立体几何的知识点整理归纳

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1、一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体一一由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1. 棱柱1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体 叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系:棱柱棱垂直于底面其他棱柱底面是正多形 T正棱柱直平

2、M体底面为矩形长方体底面为正方形卜正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体|四棱柱|底面为平行四边形平行六面体|侧棱垂直于底面.1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形; 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC 2 = AB2 + AD2 + AA12 （了解）长方体的一条对角线AC与过顶点A的三条1棱所成的角分别是以，。，丫 ， 那么cos2 a + cos2 P + cos2 y = 1， sin2 a + sin2

3、 p + sin2 y = 2 ；切了解）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是a，p，y， 则 cos2 a + cos2 p + cos2 y = 2，sin2 a + sin2 p + sin2 y = 1.1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形.1.6面积、体积公式：$直棱柱侧二. + 2sv = s -h （其中c为底面周长，h直棱柱全底 棱柱 底为棱柱的高）2. 圆柱2.1圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是

4、 等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和 母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式:S圆柱侧=2”们S圆柱全=2兀rh + 2兀r2，V圆柱若底h顼心（其中r为底面半径，h为圆柱高）3. 棱锥3.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各AB面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质： 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

5、正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面 边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图:SOBfOH SBH OBH为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。34面积、体积公式：s正棱锥侧=2ch，S正棱锥全=2ch+S底，V棱锥=3、-h.（其中c为底面 周长，h侧面斜高，h棱锥的高）4. 圆锥4.1圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围 成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质: 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比； 轴截面

6、是等腰三角形；如右图： SAB 如右图：12 = h2 + r2.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心， 以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：S圆锥侧，S圆锥全=（r +1），V圆锥=3兀r2h （其中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）5. 棱台5.1棱台一一用一个平行于底面的平面去截棱 锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; 如右图：四边形OMNO,O、B、BO都是直角梯形 棱台经常补成棱锥研究.如右图： BM与aSO N ,S、O、B、与安。Ba，

7、注意考虑相似比.5.3棱台的表面积、体积公式：S =S +S +S侧，V = 1（S + vM + S、）h，（其中S,S、是全 上底 下底 侧 棱台 3上，下底面面积，h为棱台的高）6. 圆台6.1圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图： aSO A SOB相似，注意相似比的应用.S|上底面侧面轴1湎B-卜底面O轴母线6.3圆台的侧面展开图是一个扇环； 6.4圆台的表面积、体积公式：%=兀时兀（R +以，V =13 + * + S、）h=1（

8、兀r2 +KrR + kR2）h，（其中r，R为上下底面半径，h为高） 圆口 337, 球7.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称 球;7.2球的性质: 球心与截面圆心的连线垂直于截面； r =盘2 d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.球心球面4 7.4球面积、体积公式：S球=4兀R2,=-兀R3注：球的有关问题转化为圆的问题解决.（其中R为球的半径）则正方体的棱

9、例：（06年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为上兀3长为（二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2. 三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图一一光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图一一光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图一一光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、 侧一样宽”.（2）正视图

10、，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3. 直观图：3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平 行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法：stepl：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取xoy = 90 ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴ox,o矿，取Zxoy = 45（or135），它们确定的平面表示水平平面；step3:在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。2结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面

11、积的亍 倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱 画成虚线。第二章点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面一一无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面.图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面.图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面.图形语言：用途：用于确

12、定平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两 个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：文字语言点A在宜线h I:B1.空间直线的位置关系：共面:a n b=A,a/b、异面:a与b异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:a / b, b / c n a / c1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外

13、一点的直线与这个平面内不过此点的 直线是异面直线。图形语言:符号语言:A eaa ua1.4异面直线所成的角：（1）范围：Q e（0。,90。；（2）作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点O,过O作a7/a,b7/b，则a,b所成的Q角为异面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特 殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.l ua2.直线与平面的位置关系:n a/b （线面平行n线线平行）【如图】an P = b 判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：a = 0nI/a （用于判断）；（ii）a / bc、a

