系统工程之多目标决策

《系统工程之多目标决策》由会员分享，可在线阅读，更多相关《系统工程之多目标决策（92页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 多目标决策 第十六章制作人制作人 赵小君赵小君 2002年年3月月22日日第一节 引言 在生产、经济、科学和工程活动中经常需要对多个目标（指标）的方案、计划、设计进行好坏的判断，例如设计一个导弹，既要其射程远，又要耗燃料少，还要命中率高等；又如选择新厂址，除了要考虑运费、造价燃料供应费等经济指标外，还要考虑对环境的污染等社会因素。只有对各种因素的指标进行综合衡量后，才能作出合理的决策。例 由n种成分 组成一个橡胶配方，可用 表示。对于每一个配方要同时考察几个指标，如强度 ，硬度 ，伸长率 ，变形度 等。假定有m个指标。它们都与配方方案 有关，它们与 的关系为 ,。当m 很多时，要比较两方案的

2、优劣时，就往往很难下决断了。于是有人把这问题用数学规划来处理。先以某指标作为主要指标，如以强度 为主要指标，并且越大越好。而其它指标只要落在一定规格内就可以。这就把这问题nxxx,21Tnxxxx,211f2f3f4fxx xf1 xf2 xfm这里A表示对 本身的一个限制，表示第 i 个指标的上、下限。化为求 xfRx1max AxmifxfxfxRiii,2,|x,iiff第二节 基本概念 在考虑单目标最优化问题时，只要比较任意两个解对应的目标函数值后，就能确定谁优谁劣（目标值相等时除外）。在多目标的情况下就不能这样比较了。例如，有两个目标都有要求实现最大化，这样的决策问题，若能列出十个方

3、案，各方案能实现 的不同的目标值如图所示。由图可见，对于第一个目标来说方案1优于2；而对于第二个目标方案则方案2优于1。因此无法确定谁优谁劣；但是它们都比方案3，5劣。方案3，5之间又无法比较。在图中10个方案，除方案3、4、5外，其它方案都比它们中的某一个劣。因而称1、2、6、7、8、9、10为劣解，而3、4、5之间又无法比较谁优谁劣；但又不存在一个比它们中任一个还好的方案，故称此三个方案为非劣解（或称为有效解）。假定m个目标 ，。同时要考察，并要求都越大越好。在不考虑其它目标时，记第I个目标的最优值为 xf1 xf2 xfm xffiRximax)0(相应的最优解记为 ，；其中R是解的约束

4、集合。ixmi,2,1 0|xgxR Tlxgxgxg,1当这此 都相同时，就以这共同解作为多目标的共同最优解。一般不会全相同，例如 时，这两个解就难比优劣，但是它们一定都是非劣解。为了与单目标最优化的记号有所区别，今后用 ix 21xx xFVRxmax xFVxgmax0)(或表示在约束集合R内求多目标问题的最优（亦称求向量最优）；其中若各目标都要求越小越好，就用表示。为了简易起见，本节一般只考虑n维欧氏空间 ，即实际上当 是最优解时，即表示 有当 是非劣解时，即不存在 有 TmxfxfxF,1 xFVRxminnE.,21mnTnExFERRxxxx0 x,Rx *0 xFxF0 x,R

5、x 0 xFxF以后用“”表示 ，但 ，即至少有一个分量，有“”才成立，即严格大于。相应的 在目标函数空间中称为非劣点或有效点。有的还进一步引入弱非劣解，即当 是弱非劣解，基不存在 有 0 xFxF 0 xFxF 0 xF0 x,Rx 0 xFxF为直观起见，举几个数值例子。1例 21 3210 ,2221xxxxxfxxxf设 xFVRRxmax,2,0求 解解 先对单个目标分别求出其最优解，显然第一个目标的最优解 。这时 11x xfxffRx11)0(1max1第二个目标的最优解是 ，这时 12x xfxffRx22)0(2max1因为 121 xx故取 作为这多目标 问1*x题的最优解

