 999.9425mm(三次测量的三次测量的)，999.9416mm(两次测量的两次测量的)，999.9419mm(五次测量的五次测量的)，求最后测量结果。求最后测量结果。按测量次数来确定权：按测量次数来确定权：p13，p22，p35。选取。选取x0999.94mm，则有则有=999.9420mm4单位权概念单位权概念 式中的式中的为等精度单次测得值的标准差。为等精度单次测得值的标准差。此可认为，具有同一方差此可认为，具有同一方差2 2的等精度单次测得值的权数为的等精度单次测得值的权数为l l。权数为权数为l的特别意义特别意

55、义：由于测得值的方差由于测得值的方差2的权数为的权数为l在此有特殊用途，故在此有特殊用途，故特称等于特称等于1的权为单位权，而的权为单位权，而2为具有单位权的测得值为具有单位权的测得值方差，方差，为具有单位权的测得值标准差。为具有单位权的测得值标准差。单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为方根，得到新的量值权数为1。用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。权化，使该测量列转化为等精度测量列。5加权算术平均值的标准差加权算术平均值的

56、标准差 对同一被测量进行对同一被测量进行m组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到m个测量个测量结果结果，若已知单位权测得值的标准差若已知单位权测得值的标准差，则全部则全部(m n个个)测得值的算术平均值的标准差为测得值的算术平均值的标准差为 因故有（2-49）式式(249)的意义：的意义：由式由式(249)可知，当各组测量的总权数为已知时，可知，当各组测量的总权数为已知时，可由任一组的标淮差，和相应的权，或者由单位权的可由任一组的标淮差，和相应的权，或者由单位权的标准差标准差求得加权算术平均值的标准差。求得加权算术平均值的标准差。（2-49）当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接应当各组

57、测量结果的标准差为未知时，则不能直接应用式用式(249)，而必须由各测量结果的残余误差来计算，而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。加权算术平均值的标准差。已知各组测量结果的残余误差为已知各组测量结果的残余误差为 将各组单位权化，则有将各组单位权化，则有（2-51）代入等精度测量的公式代入等精度测量的公式(218)，得到，得到 再将式再将式(250)代入式代入式(249)得得（2-50）关于（关于（2-51）式的说明：）式的说明：用式(251)可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但只有当组数m足够多时，才能得到较为精确的值，一般情况下的组数较少，只能得到近

58、似的估计值。例例212 求例求例211的加权算术平均值的标准差。的加权算术平均值的标准差。由前例已知三组测量的加权算术平均值由前例已知三组测量的加权算术平均值 9999420mm，故可得各组测量结果的残余误差，故可得各组测量结果的残余误差为为x代入代入2-51式式 得得七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。随着误差理论研究与应用的深入是唯一的分布规律。随着误差理论研究与应用的深入发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非正态分布，其

59、实际分布规律可能是较为复杂的，现将正态分布，其实际分布规律可能是较为复杂的，现将其中几种常见的非正态分布及几种统计量随机变量分其中几种常见的非正态分布及几种统计量随机变量分布规律作简要介绍。布规律作简要介绍。1均匀分布均匀分布 在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称为矩形分布或等概率分布。出现的概率各处相等，故又称为矩形分布或等概率分布。例如：仪器度盘刻度误差所引起的误差；例如：仪器度盘刻度误差所引起的误差；仪器传动机构

60、的空程误差；仪器传动机构的空程误差；大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差；大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差；数字式仪器在数字式仪器在1单位以内不能分辨的误差；单位以内不能分辨的误差；数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。均匀分布的分布密度和分布函数均匀分布的分布密度和分布函数（2-52）（2-53）数学期望数学期望 分布密度函数分布密度函数 分布函数分布函数 方差方差 标准差标准差（2-54）（2-55）（2-56）2反正弦分布反正弦分布 反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的分布规律，其特点是

61、该随机误差与某一角度成分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。正弦关系。例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。反正弦分布的分布密度和分布函数反正弦分布的分布密度和分布函数（2-57）（2-58）数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差（2-59）（2-60）（2-61）3三角形分布三角形分布 当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊又称辛

62、普逊(Simpson)分布。在实际测量中，分布。在实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。的测量误差为三角形分布误差。例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。三角形分布误差的分布密度和分布函数三角形分布误差的分布密度和分布函数（2-62）（

63、2-63）数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差 必须指出，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求必须指出，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。E=0（2-64）（2-65）（2-66）在测量工作中，除上述的非正态分布外，还在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等。二点分布等。八、几个重要统计量的分布八、几个重要统计量的分布 为对随机变量分布及其参数有所了解，就要对它进行观为对随机变量分

64、布及其参数有所了解，就要对它进行观测。把测。把n次观测所得到的次观测所得到的n个数值个数值(x1，x2，.，xn)称为称为一个容量为一个容量为n的样本，而把随机变量可取值的全体称为的样本，而把随机变量可取值的全体称为总体。根据样本对总体作种种有关的统计推断时，常需总体。根据样本对总体作种种有关的统计推断时，常需要用到样本的某些函数，如样本平均值，样本方差等等，要用到样本的某些函数，如样本平均值，样本方差等等，把用样本作为变量的一切函数统称为统计量。由于抽样把用样本作为变量的一切函数统称为统计量。由于抽样是随机的，所以容量为是随机的，所以容量为n的样本可以看作是一个的样本可以看作是一个n维随机维

65、随机变量，这样统计量也是随机变量，它也有本身的分布和变量，这样统计量也是随机变量，它也有本身的分布和相应的特征数字。相应的特征数字。下面介绍几个重要的统计量及它们的分布。下面介绍几个重要的统计量及它们的分布。1.随机变量的随机变量的 分布分布 令各令各1，2，为为个独立随机变量，个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量一个新的随机变量（2-67）随机变量随机变量 称为自由度为称为自由度为的卡埃平方变量。自的卡埃平方变量。自由度数由度数表示上式中项数或独立变量的个数。表示上式中项数或独立变量的个数。22分布的分布密度函数分布

66、的分布密度函数（2-68）式中的为式中的为函数。函数。定义为定义为 2数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差（2-69）（2-70）（2-71）可以证明，当可以证明，当充分大时，曲线趋近正态曲线。充分大时，曲线趋近正态曲线。值得提出的是，在这里称值得提出的是，在这里称为自由度，它的改为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。变将引起分布曲线的相应改变。2.t 分布分布 令令和和是独立的随机变量，是独立的随机变量，具有自由度为具有自由度为的的 分分布函数，布函数，具有标准化正态分布函数，则定义新的随机具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为变量为 2 （2-72）式中的式中的为自由度。为自由度。随机变量随机变量t称自由度为称自由度为的学生氏的学生氏t变量。变量。t分布的分布密度函数分布的分布密度函数 （2-73）数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差 （2-74）（2-75）（2-76）t分布的数学期望为零，分布密度曲线对称于纵坐标轴，但它分布的数学期望为零，分布密度曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化正充分布密度曲线不同，如图所示。可以证明，当自和标准化正充分布密度曲线不同，