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1、浅谈集合语言和集合思想在高中数学中的应用目录一、集合知识网络清单2二、集合语言3（一）集合语言的概念3（二）集合语言在高中数学中的应用3（1）集合语言在平面几何中的应用3（2）集合语言应用于三角函数周期、零点集、最值点集、单调区间等；4三、集合思想5（一）集合思想的概念5（二）集合思想在高中数学中的应用5(1)用集合思想理解简易逻辑5(2)用集合思想解排列组合和概率问题7(3)集合思想在函数、不等式中的运用9(4)集合思想在解析几何中的运用11 （5）集合思想在数列中的应用13四、结束语14 提纲一、 集合的知识网络清单。二、 集合语言 （一）集合语言的概念 （二）集合语言在高中数学中的应用
2、（1）集合语言在平面几何中的应用 （2）集合语言应用于三角函数、零点集、最值点集、单调区间等 三、 集合思想 （一）集合思想的概念 （二）集合思想在高中数学中的应用 （1）用集合思想理解简易逻辑 （2）用集合思想解排列组合和概率问题 （3）集合思想在函数、不等式中的应用 （4）集合思想在解析几何中的应用 （5）集合思想在数列中的应用 四、结尾 浅谈集合语言和集合思想在高中数学中的应用摘要：集合是近代数学中的一个重要概念，也是高中数学的基础，集合语言是慎重地、是精心设计的,凭借集合语言的严密性和简洁性,数学家们就可以表达和研究集合思想，集合语言可以简洁、准确地表达数学内容，许多数学问题都可归结为
3、集合问题来解决,用集合思想方法来处理数学问题表现得更直观，更深刻，更简捷。本文结合人教B版教材和教学实际，通过几个典型例题的剖析谈谈集合语言和集合思想在高中数学中的应用。关键词集合；集合语言；集合思想 引言：集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。在高中阶段,学生正处在形成连贯逻辑思维的时期,培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想,倾听别人的意见,养成分析习惯极为重要，他们应该学会正确使用数学符号和数学语言,他们应善于
4、与他人进行合作，集合教学提供了这样的机会， 我想这就是集合的教育价值。集合是高中数学教材中学生接触到的第一个概念，集合语言是一种基本的数学语言，学生若能掌握好这章内容不仅能为今后的数学学习打下一个良好的基础而且可以增进学习数学的信心，在让学生掌握了集合语言的基础上数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈集合语
5、言和集合思想在高中数学的突出应用。一、集合知识网络清单空集的性质集空集是任何非空集合的真子空集是任何集合的子集集合的分类： 有限集；无限集特殊集合的表示：复数集C；实数集R；整数集Z； 有理数集Q；自然数集N； 正整数集 元素的性质：确定性；无序性；互异性集合的概念集合的表示方法:列举法；描述法；图示法集合只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与元素、集合与集合的关系，形成知识网络清单才能进一步应用集合语言和集合思想解决有关数学问题。集合与元素的关系：属于或不属于集合与集合的关系：包含与真包含两个集合相互包含两个集合中的元素完全相同运算关系：交集：AB；并集AB； 全集I，
6、A的补集为集合相等逻辑关系： 交集；并集；补集集合与元素、集合的关系 二、集合语言 （一）集合语言的概念数学语言与日常语言不同“日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物,而数学语言是慎重地、是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们就可以表达和研究数学思想,”集合语言是现代数学的基本语言，集合语言的使用，有利于数学学习者和研究者之间简洁、准确地表达数学内容。将集合作为一种语言来学习，可以促进学生运用数学语言进行交流的能力。 （二）集合语言在高中数学中的应用 （1）集合语言在平面几何中的应用平面几何与集合有着密切的联系，很多问题可以转化为集合的观点用集合语言翻译成数学问题，教学实
7、践表明,指导学生用集合语言对平面几何的有关问题进行翻译，有利于加深学生对问题的理解，提高他们的判断能力和分析解决问题的能力,建立严谨的数学思维。例1.用集合语言描述直线和平面的位置关系。（1）点A在平面内，记作A，点B不在平面内，记作B ；（2）直线n在平面内，记作n，直线m不在平面内，记作m；（3）平面与平面相交于直线n，记作=n；（4）直线n和m相交于点A，记作nm=A,简记为nm=A；例2.立体几何初步为例，用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。如：正方体长方体直平行六面体平行六面体四
8、棱柱棱柱（2）集合语言应用于三角函数周期、零点集、最值点集、单调区间等；以三角函数为例，把表示函数的共同属性用集合语言表示出来，培养学生语言的翻译能力，帮助学生对集合概念的理解，提高学生的学习兴趣。的零点集为表示所有符合使正弦值等于零这一特征性质的元素构成一个集合。最值集为表示所有符合使正弦值取得最大值或最小值这一特征性质的元素构成一个集合，这也是正弦函数的对称轴。的单调期间为表示所有符合使正弦值的单调区间的集合。 三、集合思想 （一）集合思想的概念所谓集合思想，就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。 （二）集合思想在高中数学中的应用 (1)用集合思
9、想理解简易逻辑简易逻辑与集合有着密切的联系，很多问题可以转化为集合的观点用集合思想来解决，教学实践表明,指导学生用集合思想对简易逻辑的有关问题进行解释，有利于加深学生对有关逻辑问题的理解，提高他们的判断能力和分析解决问题的能力,建立严谨的数学思维。例1.(2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A. “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B. “若一个数的平方是正数，则它是负数”C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D. 若一个数的平方不是正数，则他不是正数”分析：因为一个命题的逆命题时将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，