6、。下面用变量空间和目标函数空间分别来描述各种情况，见图16-2。图中 两个和 解彼此无法比较，但都劣于 。1*x图16-2 f f*xf1f2f例例2 求设,2,0,2,2221Rxfxxxf xFVRxmax 解解 容易求得 这时多目标问题没有共同最优解。从图16-3可见，两个解无法比较，但是容易找到 ，仍无法比较优劣，但还可找到 。解 却不存在 可以比它优，这时 为非劣解。本例中 时都是非劣解。,2,121xx和 优比 与 优比 2,1x2f2f1f1f f f f图16-3例例3 ,2,0,15361281,2 2221Rxxxfxxxf设求 xFVRxmax解解 易求得 ，这时多目标问

7、题无最优解，而 都是非劣解，见图16-4。,5.1,121xx5.1,1x图16-42f2f1f1f例例4 ,2,23212211xxxfxxxf设0 0 010201832:212121xxxxxxR求 xFVRxmax解 易求得 因而多目标问题最优解即 图16-5所示的 之间无法比较，但都劣于A。,6,0,6,021xx和 图16-51x2x2f1fABC在单目标时任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有序的。可是在多目标时任何两个解不一定都可以比出其优劣的，因此只能是半有序的。假定所有x是属于全空间中某一个约束集合R，即 ,在 上对任一个解x 可以定义一个半序：，（a b 表示a优于b）

8、，可把 分成三个子集：1）所有比x优的解集合；2）所有比x劣或相等的解集合；3）所有与x无法比较的解集合。显然 按照这些子集的划分，Zadeh给出“非劣”和“最优”的定义。Rx x x 定义定义1 解 叫作在R内“非劣”，如果 。定义定义2 解 叫作在R内最优，如果 。推论：推论：若 是最优解，则必为非劣解。反之不然。Rx0Rx0)(0 xR0 x第三节 化多为少的方法 要求若干目标同时都实现最优往往是很难的。经常是有所失才能有所得，那么问题的失得在何时最好。各种不同的思路可能引出各种合理处理得失的方法。以下介绍化多为少的方法。3.1 主要目标法主要目标法解决主要问题，并适当兼顾其它要求。1.

9、优选法。在实际问题中通过分析讨论，抓住其中一两个主要目标，让它们尽可能地好，而其它指标只要满足一定要求即可。通过若干次实验以达到最佳。2.数学规划法3.设有m个目标 ，要考察，其中一两个方案变量 （约束集合），若以某目标为主要目标，如 要求实现最优（最大），而对其它目标只滞一定规格要求即可，如 xf1 xf2 xfm,Rx xf1 mifxffiii,2 iiff或其中当就变成单边限制，这样问题就可化成下述非线性规划问题：RRmifxffxRxfiii,2,|max 1Rx3.2 线性加权和法线性加权和法若有m个目标 ，分别给以权系数 （i=1,2,m),然后作新的目标函数（也称效用函数）xf

10、ii 这种方法的难点是如何找到合理的权系数，使多个目标用同一尺度统一起来。同时的找到的最优解又是向量极值的好的非劣解。在多目标最优化问题中不论用何方法，至少应找到一个非劣解（或近似非劣解）。其次，因非劣解可能有很多，如何从中挑出较好的解，这个解有时就要用到另一个目标。下面介绍几种选择特权系数的方法。miiixfxU1（1）-法 先以两个目标为例，假设一个目标是要求劳动量消耗 为最小，另一个目标是收益 为最高。它们都是线性函数，都以元为单位。R也为线性约束，即 xf1 xf2bAxxR|A为矩阵，b 为列向量。作为新目标函数 由下述方程组来确定和其中211122 xfxfxU 0201*2*1*

11、101120201*2*1*202111121*12220212*2111011022*111*22011 :,0,max ,min -ffffffcffffffcccxffxfxffxffxfxffcffcffRxRx这方程组可解得可为任意的常数kffffffffffffffffffffffff01*1*2022101*1*20201*1201*1*202*202101*1*2020201*2*1121 c ,1易见从而有即可得到若规定 212,11122Rx01*1*2021*202201*1112221k ,)()(maxmax ,U,一簇平行线其斜率为取不同数时相当则若作目标值空间可表