14、 /。判定定理：a（zan a / a “线线平行n面面平行”（用于证明）；（iii）n a /。b uaja uaJb侦“面面平行n线面平行”（用于证明）；（4）b la n a/a （用于判断）； a aa2.线面斜交：/f1a= A直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平P面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】PO la于O，/则AO是PA在平面a内的射影，则ZPAO就是直线PA与平面/ a所成的角。/范围：0 6【0,90。，注：若/ua或l/a，则直线l与平面a /所成的角为0。；若l la，则直线l与平面a所成的角为90。3. 面面平行： 定义：aP =0na

15、/。； 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行;符号表述：a, b ua, ab = O, a / a, b / ana /。【如下图】图图推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：a,b ua,ap|b = O,a,b u。,a/a,b/b na/。【如上图】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a la,a l P na/。.【如右图】 判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2面面平行的性质：（1）a / Pa uaa 3na/P （面面平行n

16、线面平行）；（2）aCly = a3m = b（面面平行n线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】 （四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直 定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意a ua ,都有11 a，且la，则l la .a,b uaab = O 判定定理：l aan l la （线线垂直n线面垂直）11 a11 b , 性质：（1）l la,a ua n 11 a （线面垂直n线线垂直）；（2）a la,b la n a/b ；a / b 证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；判定定理（常用）；（3）a箫

17、日laa l P 、a / P o（较常用）；a lafn a lPafl P= b o（5）n a l 3 （面面垂直n线面垂直）a uaa l b常用； 三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，PO la （1）斜线相等=射影相等；（2）斜线越长=射影越长；（3）垂线段最短。【如图】PB = PC o OB = OC ； PAPB o OAOB（II）三垂线定理及逆定理：已知PO la，斜线PA在平面a内的射影为OA，a ua， 若a l OA，则a l PA 垂直射影n垂直斜线，此为 三垂线定理； 若a l PA，则a l OA 垂直斜线n垂直射

18、影，此为 三垂线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2） 作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】3.2面面斜交 二面角：（1）定义：【如图】OB l, OA l nZAOB 是二面角 a l-P 的平面角范围：ZAOB e 0。,180。.卜 c. 作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常-用）；（3）垂面法.：3.3面面垂直na。（线面垂直n面面垂直）（3）性质：若alP，二面角的一个平面角为AMON，则AMON = 90。；a 1 P aCl P = ABa u a（面面垂直n 线面垂直）;a 1 ABa 1 P、A ea4

19、A e aa 1 Pa 1 P a 1 P n a ua或a/a（1）定义：若二面角以-1-P的平面角为90。，则aP ； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直二、立体几何常见题型归纳例讲1、概念辨析题：（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和 性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需 要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。（3）相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：（04年北京卷

20、）设m，n是两条不同的直线，a,P撰是三个不同的平面，给出下列四个说 法：m 1a,n/a n m 1 n ,，a / P, P /y,m 1a n m 1 y : m/a,n/a n m/n a1y,P1yna/P，说法正确的序号是：2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。（1）基础知识网络：平行与垂直关系可互相转化平行关系垂直关系平面几何知识1. a a, b Lan a / b2. a a, a /b n b a3. a la,a 1 p na/p4. a/p,a la n a 1 p5. a/p,y la ny 1 p平面几何知识线线平行线线垂直线面平行判定性质判定判定推论质线

21、面垂直判定面面垂直面面平行请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言. (2)相关例题：例1(06广州市高一质量抽测)如右图，在正方体ABCD-A1BlClDl中，E、F为棱AD、AB的中点.(1) 求证：EF平面 CB1D1；(2) 求证：B1D1平面 CAA1C1例2.如图，已知矩形ABCD中，AB=10, BC=6,将矩形沿对角线BD把 ABD折起使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影0恰好在CD上.(I)求证：BC 1 AD ；1(II)求证：平面A1BC1平面a1bd ;(III)求三棱锥A1 -BCD的体积(答案:VA1-BCD = 48 )3、计算题。包括空间角(