10、则它是负数”则选B例2.已知有两个不相等负实根。无实根。求实数m的范围。分析：，则必然与中有一真一假。分两种情况：为真，为假；为真，为假。（1） 为真，为假。为真，有两个不相等的负实数根成立，即，解得：。综上两式得到：为假，无实根不成立，即有实数根，。取交集得到，；（2） 为真，为假。为真，即无实根成立，为假有两个不相等的负实数根不成立，即无实根或有两个相等的实根，或有两个不等的正实根，即。解得，：或。取交集得到：；综上所述：。例3.已知函数（I）若能表示一个奇函数和一个偶函数的和，写出，的解析式（不需要证明）；（）命题P:函数在区间上是增函数，命题q:函数是减函数。如果为真，为假，求的取值范
11、围；（）在（）的条件下比较的大小。分析：（I）为奇函数，为偶函数 （）已知函数在区间上是增函数可知， 为二次函数：对称轴：（前提条件） ；为减函数：为真，为假，分两类讨论：P为正为假是：P为假为真是：综上：（）=即：(2)用集合思想解排列组合和概率问题排列组合和概率问题类型较多，限制条件往往又很复杂，初学者往往眼花缭乱，理不清思路，若运用集合思想，将问题中的复杂限制条件间的关系转化为集合间的运算，可以防止在分类或分步的过程中出现重复和遗漏问题，且思路清晰，层次分明，使问题得到更全面地解决，在利用集合思想求解时，要借助于下列一组公式，它们容易用文氏图来验证。1.（反演律）摩根定律： 2. 容斥原
12、理： 若用表示有限集合A中的元素的个数，则对于任意集合A、B，有。特殊的，。例1.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16内的概率。(人教B版必修3 P108 页习题3-2B第3题)分析：记点P落在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集。 例2.高一（3）班的学生中，参加课外语文小组的有20人，参加数学小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一（3）班共有多少学生？解：设，由容斥原理及德摩根定律答：高一（3）班共有学生47人例3.由数字1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且2、3都与4不相邻
13、的五位数。分析：设则原题即求，由容斥原理及德摩根定律：注：表示2与4相邻且3与4相邻的五位数的个数，那么4一定排在2与3之间，且2、3、4相邻，故有种排法。(3)集合思想在函数、不等式中的运用集合与函数、方程、不等式等有着千丝万缕的联系，将集合的知识与函数、不等式等综合也是近年来高考考查的一个重要方面用集合思想解答与函数、不等式等有关的综合问题，有利于提高分析和解决问题的能力。例1.已知集合，试问是否存在实数使得，若存在，求出a的值，若不存在请说明理由。分析：假设存在实数满足条件,则有当集合中的元素为非正数，设方程的两个根为，则由根与系数的关系得 当由、知，存在满足条件的实数，其取值范围方法二
14、：假设存在实数满足条件则方程因为，所以两根均为正数。得：或 又集合的补集为存在满足条件的实数，其取值范围是在使用集合思想解题的过程中还要培养学生一题多解的数学思想方法，有助于提高学生的数学思维。例2.已知两个集合和，集合，集合且满足，则实数的取值范围是分析：由已知得，又由，则若若则即综合，有在做该题时存在的误区：容易漏掉的情况从而得的范围是误区：时易漏掉这一隐含条件，得(4)集合思想在解析几何中的运用集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几
15、何图形来解决代数问题，因此集合思想在解析几何中也有着广泛的应用。例1. =y0xy=x(x0)分析：如图所示，U表示直线上的点的集合，A表示直线上除原点外的点的集合，所以 例2：已知集合，且集合中的有且只有两个元素，求实数K的取xP（2,2）y21分析：集合A表示的图形是曲线即以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分，集合B表示的图形直线，是过定点P（2，2）、斜率为k的直线，集合AB中有且只有两个元素，即半圆与直线有两个交点，在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线L介于直线之间（包括，不包括），其中与半圆相切，过原点。通过计算容易求得的斜率为1
16、，的斜率为所以 ： （5）集合思想在数列中的应用用集合概念，数列的项数是正整数集，将它与集合的概念联系起来，转化为集合思想来解决特殊数列，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生数学知识之间是相互联系，从而提高学习兴趣。例1.数列an是等差数列，a1=50,d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。解析：值数列的定义域是正整数集（或它的有限子集）转化为集合的思想来解。 方法一： 即从第85项起以后各项均小于0，方法二：等差数列的前项和是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理 。，当n取接近于的自然数，即 时，达到最大值该题又充分体现了一题多解的思想，有助于提高学生的数学思维能力。
17、 四、结束语集合语言和集合思想为我们解决高中数学问题开辟了一条崭新的道路，在学习过程中，注意对集合语言的应用和集合思想进行挖掘、提炼和渗透，不仅可以有效地掌握集合的知识，驾驭集合问题的求解，而且可以加强各部分知识内容的联系，突出数学问题的本质，使复杂关系条理化、清晰化，对于开拓学生解题思路，简化运算过程，提高学生分析解决问题的能力，从而优化思维品质，拓展数学视野，都具有十分重要的意义。参考文献：1.沈文选 杨清桃 数学思想领悟 哈尔滨工业大学出版社 2008.12.梁立明 高中习题化知识清单 首都师范大学出版社 2006.53.李国锋 王磊 集合思想在高中数学中的应用 人教网 200834.李国明 夏禹洁 名门成就梦想高考总复习数学 内蒙古科教技术出版社 2009.5
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