12、示为当要求实现最大时作出的新目标函数为由这样定义的xUffxfxfxUffffxfffxfffxfxfxRx请注意点 与 的联线的斜率为 与新目标函数 的平行经簇的斜率是一致的，见图16-7。U取最大值时，正好是此平行线簇中与c点相交。01*1202011 ,ffMffM01*1*202ffff xU1M2MUUmax01f2f01f*1f02f*2f图16-7对于有m个目标 ，的情况，不妨设其中 ，要最小化，而 ，要求最大化，这时可构成下述新目标函数。xf1 xfm xf1 xfk xfk 1 xfm mkixfxfMaxffkixfxfMinffmicffxfxfMaxxUiiiRxiii

13、iiiRxiiikjmkjijjijjjmkjjjkjjjRx,1,1,1,Max 0011111Rx其中满足下方程组其中 mjixffijij,2,1,例例1 设有,4 211Minxxxf,23 212Maxxxxf,0,3,42|2212121xxxxxxxxR试用 -法求解。解解 先分别对 求得其最优解，它们是 xf1 xf2 72,100,0022222011111fxfMaxfxffxfMinfxfRxRx 6 0 :21*112*2xffxff然后求出 13153,0 510131136137613 137677 21212211201*1*202*2021UxUMaxxxxfx

14、fxfxfxUffffffRx易求得由此可得(2)当m个目标都要求实现最大时，可用下述加权和效用函数，即 法 xfMaxffxfxUiRxiiiimiii001 ,1 取其中3.3 平均和加权法平均和加权法 设 有 m 个 规 定 值 要 求 m 个 函数 分别与规定的值相差尽量小，若对其中不同值的相差又可不完全一样，即有的要求重一些，有的轻一些，这时可采用下述评判函数：.,12*给出可按要求相差程度分别其中要求iRxmiiiixUMinfxfxU,*1mff ,1xfxfm3.4 理想点法理想点法 有有m个目标个目标 每个目标分别有其每个目标分别有其最优值最优值 ,1xfxfm mixfxf

15、MaxfiiiRxi,2,1,0若所有 都相同，设为 。则令 时，对每个目标都能达到其各自的最优点。可惜一般做不到，因此对向量函数 mixi,2,10 x0 xx .,),(00101即一般达不到它只是一个理想点向量来说TmTmffFxfxfxF 理想点法，其中心思想是定义了一定的模，在这个模意义下找一个点尽量接近理想点，即让模对于不同的模，可以找到不同意义下的最优点，这个模也可看作评判函数，一般定义的p-模是：00FxFMinFxF xLxffFxFppmipii1100P的一般取值在 。当取p=2,这时模即为欧氏空间中向量 与向量 的距离，见图16-8。要求模最小，也即要找到一解，它对应的

16、目标 值与理想点的目标值距离最近，可表示为),1 xF0F .,1,3,4,6,8,1 2101101时其距离的取值见下表当两点之间如时时当pxxxffMaxxLpxffxLpxLMiniimimiiipRx2f1f02f01f),(0201ff图16-8 p 1 2 3 4 16 64 3 9 27 7 5 4.498 4pxx2111pxx2212 xLp43 当p=2时，其几何意义是两点之间的最短距离为直线；而当p2时，其距离就小于这两点之间的直线距离；并且p越大，距离值就越趋向于较大的分量（属性、目标）。因此可取不同的p值代表人们对较大分量（属性、目标）的偏爱程度，它就不是几何概念了。

17、上述3.3、3.4的方法也是目标规划法的一类，即事先规定一些指标值，然后另设目标，看其接近这些值的程度。新设的目标有时也称超目标，易证明理想点法求出的解一定是非劣解，自然它在目标值空间中就是有效点。例例9 都要求实现设21221134,23xxxfxxxf.,0,102,1832|.2212121理想点法求解试用约束集为最大ExxxxxxxxR解解 先对单目标求出最优解 对应的.4,3 6,021xx .24,12,244,3 126,0 0201002222011)1(1ffFffxfffxf故理想点为目标值为取p=2，这时要求这时可求得最优解为 ，对应的目标值分别为 见图16-9。2120

18、2220112minfxffxfxLRx65.5,53.0*x,06.19,72.9*2*1ff2f1f 2xF*xF 1xF1x2x 1x 2x图16-93.5 乘除法乘除法 当在m个目标 中，不妨设其中k个 要求实现最小，其余 要求实现最大，并假设 这时可采用评判函数 ,1xfxfm ,1xfxfk ,1xfxfmk 0,1xfxfmk min121xfxfxfxfxfxUmkk3.6 功效系数法功效系数法几何平均法几何平均法 设m个目标 其中 个目标要求实现最大，个目标要求实现最小，其余的目标是过大不行，过小也不行。对于这些目标 分别给以一定的功效系数（即评分），是在0,1 之间的某一数