22、异面直线所成的角，线面角，二面角)和空间几何体的表面积、体 积的计算。(1)对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：step1：找；step2：证；step3：计算。1.1求异面直线所成的角。e（0。,90。：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另 一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）常需要证明线线平行; 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；1.2求直线与平面所成的角0 e 0,90。：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出

23、斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）;二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）;三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。1.3求二面角的平面角0 0,兀解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角;二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）; 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。（2）对于几何体的表面积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进行计 算。已知三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。（3）相关例题：例1.如图,四棱锥PABCD的

24、底面ABCD为正方形，PDL底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面 PAC平面 PBD;（2）求PC与平面PBD所成的角；例2.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形AB O，若O B =1，那么原 ABO的面积是（）A. 1B.毛C. 72D. 2222何体的高为3，求此几何体的表面积和体积。例3. （06深圳宝安中学期末考）如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等 腰梯形，上、下底边长分别为2，4。俯视图中，内、均外为正方形，边长分别为2，4,几 答案S全面=20+12 侦,y棱台28例4.如图所示，已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为(2，底面边长为(3 , E是

25、SA的中点，则 异面直线BE与SC所成角的大小为(B) (A) 90 (C) 45(B) 60(D) 30例5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中, AB 1 AC, PA 1 平面 ABCD，且 PA= AB，点 E 是 PD 的中点.(1)求证：AC 1PB ； (2)求证：PB/平面AEC；(3) 若PA = AB = AC = a，求三棱锥E-ACD的体积；(4) 求二面角E-AC-D的大小.(单元考题)三、训练题1.如图，正方体ABCD - ABCD中，棱长为a (1)求证：直线AB /平面ACD2.如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD中(1)求证：AC平面 B1D1

26、DB;(2)求证：BD1平面ACB(3)求三棱锥B-ACB1体积.BC(2)求证：平面ACD 1平面BDD ；3.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO1底面ABCD, E是PC的中点。求证：(1) PA平面BDE ；(2) BD1 平面 PAC知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that.随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether i

27、t is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。（Hold different attitudes 持不同的看;Come叩with different attitudes有不同的看法）As society develops, people are attaching much importance to随着社会的发展，人们开始关注People are attaching more and more importance to the interview during

28、job hunting求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。As to whether it is worthwhile ., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.关于是否值得 的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人对此可能持不同的观点。In the process of modern urban development, we ofte

29、n find ourselves in a dilemma.在都市的发展中，我们往往会陷入困境。Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems

30、are brought to our attention.人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度 不断加快，随之给我们带来了很多问题。 plays such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是 无可厚非的。不过，问题是：我们该如何抉择7Now we are entering a new

31、era, full of opportunities and challenges, 现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。People from different backgrounds would put different interpretations on the same case.不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards t

32、he issue.这中极具争衩性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题 的看法也不尽相同。When asked ., some people think. while some prefer.说到，有人认为，而另一些人则认为。Just as the saying goes: so many people, so many minds. It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗话说，。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different p

33、eople come up with various attitudes.对于这个问题，不同的人持不同的观点。There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that.万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，。When it comes to ., most people believe that ., but other people regard .as .提到 问题，很多人认为，不过，一些人则认为 是，When faced with., quite a few people claim th

34、at ., but other people think as.提到 问题，仅少数人认为，但另一些人则认为There is a public controversy nowadays over the issue of . There who criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that.目前，问题争衩较大。批判 的人认为，他们认为，不过，另一方面，赞同 的人则认为。Some people are of the opinion that. 有些

35、人认为。Many people claim that. 很多人认为。A majority of绝大多数A large number of 很多人Some people contend that . has proved to bring many advantages(disadvantages)有些人认为 有很多有利之处(不利之处)。Those who argue for . say that .economic development of the cities.觉得 的人认为，城市的经济发展。Some people advocate that .有些人在坚持认为。They hold th