19、。当目标最满意达到时，取 ；当最差时 取 。描述 与 的关系，称为功效函数，表示为 。对于不同类型目标 应先用不同类型的功效函数。I型：当 越大，也越大；越小，也越小。II型：越小，越大；越大，越小。III型：当 取适当值时，最大；而 取作偏值（即过大或过小）时，变小。,1xfxfm1k2k xfiidid1id0idid xfi iiifFd ifididididididififififif 具体功效函数构造法可以很多，有直线法，折线法，见图16-10和图16-11，指数法见面礼6-12。小f大f小f小f大f大f1合f2合f图16-10fff0.10.37(a)(b)(c)图16-120f1

20、f0f1ffffff小f小f小f大f大f大f图16-11ffffff1合f2合f用指数法构造I型功效函数，可设其表达式为fbbeed10其中 可这样确定：当 达到某一刚合格值 时，取 当 达到某一不合格值 时，取将上述要求代入上式即有ff1f0f3679.011ed6598.00eed11011fbbeeed0100fbbeeeed1011011 ,1,1 0 1011010010110ffffeffffeedIIedffbfffbfbbfbb可取为型功效函数同样对即解这得由这两式可得这时可给出值相对应使其与某一个适当的可取一个定为了确达到比较适当的值即时当为刚好可接受的值时或当这样其中取型功

21、效函数对于,.,1,0,2;,1,2 ,1dfnfdYfffedYfffffffffYedIIInYYdnln1lnln.12162,6309.031ln21ln ,31,32,21 6309.0见图即则相对应使其与这时取例如fffffYednedYffffY有了功效函数后，对每个目标都可对应为相应的功效函数。目标值可转化成功效系数。这们第确定一方案x后，就有m个目标函数值 ；然后用其对应的功效函数转换为相应的功效系数 。并可用它们的几何平均值为评价函数，显然D越大越好。D=1是最满意的，D=0是最差的。这样定义的评价函数有一个好处，一个方案中只要有一个目标值太差，如 ，就会使D=0，而不会采

22、用这个方案。xfxfm,10idmidd,mmdddD21第四节 分层序列法 由于同时处理m个目标是比较麻烦，故可采用分层法。分层法的思想是把目标按其重要性给出一个序列，分为最重要目标，次要目标等等。设给出的重要性序列为下面介绍逐个地求最优化的序列最优化。首先对第一个目标求最优，并找出所有最优解的集合记为 。然后在 内求第二个目标的最优解，记这时的最优解集合为 ，如此等等一直到求出第m个目标的最优解 ,其模型如下：xfxfm,10R0R1R0 x xfMaxxfxfMaxxfxfMaxxfmRRxmRRxRRxmm210100202101 这方法有解的前提是 非空，同时 都不能只有一个元素，否

23、则就很难进行下去。当R是紧集，函数 都是上半连续，则按下式定义的集求解。110,mRRR210,mRRR xfxfm,1 *2*1;sup|*2kkRukkRxufxfxRk.,2,1*1*1的最优解故有最优解而且是共同是非空特别都非空其中mRRRmk第五节 直接求非劣解 上述种种方法的基本点是将多目标最优化问题转化成一个或一系列单目标最优化问题。把对后者求得的解作为多目标问题的解，这种解往往是非劣解。对经转换后的问题所求出的最优解往往只是原问题的一个（或部分）非劣解，至于其它非劣解的情况却不得而知。于是出现第三类直接求所有非劣解的方法，当这些非劣解都找到后，就可供决策者做最后的选择，选出的好

24、解就称为选好解。显然决策者这时的选好，必须取决于他心中的另一个目标。这可能是定性的或无法奉告的。运筹学工作者主要是根据已知的目标，尽可能地列出非劣解，以供决策者选择。非劣解求法很多，这里仅介绍线性加权和改变权系数的方法。在第三节中已提到了线性加权的方法，但那里是按一定想法确定权系数，然后组成线性加权和的函数，并从中求出最优解。可以证明当对目标函数做一定假设，例如目标函数都是严格凹函数，则用线性加权和法求得的最优解是多目标最优化问题的一个非劣解。若再假设约束集合R为凸集，只要不断改变权系数 ，对其相应的加权和目标函数0ii miiixfxU1求出的最优解可以跑遍所有多目标问题的非劣解集，但这方法

25、只是从原则上（而且要有一定的假设）可以求出所非劣解，而在实际处理上却有一定困难。如何依次变动权系数，而使其得出最优解，正好得到所有非劣解，下面举例说明。xfMaxVRx TRxxfxfxfxfMaxV21,10其中求例 2,0,2221Rxxfxxxf解解 易看出这个多目标问题的非劣解2,1*x而利用线性加权和方法，需要作新目标函数 1,0,122xxxxU 0122 ,xxUxUR并令其为零求导中找其最优解在可得21x.,2,310;1,2,131.1,1;2,31,*的事系数仍然不是那么清楚变动权依次所以如何的并不是简单地一一对应和转换后问题的解此例说明了原问题的解非劣解即这时得不到新的的

26、最优解都是时变到从而解即这时得不到全部非劣时到变从当时时当显然xxUxx第六节 多目标线性规划的解法 当所有目标函数是线性函数，约束条件也都是线性时，可有些特殊的解法。特别是泽勒内（Zeleny）等将解线性规划的单纯形法给于适当的修正后，用来解多目标线性规划问题，或把多目标线性规划问题化成单目标的线性规划问题后求解，以下介绍两种方法。6.1 逐步法（逐步法（STEM）逐步示是一种迭代法。在求解过程中，每进行一步，分析者把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果做出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止，故称此法为逐步进行法

27、或对话式方法。设有K个目标的线性规划问题。CxMaxVRx 显然及相应的得到最优解的解个单目标线性规划问题分别求第一步求解的步骤为也可表示为矩阵为矩阵为其中.,2,1,.,2,1 ,Max .:,cC ,0,|x21112111jjjjRknkknkxckjxkjxckcccccccnkCnmAxbAxxR jjjjRxjjjijijijRxjjMxcxcMaxzxczzZxcMaxxc,其中并作表1z2zizkz11z12z1iz1kziz1iz2iizikzkz111zkz222zkiziizkkz 1x ix kxjMkkz表16-1第二步：求权系数从表16-1中得到为了找出目标值的相对

28、偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理。kjzmMjikijj,2,1,min1及 nijijjjjjnijijjjijcMMmMcMmMM12121,0 1,0当经归一化后，得权系数kjjjkjjjj,2,1,1,10,1第三步：构造以下线性规划问题，并求解。.0;.,2,1,1RxkixcMMinLpiii假定求得的解为 ，相应的k个目标值为 ,1x 11xc RxjixcxccxcxcRRcjxxcxcxckxxcxcjijjjjkk :,.,.,1111112111112改为集并将约束减少或境加一个即让点步宽容一下个目标如考虑对则考虑适当修正若认为相差太远算为满意了就可以

29、停止计的目标值进行比较后认这时决策者将个目标值为应的为决策者的理想解其相若并令j个目标的权系数 ，这表示降低这个目标的要求。再求解以下线性规划问题。0j 2x.0;ji ,2,1,:2RxkixcMMinLpiii若求得的解为 ，再与决策者对话，如此重复，直到决策者满意为止。例例11 试求解多目标线性规划问题。.4,3,2,1,04823120233030:237080901004231432142243211ixxxxxxxxxRxxMinzxxxxMaxzi解 为了使问题的目标函数统一为求最大的规划问题，将 化为第1步：求理想解 分别求解两个目标线性规划问题1z21RxRxMaxzMax和

30、 和求权系数表作第二步即相应的目标值即相应的目标值得到最优解zzzxzzxTT:30,30,5300 0,30,10,20 48,48,5960 0,39,16,14 22222121212111 5960 5300 -48 -30 5960 -301z2 1x 2xjM99613.0 00387.0 1664.0 000645.0 ,2121于是求得权系数可计算得到的数据用表中z第3步：求解以下线性规划问题 为整数近似值由此求得解)(.0;302399613.0708090100596000387.01424321RxxxxxxxMinLp 33,5370 0,31,11,19 12111z