36、at .他们认为。People, who advocate that ., have their sound reasons (grounds)坚持认为 的人也有其说法(依据Those who have already benefited from practicing it sing high praise of it. 那些从中受益的人对此大家褒奖。Those who strongly approve of . have cogent reasons for it.强烈认同 的人有很多原因。Many people would claim that.有人会认为。People who supp

37、ort . give some or all of the following reasons.那些支持 观点的人列出了如下原因：。But others hold the view that .但 是，另外一些人则认为。观点的用词：Attitude, opinion,与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with, set forth, put forward 等。But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,.不过，另一方面，也有少部分人坚持认

38、为。But people who are ., on the other hand , maintain that.不过，另一方面，的人认为。However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case.然而，很多人对此有不同的看法。问题用词：Issue, phenomenon，后接介词,on, over等。However, some others argue that.然而，另一些人则认为。However, there are also some others who co

39、ntend that.然而，也有人认为。But other people set forth completely totally different argument concerning this case.不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。Some people examine this issue from another angle.有的人用另一角度来看这一问题。On the other hand, there are also many opponents who strongly .另一方面，也有很多反对的人，他们认为。According to my personalit

40、y and fondness, I would prefer . rather than.根据我的个性以及兴趣，我选择 而不会选择。Personally, I side with the latter (former) opinion.就我个人而言，我支持后者(前者)。Personally, I am in favor of the former point of view.就我个人而言，我较同意前一种看法。To my point of view 我认为To my mind, the advantages far overweigh the drawbacks(disadvantages, s

41、hortcomings)我认为，优点胜过缺点。For my part, I stand on side of the latter opinion that.就我而言，我较赞同后一种观点。As far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view.在我看来，我较同意后一种观点。After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that.经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即。If asked to

42、 make a decision, I would prefer.如果真的需要作出选择，我宁愿。展现问题篇问题的常用词：question, problem, issueRecently, the issue ofhas been brought into public focus.近来，的问题引起了社会的广泛关注。Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in peoples attitude towards some

43、 traditional practice.现在我们进入了一个充满机遇和创新的崭新时代，很多人对某些 传统的看法也发生了很大改变。Recently the issue of whether or not . has been in the limelight and has aroused wide concern in the public.近来，是否 的问题已经非常明确而且引起了社会的广泛关注。The issue whether it is good or not to . has aroused a heated discussion all over the country.的利与弊已

44、在全国范围内引起热烈的讨论。At present, some people think .while others claim .Both sides have their merits.目前，一些人认为 而另一些人则认为。其实，两种观点都其可取之处。People rarely reach an absolute consensus on such a controversial issue.对于这种极具争衩的话题，我们很难作出绝对的回答。People from different: backgrounds would PH differemimorpraaHons on -he same c

45、ase沙画命本4画聿回欧本拳髀沙沪念画。The controversial issue is ofEn brought: in-0 public focus，Peopleom different: backgrounds hold different: aBrudes awards -he issue, 伸乌敛加做忠忘本由欧*髦狡阵整畛s* #。沙画本4备回欧 S部尽齿沙沪念画。When asked :J some people rhB-k. while some prefer.: 离亶. .杏*隅渲。 Just: as -he saying goes= so many pooppso man

46、y minds=wis quiEunderstandable -har views on -his issue vary from person -o person， 崭鑫离、=o=沙画s4备&沙画s部尽土乙浇拳s。 To -his issupdifferent: people come up w 件h various aa_udes 4*伸回欧、沙画s茶沙画本泮汕。There is a good side 吕&辑片忘、界乙、，澎网。 When = comes -0 :了 moM people b&oVMha(h:J bu(hother people regard :.as :$回欧、萨3 7$沙区、隅 渲天、When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as.提到 问题，仅少数人认为，但另一些人则认为,