31、xT相应的目标函数值第4步：对话再计算分析者把计算的结果告诉决策者，决策者将结果与理想值 进行比较，认为求得的 已接近理想值 ，而 ，低于理想值5960太多。决策者要求提高 值，为此他提出将 提高到36，以便使 增大。这时分析者根据决策者的要求，将原来约束条件修改为30,5960,2211zz3312z3022z537011z1z2z1z1RRxxCxCR537036121因将第二个目标值的要求放宽了，故权系数 ，于是有线性规划问题：02 143217080901005960:2RxxxxxMinLp求解Lp(2)得到 Tx0,33,12,182相应的目标值 36,55202221ZZ若这时决

32、策者对此结果表示满意，即停止计算。6.2 妥协约束法妥协约束法设有两个目标的情况，即k=2.CxMaxVRx其中nxnmAxbAxxR,0,|矩阵为22111121,nnmccccccCb这方法的中心是引进一个新的超目标函数,212211为权系数xcxcz此外构造一个妥协约束;2,1,0,121iiRxzxczxcR 0:222211111步骤为求解的具体当的最大值分别为 .,212211Rxxcxczz第1步：解线性规划问题xcMaxRx1得到最优解 及相应的目标函数值 。1x11z第2步：解线性规划问题xcMaxRx2得到最优解 及相应的目标函数值 。2x22z在具体求解时可以先用 试一试

33、，看是否是 的最优解。若是，则这问题已找到完全最优解，停止求解；若不是，则求 及相应的 。第3步：解下面三个线性规划问题之一。1xxcMaxRx2 2x22zxcMaxRx2xcMaxRx1zMaxRx得到的解为妥协解。例例12 试求解多目标线性规划问题。0 ,5 5 7:23212121212211xxxxxxRxxzxxzMax解解 分别求解线性规划问题1zMaxRx2zMaxRx得到最优解 ,12,5,2,17,2,52211zxzx见图16-13图16-13122z171zR01225.0735.0:5.12 25.035.0,5.02121121212121xxxxRxxxxxxz妥

34、协约束目标函数则有超若取.,3,4 5.25.0 2121这时可有不同的解决定的取值可由决策者于是可以求得妥协解即xRxxx 解多目标线性规划问题的方法，还有目标线性规划法（详见本书的第四章）和其它方法，读者可参考有关文献资料。第七节 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简称AHP法）是美国运筹学家沙旦（T.L.Saaty)于70年代提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。特别是将决策者的经验判断给于量化，对目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据情况下更实用，所以近几年来此法在我国应用中发展较快。7.1 AHP 法原理法原理 例如某工厂在

35、扩大企业自主权后，有一笔企业留成的利润，这时厂领导决策的方案有（1）作为奖金发给职工；（2）扩建职工食堂、托儿所；（3）开办职工业余技术学校和培训班；（4）建立图书馆；（5）引进新技术扩大生产规模等等。领导在决策时，改善职工物质生活状况等方面。对这些方案的优劣性进行评价，排队后，才能作出决策。面对这些复杂的决策问题，处理的方法是，先对问题所涉及的因素进行分类，然后构造一个各因素之间相互联结的层次结构模型。因素分类：一为目标类，如合理使用今年企业留利 万元，以促进企业发展；二为准则类，这是衡量目标能否实现的标准，如调动职工劳动积极性，提高企业的生产技术水平；三为措施类，是指实现目标的方案、方法、

36、手段等，如发奖金，扩建集体福利设施，引进新技术等等。按目标到措施的自上而下地将各类因素之间的直接影响关系排列于不同层次，并构成一层交结构图，如图16-14所示。构造好各类问题的层次图是一项细致的分析工作，要有一定经验。根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各方案的相对权数。这就给出了各方案的优劣次序，以便供领导决策。合理使用今年企业留利 万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设备图16-14这个方法的原理是这样的。nn2n1nn22212n121112121 .,;,AAnnAAAnn矩阵量其比值构成若

37、将它们两两地比较重它们的重量分别为件物品设有A矩阵有如下性质：若用重量向量TnW,21右乘A矩阵，得到nWnAWnn 2121nn2n1nn22212n12111即 (A-nI)W=0 由矩阵理论可知，W为特征向量，n为特征值。若W为未知时，则可根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观作出比值的判断，或用Delphi法来确定这些比值，使A矩阵为已知，故判断矩阵记作 。A 根据正矩阵的理论，可以证明：若A矩阵有以下特点（设 ）：jiji),2,1,()3),2,1,(1 )21 )1njinjijkikijjiijii则该矩阵具有唯一非零的最大特征值 ，且 =n。maxmin若给出的判断矩阵 具

38、有上述特性，则该矩阵具有完全一致性。然而人们对复杂事物的各因素，采用两两比较时，不可能做到判断的完全一致性，而存在估计误差，这必然后导致特征值及特征向量也有偏差。这时问题由AW=nW变成 ，这里 是矩阵 的最大特征值，便是带有偏差的相对权重向量。这就是由判断不相容而引起的误差。为了避免误差太大，所以要衡量 矩阵的一致性。当A矩阵完全一致时，因 ，AAmaxWWAmaxWA1iinii1nniii1，存在唯一的非零 。而当nmaxA矩阵存在判别不一致时，一般是 。这时nmax11.maxmaxmaxmax1maxmaxnnnICnniiiiniiiii断矩阵一致性指标以其平均值作为检验判由于是当

39、 ，C.I=0，为完全一致；C.I值越大，判断矩阵的完全一致性越差。一般只要C.I ,认为判断矩阵的一致性可以接受，否则重新进行两两比较判断。nmax0 判断矩阵的维数n越大，判断的致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求。于是引入修正值 ，见表16-2，并取更为合理的 为衡量判断矩阵一致性的指标。IR .RC .IRICRC.维数 1 234567 89 R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45表16-27.2 标度标度 为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入19的标度。根据心理学家的研究提出：人们区分信息等级的极限能力为 ，特制定表

40、16-3。27.21,个判断数值只需要给出矩阵可见nnnn 除表16-3的标度方法以外，还可以用其它方标度方法。标度 定 义 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数i因素与j因素相同重要i因素比j因素略重要i因素比j因素较重要i因素比j因素非常重要i因素比j因素绝对重要为以上两判断之间的中间状态对应的标度值i因素比j因素比较，得到判断值为1 iiijji1 表16-37.3 层次模型层次模型 根据具体问题一般分为目标层、准则层和措施层。复杂的问题可分为总目标层、子目标层、准则层（或制约因素层）、方案措施层，或分为层次更多的结构。下面举若干例子加以说明。选择合适的学校教学质量校风离家距离文化设

41、施学校A学校B学校C目标层A准则层C措施层P按给出的层次结构模型，设为目标层A、准则层C（有k个准则因素）、方案层P（有n个方案）。由决策者用其它方法给出各层图16-15因素之间的两两比较的判断矩阵（见图16-15）。A-C判断矩阵为kkkkkkknCCCCCCA 2122221211211121然后分别给出 Ci-P的判断矩阵（i=1,2,k）。nnnnnnnniPPPPPPC 2122221211211121用近似法计算各判断矩阵的最大特征值和特征向量。7.4 计算方法计算方法一般地讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，并不需要最高的精度，故用近似法计算即可（1）方根法这是一

42、种近似计算法，其计算步骤为：计算判断矩阵每行所在元素的几何平均值ninniiji,2,1 1Tn,21得到将 归一化，即计算ininijii,2,1 1Tn,21得到即为所求特征向量的近似值，这也是各因素的相对权重。计算判断矩阵的最大特征值maxniiinA1max其中 为向量 的第i具元素。iAA计算判断矩阵一致性指标，检验其一致性。当各层次的绪因素的相对权重得到后，进行措施层的组合权重计算。（2）组合权重的计算 设有目标层A、准则层C、方案层P构成的层次模型（当层次更多的模型，计算相同），目标层A对准则层C的相对权重为：Tk112111,准则层的各准则Ci,对方案层P n 个方案的相对权重为：klTk,2,1,222212那么各方案对目标而言，其相对权重是通过权重 ),2,1(21kll与组合而得到的，其计算可采用表格式进行（见表16-4）。这时得到的 为P层各方案的相对权重。,222212TnvvvV（表16-4见下页）C层权重P层P1因素及权重C1,C2,Ck 11211k 21212211k 22222221k 22221nknnP2Pn 2 V组合权重 kjjjv121121 kjnjnnv1212 kjnjjnv1212表16-4